6.2等差数列及其前项和

1、第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和高考理数好教育云平台 相关视频讲解请入群 （学霸网）更多配套作业及资料请入群 （听课盘）考点一等差数列及其性质1.等差数列的定义如果一个数列从第二项起,每一项与它相邻前面一项的差是同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d,nN*.3.等差中项如果A=,那么A叫做a与b的等差中项.知识清单4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,mN*).(2)若an为等差数列,且k+l=m

2、+n(k,l,m,nN*),则ak+al=am+an.(3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d.(4)若an,bn是等差数列,则pan+qbn是等差数列.(5)若an是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为md的等差数列.考点二等差数列前n项和公式1.等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d,则其前n项和Sn=或Sn=na1+ d.2.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn=n2+n.非零数列an是等差数列的充要条件是其前n项和Sn=f(n)是n的二次函数或一次函数且不含常数项,即Sn=An2+Bn(A2+B20).3.在等差数列an中

3、,若a10,d0,则Sn存在最大值;若a10,则Sn存在最小值.4.等差数列与等差数列各项的和有关的性质(1)若an是等差数列,则也是等差数列,其首项与an首项相同,其公差是an公差的.(2)若an是等差数列,Sm,S2m,S3m分别为an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.(3)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质(i)若项数为2n,则S偶-S奇=nd,=.(ii)若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=.(4)两个等差数列an、bn的前n项和Sn、Tn之间的关系为=.1.等差数列可以由首项a1和公差d确定,所

4、有关于等差数列的计算和证明,都可围绕a1和d进行.2.对于等差数列问题,一般给出两个条件,就可以通过列方程(组)求出a1,d.如果再给出第三个条件,就可以完成an,a1,d,n,Sn的“知三求二”问题,这体现了用方程思想解决问题的思路.3.注意设元技巧,减少运算量.如果三个数成等差数列,一般可设为a-d,a,a+d;如果四个数成等差数列,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.有关等差数列运算的求解技巧方法1方法技巧A.-1B.-C.D. 例1(2017广东惠州第二次调研考试,7,5分)设an是首项为-,公差为d(d0)的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则d=(A)

5、解题导引解析Sn=na1+d,因为S1,S2,S4成等比数列,所以S1S4=,即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2,因为a1=-,所以-(-2+6d)=(-1+d)2,即d2+d=0,解得d=0或d=-1.又因为d0,所以d=-1,故选A.1.证明一个数列an为等差数列的基本方法有两种:(1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(nN*);(2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(nN*).2.解选择题、填空题时,可用通项法或前n项和法直接判断.(1)通项法:若数列an的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则an是等差数列;(2)前n项和法:若数列an的前

6、n项和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数),则an为等差数列.等差数列的判定与证明方法2(1)设bn=,求证:数列bn是等差数列,并求出an的通项公式;(2)设cn=,数列cncn+2的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn对于nN*恒成立?若存在,求出m的最小值,若不存在,请说明理由.例2(2017山东淄博淄川中学4月模拟,19)已知数列an满足a1=1,an+1=1-,其中nN*.解析(1)证明:bn+1-bn=-=-=-=2,数列bn是公差为2的等差数列,又b1=2,bn=2+(n-1)2=2n.2n=,解得an=.(2)由(1)可得cn=,cncn+2=2,数列cncn+2的前n项和为Tn=2+=23.要使得Tn对于nN*恒成立,只要3,即3,解得m3或m-4,且m为正整数,故m的最小值为3.思路分析(1)利用递推公式可得出bn+1-bn为一个常数,从而证明数列bn是等差数列,可得到等差数列bn的通项公式,进而得到an的通项公式;(2)利用(1)的结论,利用“裂项求和”即可得到Tn,要使得Tn0,当n14时,an0,当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为S12=S13=1220+=1