大学物理：自旋的态矢量

1、1空间任意方向自旋本征态如何表示？（2）自旋的态矢量2连串实验Oven SGzSGz+z-zNo signal+z-zOven SGzSG+-+z-z想象偏振测量实验。这里磁场方是测量基！处于+z的态，发现它是+x态或-x的概率是1/2添加其他实验还可证明，处于某个方向正向的态，在一个与其夹角为 的方向测分量值。获得正值概率为 ，获得负值概率为 。3物理量: Sz（z向自旋）可观测结果： ，算符本征值 ， 本征矢，算符：Sx（x向自旋）（Y向自旋）Sy4对自旋态的数学描述必须与实验事实相符并且自洽。基本任务：对空间任何方位（ ）的正方向与负方向的自旋本征态的数学描述。5实验事实1：任何方位的正

2、负方向的本征态正交。此即要求在任何方位，事实2：任何两个方位，若其正向夹角为 那发现其中一个方位的正向本征态是另一个方位正负向本征态的概率分别为 。 6事实2：任何两个方位，若其正向夹角为 那发现其中一个方位的正向本征态是另一个方位正负向本征态的概率分别为 。 若选定则必然要求以便满足事实2，即7若选定以便满足事实2，即则必然要求以及8若选定则必然要求或者Bloch 球面电子自旋任何一个态对应于Bloch面上一个点9任意态可以采用两维矢量表述特别的103. 自旋角动量算符与泡利矩阵 任何物理量都对应与一个线性厄米（Hermitian，self-adjoint）算符A。 A有一套本征矢量 ， 对

3、应本征值 回顾 公设该物理量算符为：113. 自旋算符与泡利矩阵 什么样的算符能有这种本征态及相应的本征值？对于任意方位 的自旋角动量分量，有本征值 及对应的本征态12对于自旋角动量算符抛弃公因子 即得泡利算子对于特殊方位轴3. 自旋算符与泡利矩阵 13 上述矩阵定义为泡利自旋矩阵3. 自旋算符与泡利矩阵 自旋角动量分量算符注：一般教科书上采用先给出泡利自旋矩阵，再去算本征态。然而，给出泡利自旋矩阵是基于假定自旋算符与轨道角动量算符具有同样对易法则。（这个假定不属于量子力学公设。）然而，我们的课件在这里既不需要这个假定，也不需要先行了解轨道角动量算符及其对易关系，我们只用到两个东西：实验事实与

4、算符公设。请同学们注意品味课件这部分内容。14 单位矩阵加上泡利自旋矩阵可以构成任何2乘2矩阵3. 自旋算符与泡利矩阵 任何2乘2矩阵可改写为例如：所有泡利矩阵的本征值都是 15 不同的泡利自旋矩阵是不对易的，任何不同方位的自旋角动量分量值不能同时精确测量。3. 自旋算符与泡利矩阵 定义自旋平方算符为 ：平方算符的本征值是唯一的，又称为常数算符 163. 自旋算符与泡利矩阵 可以证明，对于任何角动量J，此处j为总角动量量子数。 证明过程只需要对易关系对于轨道角动量 ，以上对易关系可以验证174 在均匀静均匀静磁场中的自旋进动进动就是指在外磁场作用下自旋态的演化。如过去所说，我们需要哈密顿量及其

5、本征值与本征态。184 在均匀静均匀静磁场中的自旋进动电子自旋任何一个态对应于Bloch面上一个点，或者对应于连接原点与该点的矢量电子自旋态的演化可以直观的对应于Bloch面上点的运动，或者是对应矢量尾部的进动我们把自旋态在磁场中的演化称为自旋进动“进动”只是一个直观的数学图像，与电子位置没有任何关系！194 在均匀静均匀静磁场中的自旋进动为方便起见，今后我们将统一采用这里，称为电子的回磁比（gyromagnetic ratio）联系电子磁矩与自旋角动量（算符）204 在静均匀静磁场中的自旋进动哈密顿量经典电磁学，势能实验表明，量子力学的哈密顿量就是把上式的磁矩换成算符。为方便起见，经常采用约

6、化磁场：214 在均匀静磁场中的自旋进动（拉莫进动）设磁场方向为z+方向，称为拉莫频率(Larmor frequency) 自旋1/2粒子在均匀静磁场中的进动叫做拉莫进动，Larmor precession22态演化问题的一般方法回顾我们现在局限于不含时哈密顿量1）写出哈密顿量 2）解定态方程，获得哈密顿量的本征态 与本征值 ，3）以上述本征态为基础态， 将给定的初始态 展开，最后得任意时刻的态。23为方便起见，经常采用约化磁场：取磁场为z+方向自旋态在磁场中的进动哈密顿量定态及本征值对于任意初始态在时刻t为拉莫频率对应Bloch面上点的进动，是“绕z轴转动”24对自旋态的数学描述必须与实验事实相符并且自洽。基本任务：对空间任何方位（ ）的正方向与负方向的自旋本征态的数学描述。25在时刻t若初始时刻为 在任意时刻x方向自旋平均值？26在时刻t任意时刻t发现它的自旋为x+的概率？例2 在x轴正向接通磁场