2021版数学（新教材）必修 第一册人教A版：第二章 2-2 第2课时

1、第2课时基本不等式的应用学习目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题知识点用基本不等式求最值用基本不等式eq f(xy,2)eq r(xy)求最值应注意：(1)x，y是正数；(2)如果xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2eq r(P)；如果xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值eq f(1,4)S2.(3)讨论等号成立的条件是否满足预习小测自我检验1已知0 x2，则xeq f(4,x2)的最小值为_答案6解析xeq f(4,x2)x2eq f(4,x2)2，x20，x2eq f(4,x2)2

2、2eq r(4)2426.当且仅当x2eq f(4,x2)，即x4时取“”一、利用基本不等式变形求最值例1已知x0，y0，且eq f(1,x)eq f(9,y)1，求xy的最小值解方法一x0，y0，eq f(1,x)eq f(9,y)1，xyeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(9,y)(xy)eq f(y,x)eq f(9x,y)1061016，当且仅当eq f(y,x)eq f(9x,y)，又eq f(1,x)eq f(9,y)1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.方法二由eq f(1,x)eq f(9,y)1，得(x1)(y9)9(定

3、值)由eq f(1,x)eq f(9,y)1可知x1，y9，xy(x1)(y9)102eq r(x1y9)1016，当且仅当x1y93，即x4，y12时上式取等号，故当x4，y12时，(xy)min16.延伸探究若将条件换为：x0，y0且2x8yxy，求xy的最小值解方法一由2x8yxy0，得y(x8)2x.x0，y0，x80，yeq f(2x,x8)，xyxeq f(2x,x8)xeq f(2x1616,x8)(x8)eq f(16,x8)102eq r(x8f(16,x8)1018.当且仅当x8eq f(16,x8)，即x12时，等号成立xy的最小值是18.方法二由2x8yxy0及x0，y

4、0，得eq f(8,x)eq f(2,y)1.xy(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(8,x)f(2,y)eq f(8y,x)eq f(2x,y)102eq r(f(8y,x)f(2x,y)1018.当且仅当eq f(8y,x)eq f(2x,y)，即x2y12时等号成立xy的最小值是18.反思感悟应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换跟踪训练1已知正数x，y满足xy1，则eq f(1,x)eq f(4,y)的最小值是_答案

5、9解析xy1，eq f(1,x)eq f(4,y)(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)14eq f(y,x)eq f(4x,y).x0，y0，eq f(y,x)0，eq f(4x,y)0，eq f(y,x)eq f(4x,y)2eq r(f(y,x)f(4x,y)4，5eq f(y,x)eq f(4x,y)9.当且仅当eq blcrc (avs4alco1(xy1，,f(y,x)f(4x,y)，)即xeq f(1,3)，yeq f(2,3)时等号成立eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)min9.二、基本不等式在实际问题中的应用

6、例2“足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Qeq f(x1,2)(其中推广促销费不能超过3万元)已知加工此批农产品还要投入成本2eq blc(rc)(avs4alco1(Qf(1,Q)万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为eq blc(rc)(avs4alco1(2f(20,Q)元/件那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利

7、润为多少？(利润销售额成本推广促销费)解设该批产品的利润为y，由题意知yeq blc(rc)(avs4alco1(2f(20,Q)Q2eq blc(rc)(avs4alco1(Qf(1,Q)x2Q202Qeq f(2,Q)x20eq f(2,Q)x20eq f(4,x1)x21eq blcrc(avs4alco1(f(4,x1)x1)，0 x3.21eq blcrc(avs4alco1(f(4,x1)x1)212eq r(4)17，当且仅当x1时，上式取“”，当x1时，ymax17.答当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元反思感悟应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌

8、握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立跟踪训练22016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1x10)，每小时可消耗A材料kx29千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克消耗A材料总重量为y千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少解由题意，得k91

9、0，即k1，生产1 000千克该产品需要的时间是eq f(1 000,x)，所以生产1 000千克该产品消耗的A材料为yeq f(1 000,x)(x29)1 000eq blc(rc)(avs4alco1(xf(9,x)1 0002eq r(9)6 000，当且仅当xeq f(9,x)，即x3时，等号成立，且130，225xeq f(3602,x)2eq r(2253602)10 800.y225xeq f(3602,x)36010 440.当且仅当225xeq f(3602,x)时，等号成立即当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元素养提升数学建模是对现实问题进行数

10、学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值本例中所涉及的yxeq f(a,x)(a0)就是一个应用广泛的函数模型1设x0，则33xeq f(1,x)的最大值是()A3 B32eq r(2)C1 D32eq r(3)答案D解析x0，3xeq f(1,x)2eq r(3xf(1,x)2eq r(3)，当且仅当xeq f(r(3),3)时取等号，eq blc(rc)(avs4alco1(3xf(1,x)2eq r(3)，则33xeq f(1,x)32eq r(3)，故选D.2已知eq f(x2x1,x1)(x1)在xt时取得最小值，则t等于()A1eq r(2) B2

11、C3 D4答案B解析eq f(x2x1,x1)eq f(xx11,x1)xeq f(1,x1)x1eq f(1,x1)1213，当且仅当x1eq f(1,x1)，即x2时，等号成立3将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A6.5 m B6.8 m C7 m D7.2 m答案C解析设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则eq f(1,2)ab2，ab4，labeq r(a2b2)2eq r(ab)eq r(2ab)42eq r(2)6.828(m)要求够用且浪费最少，故选C.4已知正数a，b满足

12、a2b2，则eq f(2,a)eq f(1,b)的最小值为_答案4解析eq f(2,a)eq f(1,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,a)f(1,b)eq f(1,2)(a2b)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(4f(a,b)f(4b,a)eq f(1,2)(42eq r(4)4.当且仅当eq f(a,b)eq f(4b,a)，即a1，beq f(1,2)时等号成立，eq f(2,a)eq f(1,b)的最小值为4.5设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是_ m3.答案16解析设车厢的长为b

13、 m，高为a m.由已知得2b2ab4a32，即beq f(162a,a1)，Vaeq f(162a,a1)22eq f(16a2a2,a1).设a1t，则V2eq blc(rc)(avs4alco1(202tf(18,t)2eq blc(rc)(avs4alco1(202 r(2tf(18,t)16，当且仅当t3，即a2，b4时等号成立1知识清单：(1)已知x，y是正数若xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值若xyP(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值即：“和定积最大，积定和最小”(2)求解应用题的方法与步骤审题，建模(列式)，解模，作答2方法归纳：注意条件的变换，常用“1”

14、的代换方法求最值3常见误区：缺少等号成立的条件1已知正数x，y满足eq f(8,x)eq f(1,y)1，则x2y的最小值是()A18 B16 C8 D10答案A解析x2y(x2y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(8,x)f(1,y)10eq f(16y,x)eq f(x,y)102eq r(16)18，当且仅当eq f(16y,x)eq f(x,y)，即x4y12时，等号成立2已知a0，b0，eq f(2,a)eq f(1,b)eq f(1,6)，若不等式2ab9m恒成立，则m的最大值为()A8 B7 C6 D5答案C解析由已知，可得6eq blc(rc)(avs4alco1(

15、f(2,a)f(1,b)1，2ab6eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,a)f(1,b)(2ab)6eq blc(rc)(avs4alco1(5f(2a,b)f(2b,a)6(54)54，当且仅当eq f(2a,b)eq f(2b,a)时，即ab18等号成立，9m54，即m6，故选C.3小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aaveq r(ab) Bveq r(ab)C.eq r(ab)va0，则veq f(2s,f(s,a)f(s,b)eq f(2ab,ab)eq f(2ab,2b)a，故选A.4若正数x，y满足x23xy10，则xy的最小

16、值是()A.eq f(r(2),3) B.eq f(2r(2),3) C.eq f(r(3),3) D.eq f(2r(3),3)答案B解析由x23xy10，可得yeq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)x).又x0，所以xyeq f(2x,3)eq f(1,3x)2eq r(f(2,9)eq f(2r(2),3)eq blc(rc)(avs4alco1(当且仅当xf(r(2),2)时等号成立).5已知m0，n0，mn1且xmeq f(1,m)，yneq f(1,n)，则xy的最小值是()A4 B5 C8 D10答案B解析依题意有xymneq f(1,m)eq

17、f(1,n)1eq f(mn,m)eq f(mn,n)3eq f(n,m)eq f(m,n)325，当且仅当mneq f(1,2)时取等号故选B.6为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mgL1)随时间t(单位：h)的变化关系为Ceq f(20t,t24)，则经过_ h后池水中该药品的浓度达到最大答案2解析Ceq f(20t,t24)eq f(20,tf(4,t).因为t0，所以teq f(4,t)2eq r(tf(4,t)4eq blc(rc)(avs4alco1(当且仅当tf(4,t)，即t2时等号成立).所以Ceq f(20,tf(4,t)eq f(

18、20,4)5，当且仅当teq f(4,t)，即t2时，C取得最大值7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.答案20解析设矩形花园的宽为y，则eq f(x,40)eq f(40y,40)，即y40 x，矩形花园的面积Sx(40 x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(x40 x,2)2400，当且仅当x20时，取等号，即当x20 m时，面积最大8某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(xN*)满足关系yx212x25，则每辆客车营运_年时，年平均利润最大答案5解析yx

19、212x25，年平均利润为eq f(y,x)eq f(x212x25,x)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(25,x)122eq r(xf(25,x)122，当且仅当xeq f(25,x)，即x5时，等号成立9已知x0，y0且2x5y20.(1)求xy的最大值；(2)求eq f(1,x)eq f(1,y)的最小值解(1)2x5y20，x0，y0，2x5y2eq r(10 xy)，2eq r(10 xy)20，即xy10，当且仅当x5，y2时，等号成立，xy的最大值为10.(2)eq f(1,x)eq f(1,y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(1,y)e

20、q f(1,20)(2x5y)eq f(1,20)eq blc(rc)(avs4alco1(25f(5y,x)f(2x,y)eq f(1,20)eq blc(rc)(avs4alco1(7f(5y,x)f(2x,y)eq f(1,20)(72eq r(10)，当且仅当eq r(2)xeq r(5)y时，等号成立eq f(1,x)eq f(1,y)的最小值为eq f(1,20)(72eq r(10)10某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在40100(单位：km/h)之间假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为eq blc(

21、rc)(avs4alco1(3f(x2,360)L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用耗油费司机的工资)解设总费用为y元由题意，得y76.4eq f(100,x)7.2eq f(100,x)eq blc(rc)(avs4alco1(3f(x2,360)eq f(9 800,x)2x(40 x100)因为yeq f(9 800,x)2x2eq r(19 600)280.当且仅当eq f(9 800,x)2x，即x70时取等号所以这次租车的总

22、费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.11设0 x1，则eq f(4,x)eq f(1,1x)的最小值为()A10 B9 C8 D.eq f(27,2)答案B解析0 x0，eq f(4,x)eq f(1,1x)x(1x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,x)f(1,1x)4eq f(41x,x)eq f(x,1x)152eq r(f(41x,x)f(x,1x)5229.当且仅当eq f(41x,x)eq f(x,1x)，即xeq f(2,3)时，等号成立eq f(4,x)eq f(1,1x)的最小值为9.12设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式yM都成

23、立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界若a，b为正实数，且ab1，则eq f(1,2a)eq f(2,b)的上确界为()Aeq f(9,2) B.eq f(9,2) C.eq f(1,4) D4答案A解析因为a，b为正实数，且ab1，所以eq f(1,2a)eq f(2,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2a)f(2,b)(ab)eq f(5,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,2a)f(2a,b)eq f(5,2)2eq r(f(b,2a)f(2a,b)eq f(9,2)，当且仅当b2a，即aeq f(1,3)，beq f(2,3)时等号成立，因此

24、有eq f(1,2a)eq f(2,b)eq f(9,2)，即eq f(1,2a)eq f(2,b)的上确界为eq f(9,2).13一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的序号是()(1,4)；(6,8)；(7,12)；eq blc(rc)(avs4alco1(3，f(1,2).A BC D答案A解析设矩形的长和宽分别为x，y，则xyeq f(1,2)l，Sxy.对于(1,4)，则xy2，xy1，根据基本不等式满足xyeq blc(rc)(avs4alco1(f(xy,2)2，符合题意；对于(6,8)，则xy4，xy6，根据基本不等式不满足xyeq blc(rc

25、)(avs4alco1(f(xy,2)2，不符合题意；对于(7,12)，则xy6，xy7，根据基本不等式满足xyeq blc(rc)(avs4alco1(f(xy,2)2，符合题意；对于eq blc(rc)(avs4alco1(3，f(1,2)，则xyeq f(1,4)，xy3，根据基本不等式不满足xyeq blc(rc)(avs4alco1(f(xy,2)2，不符合题意综合，可作为数对(S，l)的序号是.14已知不等式2xmeq f(8,x1)0对任意的x1恒成立，则实数m的取值范围为_答案m|m10解析2xmeq f(8,x1)0在x1时恒成立，m2xeq f(8,x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(4,x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(4,x1)1)，又x1时，x10，x1eq f(4,x1)12eq r(x1f(4,x1)15，当且仅当x1eq f(4,x1)，即x3时，等号成立，2eq blc(rc)(avs4alco