数理方程复习

1、数理方程南京邮电大学、应用数理系数数学学物物理理方方程程数学角度数学角度微分积分方程微分积分方程偏微分方程偏微分方程波动方程波动方程 (双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程) 恒定场方程恒定场方程(椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程)输运方程输运方程 (抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程)定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解条件。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学物理条件。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数

2、学物理定解问题或简称为定解问题。定解问题或简称为定解问题。数理方程南京邮电大学、应用数理系三类基本方程在直角坐标系中的表示三类基本方程在直角坐标系中的表示一、一、 波动方程波动方程222()ttxxyyzzuaua uuu二、热传导方程二、热传导方程222()txxyyzzuaua uuu三、拉普拉斯方程三、拉普拉斯方程20=0 xxyyzzuuuu即数理方程南京邮电大学、应用数理系 定解问题的适定性定解问题的适定性：解的：解的存在性存在性、解的、解的唯一性唯一性和解的和解的稳定性稳定性； 若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定

3、的。 定解问题泛定方程定解问题泛定方程+定解条件定解条件边界条件确定本征值和本征函数边界条件确定本征值和本征函数要求掌握三类边界条件的常见例子（见第一章课件，要求掌握三类边界条件的常见例子（见第一章课件，如边界吸热，放热，绝热，边界不受外力，自由冷却如边界吸热，放热，绝热，边界不受外力，自由冷却等）以及初始条件的表述方法。等）以及初始条件的表述方法。初始条件确定级数叠加系数初始条件确定级数叠加系数数理方程南京邮电大学、应用数理系fcuububuauauayxyyxyxx2122121121 1、线性二阶偏微分方程的一般形式、线性二阶偏微分方程的一般形式 0f该方程为齐次的该方程为齐次的0f该方

4、程为非齐次的该方程为非齐次的数学物理方程的分类数学物理方程的分类 02211212aaa方程为双曲型方程为双曲型02211212aaa方程为抛物型方程为抛物型02211212aaa方程为椭圆型方程为椭圆型数理方程南京邮电大学、应用数理系行行 波波 法法一、行波法主要用来求解一、行波法主要用来求解无界区域无界区域内波动方程的定解问题内波动方程的定解问题1211 ()()( , )()() ( )2 2x atx atxu x tf xatfxatatxatda 达朗贝尔公式达朗贝尔公式)( )()(00 xxuxuttt数理方程南京邮电大学、应用数理系对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动

5、、无限长理想对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动、无限长理想传输线上电流和电压变化而言，传输线上电流和电压变化而言，任意扰动总是以行波的形式分为任意扰动总是以行波的形式分为两个方向传播出去两个方向传播出去，波速为，波速为 ，也即，也即 :a)(1atxfax以速度以速度 沿沿 负方向移动的行波负方向移动的行波2()fxatax以速度以速度 沿沿 正方向移动的行波正方向移动的行波通解的物理意义：通解的物理意义： 12( , )()()u x tf xatfxat数理方程南京邮电大学、应用数理系三维达朗贝尔公式物理意义：三维达朗贝尔公式物理意义：（1）空间任一点）空间任一点M在任意时刻在任

6、意时刻t0的状态完全由以该点为心，的状态完全由以该点为心，at为半径的球面上为半径的球面上 初始状态决定；（初始状态决定；（2）三维空间的局部有）三维空间的局部有界域内的初始扰动导致空间各点在有限时段受扰，无持续后效；界域内的初始扰动导致空间各点在有限时段受扰，无持续后效；（3）三维空间局部初始扰动的传播有清晰的波前与波后。）三维空间局部初始扰动的传播有清晰的波前与波后。数理方程南京邮电大学、应用数理系二、一般的二阶齐次线性偏微分方程特征线的求法：二、一般的二阶齐次线性偏微分方程特征线的求法： 2222220uuuuuABCDEFuxx yyxy 其特征方程为：其特征方程为：22()2()0A

7、 dyBdxdyC dx其特征方程的解即为特征线方程：其特征方程的解即为特征线方程：03222dxdxdydy13Cyx2Cyx(3)0dydxdydx如如数理方程南京邮电大学、应用数理系双曲型方程双曲型方程过其中每一点有过其中每一点有两条两条不同的实的特征线不同的实的特征线椭圆型方程椭圆型方程过其中每一点过其中每一点不存在不存在实的特征线实的特征线抛物型方程抛物型方程过其中每一点有过其中每一点有一条一条实的特征线实的特征线三、傅里叶级数三、傅里叶级数 )sincos()(10lxnblxnaaxfnnndxxflall)(2100,cos)(1kdxlxnxflallkdxlxnxflbll

8、ksin)(1数理方程南京邮电大学、应用数理系( )( )d1( )( )d2i xi xFf x exf xFe傅里叶变换式傅里叶变换式傅里叶逆变换式傅里叶逆变换式复数形式的傅里叶变换复数形式的傅里叶变换数理方程南京邮电大学、应用数理系基本思想基本思想：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。分离变量分离变量( (傅立叶级数傅立叶级数) )法法要求能熟练应用分离变量法求解波动方程，热传导方程，拉普拉要求能熟练应用分离变量法求解波动方程，热传导方

9、程，拉普拉斯方程（矩形区域和圆形区域）的定解问题。斯方程（矩形区域和圆形区域）的定解问题。数理方程南京邮电大学、应用数理系解题步骤解题步骤:边界是否齐次边界是否齐次YN写出本征值、本征函数、待求写出本征值、本征函数、待求物理量的傅立叶级数展开式物理量的傅立叶级数展开式边界齐次化边界齐次化写出定解问题写出定解问题方程非齐次项和初值条件的级方程非齐次项和初值条件的级数展开数展开代入原泛定方程得到另一变量的微分方程和初值代入原泛定方程得到另一变量的微分方程和初值写出解的表达式和系数写出解的表达式和系数数理方程南京邮电大学、应用数理系边界齐次化（考点）边界齐次化（考点）),(),(),(txwtxvt

10、xu)(),()(), 0()()(),()(),()(), 0(2121ttlwttwtBxtAtxwttluttu)(),()(), 0()()(),()(),()(), 0(2121ttlwttwtBxtAtxwttluttuxx数理方程南京邮电大学、应用数理系)(),()(), 0()()(),()(),()(), 0(2121ttlwttwtBxtAtxwttluttuxx21122( , )( )( )(0, )( )(0, )( )( , )( )( , )( )xxxxw x tA t xB t xuttwttu l ttw l tt数理方程南京邮电大学、应用数理系边界条件（四

11、种）：边界条件（四种）： 200,( )sin, 1,2,0 xnx lunnXxAxnllu200,( )cos, 0,1,2,0 xxnxx lunnXxAxnllu20021(21),( )sin, 0,1,2,220 xnxx lunnXxAxnllu20021(21),( )cos, 0,1,2,220 xxnx lunnXxAxnllu0XX数理方程南京邮电大学、应用数理系2( )( )0( )( )0XxX xT ta T t波动方程：波动方程： 20ttxxua u( ) cos sinnnnT tCa tDa t热传导方程：热传导方程： 20txxua u2( )( )0(

12、)( )0XxX xT ta T t222( )nnatatnnnT tC eC e数理方程南京邮电大学、应用数理系拉普拉斯方程：拉普拉斯方程： 1 1、矩形区域：、矩形区域： 0 xxyyuu0 XX0 YYyannyannneDeCY2 2、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）：、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）： 22222110 uuurrrr200r RrRR ( )( )0,( )(2 ), , 3 , 2 , 1 , 0,2nnncossinnnnAnBn 数理方程南京邮电大学、应用数理系20,(0).r RrRRR 若研究区域包括圆心，必须考虑该自然边界条件。若研究区域包括圆心，必须考

13、虑该自然边界条件。000=0ln ,Rcdr当时，2=nnnnnnRc rd r当时, 满足有界性条件满足有界性条件 的通解为：的通解为： nnnRc r0, 1, 2 ,n 0,0,1,2ndn (0).R 在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两边的系数，达到化简叠加系数的目的边的系数，达到化简叠加系数的目的. .数理方程南京邮电大学、应用数理系求解非齐次方程求解非齐次方程特征函数法特征函数法22222( , ),0,0(0, )( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaf x txl ttxutu l ttu

14、xu xxxxlt2222222222( , ),0,0,(0, )( , )0,(0, )( , )0,0,( ,0)( ,0)( ,0)( ),( )( ,0)0,0,WWVVaaf x txl ttxtxWtW l tVtV l ttW xV xW xxxV xxltt( , )( , )( , )u x tV x tW x t数理方程南京邮电大学、应用数理系22222( , ),0,0,(0, )( , )0,0,( ,0)( ,0)0,0,VVaf x txl ttxVtV l ttV xV xxlt将将V（x,t）按）按W（x,t）的本征函数进行展开，如：）的本征函数进行展开，如：

15、1( )sinnnnVv txl令：令：若若 表达式与表达式与x无关或可以写成关于无关或可以写成关于x的正余弦的正余弦形式，形式， 不用展开，否则，不用展开，否则， 也需要按也需要按W的本征函数展开。的本征函数展开。 ( , )f x t( , )f x t( , )f x t数理方程南京邮电大学、应用数理系将展开式代入原方程，注意等号两边的比对，代入初始将展开式代入原方程，注意等号两边的比对，代入初始条件，化简叠加系数。具体内容参见课件中相关例题。条件，化简叠加系数。具体内容参见课件中相关例题。2222( )( )( )(0)0, (0)0nnnnnnavtvtftlvv ( )nv td)

16、(sin)(0tlanfanltn本部分重点复习第三章课件中倒数第二个例题。本部分重点复习第三章课件中倒数第二个例题。数理方程南京邮电大学、应用数理系格林函数格林函数主要掌握使用格林函数求解三维拉普拉斯方程主要掌握使用格林函数求解三维拉普拉斯方程1、 熟记第一格林公式和第二格林公式熟记第一格林公式和第二格林公式()()vu v dVuv dVudSn-第一格林公式 ()vuuvdSnn()u vv u dV -第二格林公式 数理方程南京邮电大学、应用数理系2 拉普拉斯方程的钮曼问题拉普拉斯方程的钮曼问题 有解的必要条件有解的必要条件fnu| 0fdS3 拉普拉斯方程解的唯一性问题拉普拉斯方程解

17、的唯一性问题结论结论 狄利克雷问题在原定解问题中的解是唯一确定的；狄利克雷问题在原定解问题中的解是唯一确定的； 钮曼问题的解在相差一个常数下也是唯一确定的钮曼问题的解在相差一个常数下也是唯一确定的.4、三维拉普拉斯方程的基本解、三维拉普拉斯方程的基本解.1vr或14vr222000()rxxyyzz数理方程南京邮电大学、应用数理系（2）、二维拉普拉斯方程的基本解）、二维拉普拉斯方程的基本解.1lnvr2200()rxxyy使用镜像法求上半空间内的格林函数使用镜像法求上半空间内的格林函数dsnGuMu)(0),(),( , 0zyxfuzyxu在狄利克雷问题中在狄利克雷问题中dSnGzyxfMu

18、),()(0数理方程南京邮电大学、应用数理系zddqqpxo0MMr1MMrzddqqxo0MMr1MMr1M0MM010111,4M MM MG M Mrr为上半空间为上半空间 的格林函数的格林函数.0z| ,GGnz 0010111(,)()4MMOMMMRG M Mrrr球域内的格林函数：球域内的格林函数：具体内容参见课件上相关例题。具体内容参见课件上相关例题。数理方程南京邮电大学、应用数理系贝塞尔函数贝塞尔函数 0222PnPP在讨论圆盘区域内瞬时温度分布问题中遇到的n阶贝塞尔方程做代换做代换 , r 0222rFnrrFrrFrn阶贝塞尔方程的标准形式.熟记！熟记！熟记！熟记！数理方

19、程南京邮电大学、应用数理系22222()0 d ydyxxxnydxdx贝塞尔函数的级数解法贝塞尔函数的级数解法ksksskkskxaxaxaxaxy1100)(1210nan210ma221112!1mmnmamnm n阶贝塞尔方程的一个特解201()!12mnmnmxJxmnm熟记！熟记！数理方程南京邮电大学、应用数理系 201( )!12mnmnmxJxmnm 或当 n 不为整数时, 和 线性无关 xJn xJnn阶贝塞尔方程的通解为 xBJxAJynn nxJnxJxYnnnsincos xDYxCJynn另两个特解数理方程南京邮电大学、应用数理系20111()!2nmmnmxmnmJ

20、x当n为整数时，有：当n为整数时, 与 线性相关 xJn xJnn阶贝塞尔方程通解只可写为 xDYxCJynn贝塞尔函数的性质：1 1 有界性有界性 )(xJn)(xYn0 x)0(nY数理方程南京邮电大学、应用数理系n n为偶数时，为偶数时， 为偶函数为偶函数)( xJnn n为奇数时，为奇数时， 为奇函数为奇函数)(xJn性质性质2 2 奇偶性奇偶性 ()nYx()nYx性质性质3 3 递推性（大题考点）递推性（大题考点） 1d( )( )dnnnnxJxxJxx 1d( )( )dnnnnx Jxx Jxx 01d( )( )dJxJ xx 10d( )( )dxJ xxJxx xJxn

21、xJxJnnn211 xJxJxJnnn211具体内容参见课件上相关例题具体内容参见课件上相关例题数理方程南京邮电大学、应用数理系122 ( )sinJxxxxxxJcos2)(21 2220PPnP贝塞尔方程贝塞尔方程 的本征值为的本征值为 ( )( )2() , (1,2)nnmmmR 与本征值对应的本征函数为：与本征值对应的本征函数为： ( )( )(), (1,2)nmmnPJmR 数理方程南京邮电大学、应用数理系( )2222( )2( )110()()()22nRnnmnnmnmRRrJr drJJR称为贝塞尔函数的称为贝塞尔函数的模。模。傅立叶傅立叶- -贝塞尔级数贝塞尔级数 1

22、mnmnmrRJArf drrRJrrfJRARnknnknk021221数理方程南京邮电大学、应用数理系往年考题往年考题数理方程南京邮电大学、应用数理系定解问题的适定性指的是定解问题的适定性指的是_。1 1定解问题中的定解条件包含定解问题中的定解条件包含_，2. 2. 边值问题边值问题 000,0XxXxXXl 的固有值为的固有值为n n _ ，x xX Xn n_ ，n = _ n = _ 。固有函数为固有函数为数理方程南京邮电大学、应用数理系先求出对应的齐次方程满足齐次边界条件的固有函数系，为先求出对应的齐次方程满足齐次边界条件的固有函数系，为_，再设，再设 u( x, t)= _u( x, t)= _，将自，将自由项按此函数系展由项按此函数系展开为开为_，一起代入原方程，利用初，一起代入原方程，利用初始条件，求出待定函数，最后得始条件，求出待定函数，最后得u ( x,t ) = _。3. 对于非其次方程的定解问题通常采用固有函数法求解，比如对对于非其次方程的定解问题通常采用固有函数法求解，比如对定解问题定解问题00 ,0 , 0, 00,0,sinxuxutlututlxxluutxxtt数理方程南京邮电大学、应用数理系5. 5. 贝塞尔方程贝塞尔方程y yx xx xy yy yx x. . 的通解可表示为的通