拉普拉斯变换及其性质PPT通用课件

1、拉普拉斯变换及其性质一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即 当函数 f (t)不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存在。此时，可采取给f(t)乘以因子et(为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数 f (t)et，使其满足条件则函数 f (t)et 即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子et 起着使函数 f (t)收敛的作用办法，故称et为收敛因子。1它是 +j的函数，可以写为 设函数 f (t)et 满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰当的值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有F( +j)的傅里叶

2、反变换为即5.1 拉普拉斯变换2二拉普拉斯变换的定义s= +j，s为一复数变量，称为复频率。以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。5.1 拉普拉斯变换3正变换反变换记作 ， 称为原函数， 称为象函数采用 系统，相应的单边拉氏变换为考虑到实际信号都是有起因信号所以5.1 拉普拉斯变换4三拉氏变换的收敛域 收敛域：使F(s)存在的s 的区域称为收敛域。记为：ROC(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；5.1 拉普拉斯变换5例 信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标0)解: 要使该式成立，必须有 ， 故其收敛域为全s平面， 0= 。 0时该式成立，

3、 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。 0时上式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。要使该式成立，必须有a+ 0， 即 a。故其收敛域为 a以右的开平面， 0= a。6四一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全 s 域平面收敛 3.单位冲激信号74幂函数 t nu(t)四一些常用函数的拉氏变换85正余弦信号收敛域收敛域四一些常用函数的拉氏变换96衰减的正余弦信号收敛域收敛域四一些常用函数的拉氏变换105.2 拉普拉斯变换的基本性质线性性质延时特性尺度变换特性复频移特性时域微分定理时域积分定理频域微积分定理初值定理和终值定理卷积定理11一线性性质解：例：已知求 的

4、拉普拉斯变换若 为常数则12二延时特性（时域平移）若则注意：(1)一定是 的形式的信号才能用时移性质(2)信号一定是右移(3)表达式 等 所表示的信号不能用时移性质13例：已知求因为所以解：二延时性质（时域平移）14解：4种信号的波形如图例：已知单位斜变信号 的拉普拉斯变换为求的拉普拉斯变换二延时性质（时域平移）15只有信号 可以用延时性质 二延时性质（时域平移）16时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。 结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以 例：周期冲击序列 的拉氏变换为二延时性质（时域平移）17例解：已知s)F(tt u(t) f求,1) -

5、=解：例二延时性质（时域平移）18三尺度变换时移和尺度变换都有:若则19四复频移特性（s 域平移）若则例：求 的拉氏变换解：20五时域微分定理推广：若则21六时域积分定理若则因为第一项与 t 无关，是一个常数22例：求图示信号的拉普拉斯变换 求导得 所以 解：六时域积分定理23七s 域微积分定理若 则 取正整数证明：对拉普拉斯正变换定义式 求导得 若则24七s 域微积分定理例解：因为所以25八初值定理和终值定理若 和 拉氏变换存在，且则为真分式终值存在的条件:若 的拉氏变换存在，且则初值定理 的所有极点有负实部终值定理初值存在的条件: 当 t 0时，f (t)=0，且 f (t)不包含冲激信号及其各阶导数项26由时域微分定理可知所以初值定理证明：所以八初值定理和终值定理27终值定理证明根据初值定理证明时得到的公式八初值定理和终值定理28F(s)为真分式 的所有极点有负实部八初值定理和终值定理29例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值初值 终值 初值 终值 注意应用终值定理的条件是满足的