新高一2022年暑假讲义第14讲 基本不等式（原卷版）

1、第14讲：基本不等式【学习目标】1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小【基础知识】基本不等式1基本不等式：如果a0，b0，eq r(ab)eq f(ab,2)，当且仅当ab时，等号成立其中eq f(ab,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq r(ab)叫做正数a，b的几何平均数2变形：abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2，a，bR，当且仅当ab时，等号成立ab2eq r(ab)，a，b都是正数，当且仅当ab时，等号成立【考点剖析】考点一：对基本不等式的理解例1若，则下列不等式成立的是（ ）ABCD变式训练1：若，则下列不等

2、式不成立的是（ ）ABCD变式训练2：下列关于实数的不等式中，不恒成立的是（ ）ABCD变式训练3：若，且，则（ ）ABCD考点二：基本不等式性质例2下列各式：，.其中正确的个数是（ ）A0B1C2D3变式训练1：下列选项中恒成立的是（ ）ABC，则D且变式训练2：下列不等式一定成立的是（ ）ABCD若，则变式训练3：已知，下列不等式一定成立的是（ ）ABCD考点三：基本不等式证明不等式（一）例3数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更

3、为优雅现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，则该图形可以完成的无字证明为（ ）ABCD变式训练1：如图是在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（ ）A如果，那么B如果，那么C对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立D对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立变式训练2：几何原本中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都

4、能够通过图形实现证明，也称之为无字证明下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（ ）ABCD变式训练3：几何原本卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（ ）ABCD考点4：基本不等式证明不等式（二）例4已知、，；证明.变式训练1：描述并证明基本不等式；变式训练2：设，证明不等式.变式训练3

5、：用基本不等式证明不等式（1）已知为不全相等的正实数，求证：；（2）已知为正实数，且，求证：【过关检测】1、已知，则下列各式中正确的是（ ）AB1C2D12、若，则下列不正确的是（ ）ABCD3、小明骑自行车从甲地前往乙地，前一半路程以速度骑行，后一半路程以速度骑行，且，其全程的平均速度为，则下列关系中不正确的是（ ）ABCD4、下列结论表述正确的是（ ）A若，则恒成立B若，则恒成立C若，则成立D函数的最小值为5、若，则下列不等式；中，正确的不等式有（ ）A0个B1个C2个D3个6、（多选）下列命题中正确的是（ ）A当时，B当时，C当时，D当时，7、若正实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ）A

6、BCD8、若为非零实数，则以下不等式：； .其中恒成立的个数是（ ）A4B3C2D19、（多选）对于，下列不等式中正确的是（ ）ABCD10、（多选）已知，则下列式子一定成立的有（ ）ABCD11、（多选）已知，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ）ABCD12、（多选）下列结论不正确的是（ ）A当时，B当时，的最小值是2C当时，的最小值是D设，且，则的最小值是13、（多选）下列命题中正确的是（ ）A的最大值是B的最小值是2C的最大值是D最小值是514、已知都是正数，且.求证：（1）；（2）.15、已知，均为正实数，求证：若，则16、已知正数满足，证明；17、证明下列式子（1）已知,证明：；（2）已知,证明：18、已知，且.证明：（1）若，证明：；（2）设，且，证明.19、已知，求证：（1）；（2）.20、判断以下两个命题是否正确，并加以解释（1）命题：若，是