新高二2022年暑假讲义第8讲 圆的方程（解析版）

1、第8讲 圆的方程新课标要求回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程知识梳理一、圆的定义及圆的标准方程1圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径2圆的标准方程二、点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|r，则点M在圆上；若|CM|r，则点M在圆外；若|CM|r2；点M(m，n)在圆C内(ma)2(nb)20时，方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程，其圆心为eq blc(rc)(avs4alco

2、1(f(D,2)，f(E,2)，半径为eq f(r(D2E24F),2)2当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示点eq blc(rc)(avs4alco1(f(D,2)，f(E,2)3当D2E24F0)则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)Dx0Ey0F0点M在圆上xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)Dx0Ey0F0点M在圆内xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)Dx0Ey0F0名师导学知识点1 求圆的标准方程【例11】已知圆过两点A(3，1)，B(1，3)，且它的圆心在直线3xy20上，求此圆的标准方程【

3、解】直线AB的斜率keq f(31,13)eq f(1,2)，所以线段AB的垂直平分线m的斜率为2.又线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为xeq f(31,2)1，yeq f(13,2)2，因此直线m的方程为y22(x1)，即2xy0.又因为圆心在直线3xy20上，所以圆心是这两条直线的交点联立方程，得eq blc(avs4alco1(2xy0，,3xy20，)解得eq blc(avs4alco1(x2，,y4.)设圆心为C，所以圆心坐标为(2，4)又因为半径r|CA|eq r(10)，所以所求圆的标准方程为(x2)2(y4)210.【例12】ABC的三个顶点分别为A(0，5)，B(1，2)，

4、C(3，4)，求其外接圆的标准方程【解】法一设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.因为A(0，5)，B(1，2)，C(3，4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程，于是有eq blc(avs4alco1(（0a）2（5b）2r2，,（1a）2（2b）2r2，,（3a）2（4b）2r2.)解此方程组，得eq blc(avs4alco1(a3，,b1，,r225.)故所求外接圆的标准方程是(x3)2(y1)225.法二因为A(0，5)，B(1，2)，所以线段AB的中点的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)，直线AB的斜率kABeq f(25,10)7.所

5、以线段AB的垂直平分线的方程是yeq f(3,2)eq f(1,7)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，即x7y100，同理，线段BC的垂直平分线的方程是2xy50.由eq blc(avs4alco1(x7y100，,2xy50，)得圆心的坐标为(3，1)又因为圆的半径长req r(（30）2（15）2)5，所以所求外接圆的标准方程是(x3)2(y1)225.【变式训练1-1】圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22圆的半径req r(（10）2（10）2)eq r(2)，

6、圆心坐标为(1，1)，所以圆的标准方程为(x1)2(y1)22.D知识点2 点与圆的位置关系的判断【例2-1】已知点A(1，2)不在圆C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数a的取值范围【解】由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，aeq f(5,2)，又a0，a的取值范围是eq blcrc)(avs4alco1(f(5,2)，0)(0，)【变式训练2-1】已知a，b是方程x2xeq r(2)0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2y28的位置关系是()A点P在圆C内 B点P在圆C外C点P在圆C上 D无法确定由题意，ab1，abeq r(2)，a

7、2b2(ab)22ab12eq r(2)0，解得m0，a2，该圆的标准方程是(x2)2(y1)21B组-素养提升8若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值为()A2 B1 C.eqC.eq r(3) D.eqD.eq r(2)由几何意义可知最小值为14eq r(52122)1.B9已知一圆的圆心为点A(2，3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是()A(x2)2(y3)213 B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252 D(x2)2(y3)252如图，结合圆的性质可知，圆的半径req r(（20）2（30）2)eq r(13).故所求圆的方程为(x

8、2)2(y3)213.B10圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A，B，若|AB|eq r(3)，则该圆的标准方程是_K根据|AB|eq r(3)，可得圆心到x轴的距离为eq f(1,2)，故圆心坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，故所求圆的标准方程为(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)eq sup12(2)1.(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)eq sup12(2)111圆(x1)2(y1)21上的点到直线xy2的距离的最大值是_圆(x1)2(y1)21的圆心为C(1，1)，则圆

9、心到直线xy2的距离deq f(|112|,r(12（1）2)eq r(2)，故圆上的点到直线xy2的距离的最大值为eq r(2)1.eq r(2)112已知x，y满足(x1)2y21，求Seq r(x2y22x2y2)的最小值【解】因为Seq r(x2y22x2y2)eq r(（x1）2（y1）2)，又点(x，y)在圆(x1)2y21上运动，即S表示圆上的动点到定点(1，1)的距离，如图所示，显然当定点(1，1)和圆心(1，0)共线时取得最值，且最小值为eq r(（11）2（01）2)1eq r(5)1，所以Seq r(x2y22x2y2)的最小值为eq r(5)1. &科&网Z&X&X&K

10、13一个等腰三角形ABC底边上的高等于4，底边两端点的坐标分别是B(3，0)和C(3，0)，求它的外接圆的方程【解】(1)当点A的坐标是(0，4)时(如图)，kABeq f(4,3)，线段AB的中点坐标是eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，线段AB的垂直平分线的方程是y2eq f(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)，即yeq f(3,4)xeq f(7,8).令x0，则yeq f(7,8).所以圆心的坐标是eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(7,8)，半径长为4eq f(7,8)eq f(25,8)，此时所求外接圆的方程是x

11、2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(7,8)eq sup12(2)eq f(625,64).(2)当点A的坐标是(0，4)时(如图)，kABeq f(4,3)，线段AB的中点坐标是eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，线段AB的垂直平分线的方程是y2eq f(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)，即yeq f(3,4)xeq f(7,8).令x0，则yeq f(7,8).所以圆心的坐标是eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(7,8)，半径长为eq f(7,8)(4)eq f(25,8)，此时所求外接圆的方程是x2eq

12、 blc(rc)(avs4alco1(yf(7,8)eq sup12(2)eq f(625,64).综上可知，所求外接圆的方程是x2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(7,8)eq sup12(2)eq f(625,64)或x2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(7,8)eq sup12(2)eq f(625,64).2.4.2 圆的一般方程A组-应知应会1已知ab0，bc0，则直线axbyc通过()A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限由题意可把axbyc化为yeq f(a,b)xeq f(c,b).ab0，直线在y轴上的截距eq

13、 f(c,b)0且l在y轴上的截距不大于零，即eq blc(avs4alco1(a0，,f(a3,5)0，)a3.13已知平面内两点A(8，6)，B(2，2)(1)求AB的中垂线方程；(2)求过点P(2，3)且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程【解】(1)因为eq f(82,2)5，eq f(62,2)2，所以AB的中点坐标为(5，2)因为kABeq f(62,82)eq f(4,3)，所以AB的中垂线的斜率为eq f(3,4)，故AB的中垂线的方程为y2eq f(3,4)(x5)即3x4y230.(2)由(1)知kABeq f(4,3)，所以直线l的方程为y3eq f(4,3)(x2)，即4x3y10.(3)设B(2，2)关于直