控制原理习题课（34章） 自动控制原理 课件

1、控制原理 习题课(第3,4章) 1)时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调整时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。 2)二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼比取值适当(如0.7左右)，那么系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因而在控制工程中常把二阶系统设计为欠阻尼。 第3章要点 3)如果高阶系统中含有一对闭环主导极点，那么该系统的瞬态响应就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。 4)稳定是系统能正常工作的首要条件。线性定常系统的稳定性是系统的一种固有特性，它仅取决于系统的结构和参数，与外施信

2、号的形式和大小无关。不用求根而能直接判别系统稳定性的方法，称为稳定判据。稳定判据只答复特征方程式的根在s平面上的分布情况，而不能确定根的具体数值。 5)稳态误差是系统控制精度的度量，也是系统的一个重要性能指标。系统的稳态误差既与其结构和参数有关，也与控制信号的形式、大小和作用点有关。 6)系统的稳态精度与动态性能在对系统的类型和开环增益的要求上是相矛盾的。解决这一矛盾的方法，除了在系统中设置校正装置外，还可用前馈补偿的方法来提高系统的稳态精度。 例题31 图339所示的一阶系统，在阶跃输入时，系统为什么一定有稳态误差存在，试解释之。解 令阶跃输入r(t)R0，假设系统的输出c(t)能等于R0，

3、那么e0，mKe0，c(t)0。这显然与上述的假设相矛盾。为了使这种类型的系统在阶跃输人时能正常地工作，从控制原理上来说，系统非有稳态误差不可。正是由于e的存在，才有放大器的输出m和在r(t)作用下的系统输出c(t)。如在稳态时，eR/(1+K)，那么mKR0/(1+K)和c(t)KR0/(1+K)，它们都是由eR/(1+K)所产生的，所以系统的稳态误差为R0/(1+K)。 例题32 一阶系统的方框图如图340所示。设r(t)t，求单位斜坡输出响应。 解 系统的闭环传递函数为 那么其输出 用局部分式展开上式，得 取拉氏反变换 由此可见，在稳态时，该0型系统输出量的变化率 ，它小于输人信号的变化

4、率 。这是由于0型系统的结构所致，从而使得具有这种结构的系统不能跟踪斜坡输入。稳态误差为无穷大. 例题33 图34la所示系统的单位阶跃响应曲线如图34lb示之，试求参数K1、K2和的值。解 因为该系统的闭环传递函数为所以它的输出 对应的稳态输出 据此求得 K12。由图34lb得 由上式求得0.6。根据解得n5.2s1。把闭环传递函数改写为二阶系统的标准形式，即由此式得 K2n25.2227.04， a2n6.24 例题3-4 一单位反响控制系统如图342所示。试答复：(1)GC(s)1时，闭环系统是否稳定? (2) GC(s)KP(s+1)/s时，闭环系统稳定的条件是什么? 解 (1)闭环特

5、征方程为 列劳斯表由于表中第一列的系数全为正值，因而闭环特征方程式的根全部位于s的左半平面，闭环系统是稳定的。 (2)相应的开环传递函数为 那么其闭环特征方程变为 s2(s+5)(s+10)+20KP(s+1)0 s4+15s3+50s2+20KPs+20KP0排劳斯表 欲使系统稳定，表中第一列的系数必须全为正值，即KP0；75020KP0KP37.5；10500400Kp0KP26.25。由此得出系统稳定的条件是 0KP26.25例题3-5 设一控制系统误差的传递函数为 输入信号r(t)cost，求误差e(t)。 解由于输入是余弦信号，因而系统误差的终值将不存在。下面用局部分式法去求e(t)

6、。 因为 式中 取拉氏反变换，得 其中arctan/a。由上式可见，等号右方第一项为哪一项稳态误差局部。 根轨迹是以开环传递函数中的某个参数(一般是根轨迹增益)为参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。根据系统开环零、极点在5平面上的分布，按照8条规那么，就能方便地画出根轨迹的大致形状。 根轨迹图不仅使我们能直观地看到参数的变化对系统性能的影响，而且还可用它求出指定参变量或指定阻尼比相对应的闭环极点。根据确定的闭环极点和的闭环零点，就能计算出系统的输出响应及其性能指标，从而防止了求解高阶微分方程的麻烦。 第4章要点例题41 一单位反响系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹，分析K0对系统性

7、能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。解 闭环特征方程为 s22sK0s4K00令sj代入上式，得2一2j22j2K0j K04K00那么有2一22K04K00 (1) j(22K0)0 (2)由式(2)得 K0一(22)代人式(1)，于是得 28280 即 上式表示系统根轨迹的复数局部为一圆。由图可知，别离点sl一1.172，会合点s2一6.828。由幅值条件求得它们相应的增益值分别为 相应的开环增益 K2K010.686。相应的开环增益K2K0223.2。由此可见，当0K00.343时，系统有两个相异的负实根，其瞬态响应呈过阻尼状态。当0.343K011.6时，系统有一对共轭复根，

8、其瞬态响应呈欠阻尼状态。当11.6K0时，系统又具有二个相异的负实根，瞬态响应又呈过阻尼状态。由坐标原点作圆的切线，此切线与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比(最大对应最小) coscos4500.707相应的闭环极点由图求得为 Sl ,2一2 j2由幅值条件求得K02。由于系统的阻尼比0.707，因而相应的阶跃响应具有较好的平稳性和快速性。 例题42 一控制系统如图441所示。试求： (1)绘制系统的根轨迹； (2)确定K08时的闭环极点和单位阶跃响应。 解 系统的开环传递函数为 据此，作出系统的根轨迹。其中根的复数局部的根轨迹为一圆，其方程为系统的闭环特征方程 s(s1)(s2)K0(s

9、3)(s1)0 即 (s1)s(s2)K0(s3)0显然，sl这个根不受K0变化的影响。图442所示的根轨迹仅表示上式方括号中多项式的两个根随K0的变化过程。当K08时，该系统的闭环传递函数为令R(s)1/s，那么得 式中，A1，B16/15，C1/3，2/5。对上式取拉氏反变换，求得系统的单位阶跃响应为 例题4-3设一位置随动系统如图443所示。1)绘制以为参变量的根轨迹；2)求系统的阻尼比0.5时的闭环传递函数 解 1)系统的开环传递函数为 对应的闭环传递函数为 闭环特征方程为 s20.2s1s0即 式中 据此，作出以为参变量的根轨迹，如图444所示。不难证明，该根轨迹复数局部是一圆弧，其

10、方程为 221 2)因为arccosarccos0.5600，故通过坐标原点作一与负实轴成600的射线，并与圆弧相交于s1点(见图444)。根据幅值条件，由图求得系统工作于s1点时的值，即 相应的闭环传递函数为 例题44 设系统A和B有相同的根轨迹，如图445所示。系统B有一个闭环零点s2，系统A没有闭环零点。试求系统A和B的开环传递函数和它们对应的闭环框图。 解 1)由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环传递函数和闭环特征方程式D(s)必也完全相同。由图445可知，系统B的开环传递函数为 2) 两系统的闭环传递函数分别为系统B： 系统A： 由此可见，系统A的 ，H(s)s2。相应闭环

11、系统的框图分别如图4-46所示。 系统性能分析(补充)performance analysis of the system41自动控制原理 利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正。1、由给定参数确定闭环系统的零极点的位置；2、零极点对系统性能的影响1、由给定参数确定闭环系统的零极点位置对于特定K*值下的闭环极点，可用模值条件来确定。但一般说来简单的方法是用试探法确定实数闭环极点的数值，然后用综合除法得到其它闭环极点。例4- 5 试确定K*=4的闭环极点。-1j-1-j-30解由于m=0,n=4所以模值条件为所以有解方程 s1=-2 , s2=-2.51(先用试探法，再用长除法解另两根S34=-0.24j0.862.1、增加零点对系统性能的影响2、零极点对系统性能的影响2.2、增加极点对系统性能的影响主导极点：对整个时间响应起主要作用的闭环极点。只有即接