新高二2022年暑假讲义第10讲 椭圆（原卷版）

1、第10讲 椭圆新课标要求经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。知识梳理1平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2焦点在x轴上的椭圆的标准方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，焦点坐标为(c,0)，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)，焦点坐标为(0，c)其中a，b，c的关系为 a2b2c2.3.椭圆的简单几何性质标准方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)eq f(

2、y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)图形范围axabybayabxb对称性对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c顶点A1(a,0)，A2(a,0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b,0)，B2(b,0)轴长长轴长2a，短轴长2b离心率eeq f(c,a)(0,1)4点与椭圆的位置关系设点P(x0，y0)，椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)eq avs4al(位,置,关,系)eq blcrc (avs4alco1(点P在椭圆上f(xoal(2

3、,0),a2)f(yoal(2,0),b2)1,点P在椭圆内f(xoal(2,0),a2)f(yoal(2,0),b2)1,点P在椭圆外f(xoal(2,0),a2)f(yoal(2,0),b2)1)5直线与椭圆的位置关系及判定位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式)相交2个2个解0相切1个1个解0相离0个无解0名师导学知识点1 椭圆定义的应用【例1-1】(1)已知定点F1，F2，其中F1(4,0)，F2(4,0)，动点P满足|PF1|PF2|8，则动点P的轨迹是()A椭圆B圆C直线 D线段(2)若P是以F1，F2为焦点的椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,9)1上一点，

4、则PF1F2的周长等于()A16 B18C20 D不确定【例1-2】若方程eq f(x2,16m)eq f(y2,m9)1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A9m16 B9meq f(7,2)C.eq f(7,2)m16 Dmeq f(7,2)【变式训练1-1】设F1，F2是椭圆eq f(x2,16)eq f(y2,12)1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为2，则PF1F2是()A钝角三角形 B锐角三角形C斜三角形 D直角三角形【变式训练1-2】若方程x2ky23表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_知识点2 求椭圆的标准方程【例2-1】求满足下列条

5、件的椭圆的标准方程(1)焦点坐标分别为(0，2)，(0,2)，且经过点(4，3eq r(2)；(2)a8，c6；(3)经过两点(eq r(3)，2)，(2eq r(3)，1)【变式训练2-1】已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|3，则椭圆C的方程为()A.eq f(x2,2)y21 Beq f(x2,3)eq f(y2,2)1C.eq f(x2,4)eq f(y2,3)1 Deq f(x2,5)eq f(y2,4)1知识点3 椭圆的简单几何性质【例3-1】求椭圆4x29y236的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率【

6、变式训练3-1】若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.eq f(x2,5)y21B.eq f(x2,4)eq f(y2,5)1C.eq f(x2,5)y21或eq f(x2,4)eq f(y2,5)1D以上答案都不对知识点4 根据椭圆的性质求椭圆的方程【例4-1】根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)长轴长为10，离心率为eq f(3,5)；(2)焦点在x轴上，且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，焦距为6.【变式训练4-1】(1)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为eq f(r(3),2)，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆C

7、的标准方程为_(2)若椭圆eq f(x2,2)eq f(y2,m)1的离心率为eq f(1,2)，则m_.知识点5 椭圆离心率的应用【例5-1】我国自主研制的第一个月球探测器“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道，“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点，远地点离地面的距离分别是eq f(R,2)，eq f(5R,2)(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为()A.eq f(1,5) Beq f(2,3)C.eq f(2,5) Deq f(1,3)【例5-2】若椭圆上存在点P，使得P到两个焦点的距

8、离之比为21，求这个椭圆离心率的取值范围【变式训练5-1】已知直线l：ykx与椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为()A.eq f(r(2),2)，1 ）B（0，eq f(r(2),2)）C.（eq f(r(2),2)，1 ） D（0，eq f(r(2),2) 知识点6 直线与椭圆的位置关系【例6-1】已知椭圆C：eq f(x2,4)y21.(1)若(eq r(3)，n)在椭圆内，求实数n的取值范围；(2)m为何值时，直线yxm与椭圆C相交、相切、相离？【变式训练6-1】直

9、线yx2与椭圆eq f(x2,m)eq f(y2,3)1有两个公共点，则m的取值范围是()Am1Bm1且m3Cm3 Dm0且m3知识点7 弦长问题【例7-1】求直线yx1被椭圆eq f(x2,4)eq f(y2,2)1所截得的弦长【变式训练7-1】已知直线l：ykx1与椭圆eq f(x2,2)y21交于M，N两点，且|MN|eq f(4r(2),3)，则k_.知识点8 直线与椭圆的综合应用【例8-1】设椭圆C：eq f(x2,2)y21的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.【变

10、式训练8-1】如果点M(x，y)在运动过程中总满足关系式 eq r(x2r(2)2y2)eq r(x2r(2)2y2)4eq r(3).(1)说明M的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；(2)设直线l：yxm(mR)与点M的轨迹交于不同两点A，B，且|AB|3eq r(2)，若点P(x0,2)满足(eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(AB,sup6()0，求x0.名师导练3.1.1椭圆及其标准方程A组-应知应会1对于m，n，“mn0”是“方程mx2ny21表示的曲线是椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2方程 eq r(x

11、12y2) eq r(x12y2)2表示()A椭圆 B圆C直线 D线段3椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，则k的值为()A1 Beq f(3,5)C.eq f(3,5) D254已知ABC的周长为18，|AB|8，A(4,0)，B(4,0)，|CA|CB|，则点C的轨迹方程为()A.eq f(x2,25)eq f(y2,9)1(y0)B.eq f(y2,25)eq f(x2,9)1(y0)C.eq f(x2,25)eq f(y2,9)1(y0，x0)D.eq f(y2,25)eq f(x2,9)1(y0，xb0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2a

12、b0相切，则椭圆C的离心率为()A.eq f(r(6),3) Beq f(r(3),3)C.eqC. f(r(2),3) Deq f(1,3)5我们把离心率为黄金比eq f(r(5)1,2)的椭圆称为“优美椭圆”设F1，F2是“优美椭圆”C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的两个焦点，则椭圆C上满足F1PF290的点P的个数为()A0B1 C2D46已知焦点在x轴上的椭圆标准方程为eq f(x2,a2)y21(a0)，过焦点F作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|1，则该椭圆的离心率为()A.eq f(r(3),2) Beq f(1,2) C.eq f(r(15),

13、4) Deq f(r(3),3)7已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()c2，则此椭圆离心率的取值范围是_8已知F1，F2是椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的两个焦点，P为椭圆短轴的端点，且F1PF290，则该椭圆的离心率为_9设F1，F2为椭圆C：eq f(x2,36)eq f(y2,20)1的两个焦点，M为椭圆C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_10已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率

14、eeq f(r(3),2)，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程11已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的上顶点坐标为(0，eq r(3)，离心率为eq f(1,2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭圆右焦点，求eq o(PA,sup6()eq o(PF,sup6()的取值范围12在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)已知点(1，e)和eq blc(rc)(avs4alco1(e，f(r(3),2)都在椭圆上，其中e为椭圆的离

15、心率求椭圆的标准方程B组-素养提升已知椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,5)1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是_3.1.3直线与椭圆的位置关系A组-应知应会1过椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,3)1(aeq r(3)的焦点，作垂直于x轴的直线，交椭圆于A，B两点，若|AB|eq f(3,2)，则a的值为()A4B2C3 D92过坐标原点，作斜率为eq r(2)的直线，交椭圆eq f(x2,12)eq f(y2,3)1于A，B两点，则|AB|的长为()A2 B4C.eq f(4r(3),3) De

16、q f(2r(3),3)3已知圆M：x2y22mx30(m0)的半径为2，椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,3)1的左焦点为F(c,0)，若经过F点且垂直于x轴的直线l与圆M相切，则a的值为()A.eq f(3,4) B1C2 D44设直线l过椭圆C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为长轴长的一半，则C的离心率为()A.eq f(1,4) Beq f(r(3),2)C.eq f(r(2),2) Deq f(r(2),4)5已知F1(3,0)，F2(3,0)是椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的两个焦点，P在椭圆上，F1PF2

17、，且当eq f(2,3)时，F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为()A.eq f(x2,12)eq f(y2,3)1 Beq f(x2,14)eq f(y2,5)1C.eq f(x2,15)eq f(y2,6)1 Deq f(x2,16)eq f(y2,7)16在焦距为2c的椭圆M：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“bb0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若F2AB是面积为4eq r(3)的等边三角形，则椭圆C的方程为_9(怀化模拟)已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的两焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得F1PF2120，则椭圆的离心率的取值范围是_10(抚顺模拟)M(eq r(2)，1)在椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上，且点M到椭圆两焦点的距离之和为2eq r(5).(1)求椭圆C的方程；(2)已知动直线yk(x1)与椭圆C相交于A，B两点，若Peq f(7,3)，0，求证：eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()为定值11已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，又椭