概率与过程课件：第三章多维随机变量及其分布 第一节 二维与多维随机变量的分布

1、第三章 多维随机变量二维随机变量的联合分布边缘分布与独立性条件分布两个随机变量函数的分布3.1 二维随机变量一、 多维随机变量1.定义 将n个随机变量X1，X2，.,Xn构成一个n维向量 (X1,X2,.,Xn)称为n维随机变量。一维随机变量XR1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律.设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=PXx, Yy为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 二. 联合分布函数几何意义：

2、分布函数F( )表示随机点(X,Y)落在区域 内的概率。如图阴影部分： 对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),则 Px1X x2， y1Yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).(x1, y1)(x2, y2)(x2, y1)(x1, y2)EXG已知随机变量(X,Y)的分布函数F (x,y),求(X,Y)落在如图区域G内的概率.答:且(1) 归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,分布函数F(x, y)具有如下性质： (2) 单调不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1, y)

3、F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1y2时， F(x, y1) F(x , y2). (3) 右连续 对任意xR, yR, 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1YG11xy作业9.2,9.4参照此例例1求：(1)常数A；(2) F(1,1)；(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。 设解: (1) 由归一性11作业9.2,9.4参照此例例2(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。解:例 3x+y=1易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布，对任意区域G，有若二维随机变

4、量(X, Y)的密度函数为则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。3. 两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布* 设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求PY0、20、| |1，则称(X, Y) 服从参数为的二维正态分布，可记为 (2)二维正态分布若二维随机变量(X, Y)的密度函数为事实上，对n维随机变量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn)称为n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数，或随机变量X1, X2, , Xn的联合分布函数。定义. n维随机变量(X

5、1,X2,.Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,.xn)使对任意的n元立方体n维随机变量的分布定义. 若(X1,X2,.Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,.Xn)为n维离散型随机变量.则称(X1,X2,.Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,.xn)为(X1,X2,.Xn)的概率密度。称 PX1=x1,X2=x2,.,Xn=xn,(x1,x2,.xn)Rn为n维随机变量(X1,X2,.Xn)的联合分布律。本节要求内容1、二维随机变量的分布函数；2、二维离散型随机变量的分布律；3、二维连续型随机变量的概率密度；4、二维均匀分布于二维正态分布；5、多维随机变量的分布（了解）要求1、会求