大学物理：热学 第17章 气体动理论 01,Molecular Phys.

1、PAGE 第3篇 热 学 (Heat)第17章 温度和气体动理论 (Temperature Kinetic Theory of Gases) 1 引言一.热学研究对象及内容1.对象：热力学系统由大量分子或原子组成系统外的物体称外界2.内容：与热现象有关的性质和规律热现象：物质中大量分子热运动的集体 表现。二.热学的研究方法1.宏观描述方法热力学方法由实验确定的基本规律，研究热现象的宏观特性和规律。对系统进行整体描述。2.微观描述方法统计物理方法从物质的微观结构出发，用统计平均的方法，研究热现象及规律的微观本质。 两种方法相辅相成。三.几个概念1.宏观量与微观量(1)宏观量 (macroscop

2、ic quantity)表征系统整体性质的物理量可直接测量(如体积、压强)广延量：有累加性(如质量、能量) 强度量：无累加性(如温度、压强)(2)微观量(microscopic quantity)描写单个微观粒子运动状态的物理量一般不能直接测量(如分子质量、能量)宏观量是微观量的统计平均值 (如压强和大量分子撞击器壁时动量变化率的统计平均值有关)2.平衡态(equilibrium state)在不受外界影响的条件下，系统宏观性质 不随时间改变的状态(热动平衡)。平衡态理想概念、理想模型（是一定条件下对实际情况的概括和抽象）。假如有人说：“系统宏观性质不随时间改变的状态叫平衡态”，对吗？和100

3、C热源接触和20C热源接触棒上有稳定的温度分布思考：金属棒算不算处于平衡态？没有外界影响：系统和外界间没有任何形式的能量交换（不做功、不传热）。3.状态参量描述系统平衡态的宏观参量常用：P、V、T平衡态下状态参量不随时间变化在PV图上一个点表示一个平衡态。4.状态方程(equation of state)状态参量之间的函数关系 f (P,V,T) = 0PV = RTM理想气体状态方程 P = nkT (n分子数密度)k = = 1.3810-23 J/KRNA玻耳兹曼常数2温度(Temperature) (自学)一.热平衡态两系统热接触下，相当长时间后达到的共 同平衡态。二.温度1.温度：处

4、于热平衡的系统所具有的共同 的宏观性质，描述此性质的物理量称温度。温度是描写系统热平衡态的物理量，一切处于同一热平衡态的系统有相同的温度。 2.热平衡定律(热力学第零定律)实验表明：若A与C热平衡 B与C热平衡 则A与B热平衡。即分别与第三个系统处于同一热平衡态的 两个系统必然也处于热平衡。由此定义温度（处于同一热平衡态下的热 力学系统所具有的共同的宏观性质）。温度取决于系统内部的热运动状态。 三.温标(temperature scales)（自己看）温度的数值表示法称温标。 1.理想气体温标 0.5K范围适用(低压3He气)T3T= PVP3V3对一定质量m ，定义水的三相点（1954年国际

5、规定） T3 273.16 KT = 273.16 ( )PVP3V3 只要测定了某状态的P、V值，即可得该 状态下的T值。 2.热力学温标（绝对温标、开尔文温标）建立在热力学第二定律的基础上（不依赖于测温物质和测温属性）。国际上规定为最基本是温标。在理想气体温标有效范围内，两种温标一 致。 T：K (Kelvin) 热力学温度、绝对温度 T3 = 273.16K 3.摄氏温标1960年国际计量大会规定：摄氏温标由热力学温标导出， t = (T - 273.15) 摄氏零度是273.15K。 4.华氏温标 tF = 32 + (9/5)t F水 冰点：tF = 32 F 沸点：tF = 212

6、 F 以下为 气体动理论 部分 讨论：气体的压强与温度气体分子按速率和按能量的分布 实际气体的状态方程输运过程 特别注意：统计平均的方法及统计性的规律 3 理想气体的压强和温度一.理想气体的微观模型忽略分子大小(看作质点) 分子线度 6， (还有内部相对运动) 2.气体分子的自由度考虑：刚性分子，无内部相对运动 (低温、常温下如此)(1)单原子分子(He、 Ne、 Ar、) i = t = 3，(2)双原子分子(O2、H2、 CO、) 双原子分子示意图 t = 3 r = 2 绕轴转动自由度无意义 i = t + r = 5(3)多原子分子(H2O、 NH3、 CO2、) i = t + r

7、= 6 二.能量均分定理 (Principle of the equipartition of energy) 1.能量均分定理 t = kT32平动情形 由平均平动动能 平动自由度 t = 312kT每个平动自由度的平均动能都相等，为 由于分子的无规则碰撞，能量不仅在分子 间交换，还可在平动自由度间转移，没有 哪个平动自由度占有优势。 分子有转动的情形 无规则碰撞过程中，能量可在平动、转动 间及转动自由度间交换，没有哪个自由度 特殊。 各自由度的平均动能都是相等的 能量均分定理(Principle of the equipartition of energy) ：在温度为T的平衡态下，气体分

8、子每个自 由度所对应的平均动能都等于12kT 2.分子的平均动能 k = kTi2 单原子分子 k = (3/2) kT双原子分子(刚性) k = (5/2) kT多原子分子(刚性) k = 3kT三.理想气体内能1.内能：内能(Internal energy)是气体内所有 分子的动能、分子内的势能与分子间的相 互作用势能的总和。 2.理想气体内能对理想气体，分子间的势能为零对刚性分子，分子内的势能为零 理想气体内能(Internal energy of ideal gases) 是其所有分子的平均动能之和 E = N k = N( ) kT i2若气体有N个分子，则内能 k =RNA= (摩

9、尔数)NNA， 因 E = RTi2 有理想气体内能 理想气体内能只是温度的函数，且和热力 学温度T成正比。 5 麦克斯韦速率分布律分子的速度分布、速率分布有无规律? 分子数多； 分子速度的大小、方向千变万化单个无规则，整体有规律(统计规律)开演时刻 to 实例用图 进场人数统计：每5分钟间隔 内进电影院的 人数。 实例：人口情况统计一.速率分布函数1.统计方法把速率分成很多相等的间隔统计每间隔内的分子数N +o 速率间隔 NN ： + 间隔内分子数与分子总数N之比 NN ：某 处单位速率间隔内分子数与NddN 总数之比。 ：某 处单位速率间隔内分子数与 总数之比2.速率分布函数 速率分布函数

10、(Function of distribution of f () = ( )1NdNd speeds) 二.麦克斯韦速率分布律1859年Maxwell用概率论 证明了理想气体分子按速 度的分布是有规律的。 速率分布律：分子数按速度大小的分布。 1.麦克斯韦速率分布函数 f () = 4( )3/22em2kT- m22kT理想气体；平衡态；无外场 麦克斯韦速率分布曲线 f ()T op 1 2 d麦克斯韦速率分布曲线 2.讨论dNNd(1)速率范围： 0 (2)竖线意义： f () 即 dNN 21 f ()d窄面积意义: f()d 即 宽面积意义: 即12范围内分子数与总数之比0 f ()

11、d = 1(3)曲线下面积 称归一化条件(nomalizing condition) (4)如温度升高，曲线如何画?(请自己画) (5)麦克斯韦速率分布规律是统计规律，只适 用于大量分子组成的集体。麦克斯韦速率分布的实验验证(见教材 B版17.10，P24)三.三种速率df()d = 0p最概然速率 对速率分布曲线求极值 可得最概然速率(最可几速率) (the most probable speed) p =2kTm2RT= 1.41RT p 意义：(请自己叙述)思考如T p、f()曲线及f(p)如何变？ 为什么? 如m f()曲线如何变? = 0 dN = 0 Nf()d =1N1 + 2N

12、2 + + nNnN= iNiNN1N1 2.平均速率 = 0 f ()d 再由麦克斯韦速率分布函数可得 1.60RT =8kTm8RT= 平均速率(average speed)练习：请写出12间分子的平均速率的表 示式。 3.方均根速率2 = 0 2 f ()d同理 再由麦克斯韦速率分布函数可得 方均根速率(root-mean-square speed)2 =3kTm3RT= 1.73RT 练习：请写出12间分子的方均根速率的 表示式。 4.几点讨论(1)三种速率数值不同2p E1)上的粒子数之比为= exp N2N1-(E2-E1)kT 例 H原子基态能级 E1 = -13.6 eV 第一

13、激发态 E2 = -3.4 eV 在室温下 T=300K，有N2N1 10-170 即处于基态的原子最多，处于激发态的极 少。二.重力场中理想气体分子按位置的分布 重力作用下，分子位置分布下密上疏，不 再均匀。 1.位置区间中的分子数分析位置在 x x + dx， y y + dy， z z + dz， 中的分子数(速度不究) dNr 位置区间：dxdydz 是三维坐标空间中的一个体积元。 位置区间dxdydz中的分子数dNr可由dNr = C - e dxdydz -EkkTedxdydz-EpkT对dN, r中的各速度分量积分而得到dNr = Cexp( )dxdydz-EpkT 得出 其

14、中 C = C 积分 2.重力场中的分子数密度nCexp( )-EpkTdNrdxdydz为分子数密度n，有 重力场中 Ep = mgznCexp( )-mgzkT 于是 可见C即z = 0处的分子数密度n0 平衡态T下分子数密度随高度变化的公式nn0exp( )-mgzkT 3.恒温气压公式因为 P = nkT pp0exp( )-mgzkT p0exp( )-gzRT 有恒温气压公式 其中 P0 = n0kT是高度为零处的压强高度每升高10米，大气压强约降133Pa (1mmHg) ，此为高度计的原理。7 实际气体等温线(自学)(教材B版P27)patm-3 (10L/mol)要求搞清：图

15、中的四种状态临界点临界态临界等温线临界温度饱和蒸汽压 CO2的等温线)(mV实际气体等温线(isotherm of real gases) 8 范德瓦尔斯方程理想气体微观模型： 分子无大小 分子间无作用力(碰撞时除外) 理想气体只是在T不太低、P不太大条件下对实际气体的近似。对实际气体，则需考虑分子大小和分子间 作用力 二因素 fodr0r 斥力引力10-9m 分子间的作用力一.分子间的相互作用 1.实际气体分子间的作用力 r = d时 f (斥力) d分子的有效直径 d 10-10米 r 0 (斥力) r = r0时 f = 0 r0平衡距离 r r0时 f s时 f 0 s分子力的有效作用

16、距离 s d的几十至几百倍2.实际气体分子模型 有引力的刚球模型fodr有引力的刚球模型 分子是直径为 d 的刚球 r = d时 f (斥力) r d时 f 0 (引力)二.范德瓦尔斯方程在理想气体状态方程的基础上，进行两项修正。 1.分子大小引起的修正P =RT一摩尔理想气体状态方程 如何理解体积 : 容器的体积? 气体的体积? 气体分子的自由活动的空间? 可压缩的体积?对实际气体，考虑分子本身有大小 分子自由活动的空间为 - b b ：反映分子本身体积的改正项P =RT - b状态方程应修改为 可以证明：b约为1 mol气体分子本身总体积的4倍b = 4NA43( )3d2 d 10-10

17、 m b 10-6 m3 = 1cm3 2.分子间引力引起的修正分子作用力对压强的影响 asbcs分子作用球 f合 f合 f合=0 (1)容器中分子所受的引力分子作用球：一以某分子为中心为半径 画的球。分子a (在容器中部)：不受力(分子球内其他分子对a的引力抵消)分子b、c (在表面层内)：受指向气体内部 的合力此合力 (分子撞壁动量) (分子对壁的冲力) 此合力效果 指向内部的压强(内压强Pi) (2)内压强Pi 被吸引的表面层内的分子数密度n 施加引力的内部分子的数密度nPi n2 12 Pi =a2 a 反映分子间引力的常数(3)方程的修正P =RT - b - Pi分子实际作用于器壁

18、的由实验可测的压强 3.范德瓦尔斯方程 (Van der Waals eguation)(P + )( - b) = RTa2(1)对1 mol气体 = ( )VMV = ( ) ，M(P + )( V - b) = RTMaV 2M22M(2)质量为M的气体 实际气体在相当大的压强范围内更近似遵 守范德瓦尔斯方程(见教材B版P31表)遵守范德瓦尔斯方程的气体称范德瓦尔斯 气体 各种气体的常数a、b可由实验测量三.范德瓦尔斯等温线 1.范德瓦尔斯等温线(P + )( - b) = RTa21mol的范氏方程3 - ( b + ) 2 + - = 0 aPabPRTP可改写为由此方程反映的PV关

19、系即为范氏等温v 范德瓦尔斯等温线 BC段：饱和蒸汽与液 体的共存态AB段：汽态BE段：过饱和蒸汽EF段：实际不存在DC段：液态CF段：过热液体（云室）（气泡室）不稳定态线(理论曲线) 范氏等温线和实际气体等温线符合较好 2.过饱和汽、过热液体(1)过饱和汽(BE段)是不太稳定的状态，实际中可存在比同温下饱和汽的摩尔体积(B点)小，密度大、压强大如有凝结中心，可迅速凝结云室：探测粒子径迹 (2)过热液体(CF段)是不太稳定的状态，实际中可存在比同温下平衡液体(C点)摩尔体积大密度小、压强小如有汽化中心，将剧烈汽化，压强突增， 很危险(可引起锅炉爆炸)。气泡室：探测粒子径迹( )k = 0 ,

20、( )k = 0dPdd2Pd23.临界参量由 可得 k = 3b ,Tk =8a27bRPk =a27b2, a = 32kPk , b = k3 由实验测得k、Pk a、b 9 气体分子的平均自由程 气体分子碰撞，使分子速度有稳定分布(平衡态下)实现能量均分使气体由非平衡态 平衡态讨论: 理想气体 ，平衡态碰撞频率 1.定义：一个分子单位时间内所受到的平均 碰撞次数。 2.计算 (1)模型：分子看作是有引力的刚性小球 (有效直径d) (2)计算设分子A以平均相对速率u运动，而其他 分子不动；以A的轨迹为轴线，以d为半径作一圆柱 体，柱体长ut；凡分子中心在柱体内的其他分子都将d 碰撞频率的

21、分析 A静止 = d2u 与A相碰， 碰撞截面(collision cross-section)： 圆柱体的截面积 = d2 称分子的碰撞截面。圆柱体体积： d 2ut 柱体内分子数： d 2ut n， (n分子数密度)碰撞频率 Z = = d 2u nd 2ut ntu = 2 平均相对速率和平均速率的关系为 因分子碰撞有各种可能夹角：0180 vvu平均相对速率和平 均速率的关系 平均而言： = 90 碰撞频率(collision frequency)：Z = 2 d 2 n 标准状况下，空气分子 Z = 6.5109 次/秒 (每秒碰65亿次! ) 平均自由程定义：气体分子在相邻两次碰撞

22、间飞行 的平均路程。 =Z 平均自由程(mean free path) =1 2 d 2 n 对理想气体 P = nkT ， 有 =kT 2 d 2 p TP可见标准状况下，空气分子 d = 3.510-10m， = 6.910-8m (约为d的200倍)低压下， P 一般容器线度(1m)认为： 容器线度10 输运过程讨论：非平衡态问题及其过渡非平衡态：系统各部分物理性质不均匀 (如流速、温度、密度 不均匀)。输运过程(迁移过程) (Transport process)： 系统从非平衡态自发向平衡态(物理性质均匀)过渡的过程。 一.热传导1.热传导(thermal conduct)：物体内各部

23、分T 不均匀时，内能由T高处 T低处的现象。 设想简单情形： A、B两板间有导热物质T由下而上递减热量将沿z轴传递在z = z0处有一假想的分界面，面积为z0zoxT1BT2 (T1)A- T=T(z)dQdS 热传导 dS 2.分析dTdz 0(1)迁移原因：T不均匀 温度梯度 (2)迁移的物理量：内能热运动能量 (迁移内能的多少称热量)dQ = - k( ) dSdtdT Q = - k(dT/dz)z0dSdtdzz0(3)宏观规律实验表明： Fourier定律 负号反映热量总是由T高处T低处。k导热系数，由导热物质性质及状态决 定。一般气体：k10-310-2 W/mk (4)微观解释

24、对气体：内部温度不均匀，表明内部各处分子平均热运动能量 不同 对穿过dS面的分子 由下上的分子带有较大的平均能量 由上下的分子带有较小的平均能量上下分子交换 能量向上净迁移宏观上表现为热传导k = nm c13由分子运动论可以导出 (c 气体定容比热)二.扩散扩散(diffusion)原因：密度 不均匀dM = - D( ) dSdtdzz0d 迁移物理量：质量M宏观规律： D扩散系数(单位：m2/s)D = 13微观解释：分子由大处向小处净迁移 可以导出： 三.内摩擦内摩擦(internal friction)流体有粘滞性(viscosity)流体内各部分流速不同时，将发生内摩擦 现象。内摩

25、擦力(粘滞力viscous force)：流体内 各层之间由于流速不同而引起的相互作用力。 2.分析：设想简单情形；A、B两板间有流体，下板静止，上板以u0沿x匀速运动，带动 板间流体沿x向流动平行于板的各层流体流速不同zu0Au = 0Bxu=u(z)z0odSdfdf 内摩擦在z0 处有一假想分界面，面积dS 在分界面处 下面的流体层(流速小)对上面的流体层(流速大)产生沿-x向的粘滞力df ； 下面的流体层受到沿+x向的粘滞力df (1)迁移原因：定向速度u不均匀(2)迁移的物理量：定向速度(或定向动量)df = ( ) dSdzdu = - k(dT/dz)z0dSdtz0(3)宏观规律： -内摩擦系数(粘滞系数)，与流体性质 和状态有关(单位：牛顿秒/米2或 帕秒)。(4)