工程力学第八章

1、 第八章第八章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩8 81 1直杆轴向拉压的应力和强度条件直杆轴向拉压的应力和强度条件轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。轴线重合。一、概念一、概念轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。缩，伴随横向缩扩。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。轴向拉伸

2、，对应的力称为拉力。力学模型如图力学模型如图PPPP二、工程实例二、工程实例三、截面法三、截面法轴力及轴力图轴力及轴力图求内力的一般方法求内力的一般方法截面法截面法（1）截：）截：（3 3）代：）代：（4）平：）平：步骤：步骤：F F mm(d) FN(a) F F mm(c) mmFNx（2）取：）取：(b) mmF x可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与杆件的轴线重合，因而称之为杆件的轴线重合，因而称之为轴力轴力，用记号，用记号FN表示。表示。 FFNF F mm(c) FN(a) F F mm(b) mmFNx引起伸长变形的轴力为正引起

3、伸长变形的轴力为正拉力（背离截面）；拉力（背离截面）；引起压缩变形的轴力为负引起压缩变形的轴力为负压力（指向截面）。压力（指向截面）。轴力的符号规定轴力的符号规定:FFNF F mm(c) FN(a) F F mm(b) mmFNxFFNFN mm(c) FN(a) F F mm(b) mmFxF若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，称为称为轴力图轴力图。 F F FN图FF F F

4、N图F 用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。用静力等效的相当力系替代。注意：注意：(a) F F F F (b)FN=F mmnn(a) F C BA mmF A (b) FN=FnnBF A (c) nnmmFN=0 (e) mmA FN=FnnB(f) A F C B(d) F A 例例8-1 8-1 试作图示杆的轴力图。试作图示杆的轴力图。求支反力求支反力kN10RF解：解：A B C D E 20kN 40kN 55kN 25kN

5、 6003005004001800FR 22 F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144注意假设轴力为拉力注意假设轴力为拉力拉）(kN101NF横截面横截面1-11-1：拉）(kN50N2F横截面横截面2-22-2：FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144FRFN1 11A FRF1 FN2A B 22此时取截面此时取截面3-33-3右边为分离体方便，右边为分离体方便，仍假设轴力为拉力。仍假设轴力为拉力。拉）(kN204NF横截面横截面3-33-3：压）kN(53NF同理同理FR 22F

6、4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144F3 F4 FN3 33D E F4 FN4 33E 由轴力图可看出由轴力图可看出kN502Nmax,N FF20105FN图图(kN)FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 33114450例例8-2FFFq=F/ll2llFR112233FFFqFFFFRF=2qlFF =R解：解： 1、求支反力、求支反力FF=N1FF=3Nx1N2FFlFxF1N2lFxF1 2NF 0 xF2FFFq11233FF =RxFF =RFqFFF =RFFFF =RFx1

7、0-21RN2lFxFFFNFFFF思考：思考：此题中此题中FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？发生在何处？最危险截面又在何处？FFFq=F/ll2llNFFFF思考：思考：此题中此题中FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？发生在何处？最危险截面又在何处？FFFq=F/ll2ll四、四、拉（压）杆横截面上的应力拉（压）杆横截面上的应力、应力的概念、应力的概念拉压杆的强度拉压杆的强度轴力轴力横截面尺寸横截面尺寸材料的强度材料的强度即拉压杆的强度是跟轴力在横截面上的分布规律即拉压杆的强度是跟轴力在横截面上的分布规律直接相关的。直接相关的。杆件截面上的分布内力的集度，称为杆件截面上的分布内

8、力的集度，称为应力应力。M点平均应力点平均应力AFpm总应力总应力AFAFpAddlim0(a) M AFM (b) p总应力总应力 p法向分量法向分量, , 引起长度改变引起长度改变正应力正应力 : : 切向分量，引起角度改切向分量，引起角度改变变切应力切应力 : :正应力：拉为正，压为负正应力：拉为正，压为负切应力：对截面内一点产生顺时针力矩的切应力为切应力：对截面内一点产生顺时针力矩的切应力为正，反之为负正，反之为负M (b) p(a) M FA内力与应力间的关系内力与应力间的关系AFpddAFddNAFddSAAFdNAAFdSM (b) p(a) M FAFNFS应力量纲应力量纲21

9、TMLPa应力单位应力单位2N/m1Pa1Pa10MPa162N/mm1MPa1MPaM (b) p(a) M FAPa10GPa19GPa、拉（压）杆横截面上的应力、拉（压）杆横截面上的应力FAFAdN无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律已知静力学条件已知静力学条件mmF F mmF FNmmF FN 但荷载不仅在杆但荷载不仅在杆内引起应力，还内引起应力，还要引起杆件的变要引起杆件的变形。形。可以从观察杆件可以从观察杆件的表面变形出发，的表面变形出发，来分析内力的分来分析内力的分布规律。布规律。F F acbdacbdmmF F mmF FNmmF

10、 FN 等直杆相邻两条横向线在杆受拉等直杆相邻两条横向线在杆受拉( (压压) )后仍后仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。 原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉（压）杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。对于拉（压）杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。观察现象：观察现象：平面假设平面假设F F acbdacbd亦即横截面上各点处的正应力亦即横截面上各点处的正应力 都相等。都相等。推论：推论：1、等直、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截面上没有切应力。因而横截面上没有切应力。2

11、、拉拉( (压压) )杆受力后任意两个横截面之间纵向线杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长段的伸长( (缩短缩短) )变形是均匀的。变形是均匀的。F F acbdacbd等截面拉等截面拉( (压压) )杆横截面上正应力的计算公式杆横截面上正应力的计算公式 AFN即即AAFAdNmmF F mmF FNmmF FN 适用条件：适用条件： 上述正应力计算公式对拉（压）杆的横上述正应力计算公式对拉（压）杆的横截面形状没有限制；但对于拉伸（压缩）时平截截面形状没有限制；但对于拉伸（压缩）时平截面假设不成立的某些特定截面面假设不成立的某些特定截面, , 原则上不宜用上原则上不宜用上式计算横截面上的正

12、应力。式计算横截面上的正应力。 实验研究及数值计算表明，在载荷作用实验研究及数值计算表明，在载荷作用区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的应力情况复杂，上述公式不再正确。应力情况复杂，上述公式不再正确。 力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。圣维南原理圣维南原理FFFF影响区影响区影响区影响区2F2F2F2F例例8-3 8-3 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知的最大工作应力

13、。已知 F =50 kN。 解：解：段柱横截面上的正应力段柱横截面上的正应力 MPa87. 0)mm240()mm240(N1050311N1AF（压）（压） kN501NF150kN50kNF C BA F F 40003000370240段柱横截面上的正应力段柱横截面上的正应力1.1MPa)mm370)(mm370(N1015032N22AF（压应力）（压应力） kN1502NF最大工作应力为最大工作应力为 MPa1 . 12max150kN50kNF C BA F F 40003000370240、拉（压）杆的强度条件、拉（压）杆的强度条件保证拉（压）杆不保证拉（压）杆不因强度不足发生破

14、因强度不足发生破坏的条件坏的条件max等直杆等直杆maxN,AF强度计算的三种类型：强度计算的三种类型：（1 1）强度校核强度校核（2）截面选择）截面选择（3）计算许可荷载）计算许可荷载max,NmaxAFmax,NFAmaxN,AF 例例8-48-4 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：荷的分布集度为：q q =4.2kN/m=4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径屋架中的钢拉杆直径d d =16mm=16mm，许用应力许用应力 =170=170MPaMPa。试校核刚拉杆的强度。试校核刚拉杆的强度。钢拉杆4.2mq8.5m 整体平衡求支反力

15、整体平衡求支反力解：解：钢拉杆8.5mq4.2mFAFBFAkN85.172 00 0qlFFMFFBABAx应力：应力：强度校核与结论：强度校核与结论： MPa 170 MPa45 max 此杆满足强度要求，是安全的。此杆满足强度要求，是安全的。MPa451614. 31003. 94d 4 232max PAFN 局部平衡求轴力：局部平衡求轴力： qFAFAFCkN03. 9 0MNCFFCNF例例8-58-5图示结构，已知图示结构，已知 F F=20kN=20kN；杆杆ABAB为直径为直径2020mmmm的圆杆，的圆杆， ; ;杆杆CBCB为为100100100100的方杆。的方杆。 ，

16、试试校核杆件校核杆件ABAB、CBCB的强度；并进行合理的强度；并进行合理设计。设计。F FA AB BC C 0yFkN3 .281NF解：解：1 1、计算各杆件的轴力。、计算各杆件的轴力。（设斜杆为（设斜杆为1 1杆，水平杆为杆，水平杆为2 2杆）杆）用截面法取节点用截面法取节点B B为研究对象为研究对象kN202NF 0 xF4545045cos21NNFF045sin1FFN1 12 2F FB BF F1NF2NFxy4545MPa1701MPa102kN3 .281NFkN202NF2 2、计算各杆件的应力并进行、计算各杆件的应力并进行强度校核。强度校核。170MPaMPa9020

17、4103 .28223111mmNAFN10MPaMPa21001020223222mmNAFNF FA AB BC C45451 12 2F FB BF F1NF2NFxy4545所以，所以，ABAB杆和杆和BCBC杆均满足强度要求。杆均满足强度要求。3 3、合理设计杆件截面、合理设计杆件截面mmAdmmMPaNFAN154 .166444 .166170103 .28123111mmammMPaNFAN452000A2000101020223222F FA AB BC C45451 12 2F FB BF F1NF2NFxy4545ABAB杆直径为杆直径为1515mmmm、BCBC杆边长杆

18、边长4545mmmm更为更为合理合理例例8-68-6图示结构，杆图示结构，杆ABAB为为100100100100的方木的方木杆。杆。 ，杆杆BCBC为截面积为截面积600600mmmm的钢杆的钢杆, , ，求求B B处可吊的最大许可载荷处可吊的最大许可载荷 FF。F FA AB BC C 0yFF21NF解：解：1 1、计算各杆件的轴力。、计算各杆件的轴力。（设（设ABAB为为1 1杆，杆，BCBC杆为杆为2 2杆）用截杆）用截面法取节点面法取节点B B为研究对象为研究对象F32NF 0 xF3030030cos21NNFF030sin1FFN1 12 2F FB BF F1NF2NFxy30

19、30MPa71MPa1602F21NFF32NFF FA AB BC C30301 12 2F FB BF F1NF2NFxy30302 2、确定许可载荷、确定许可载荷由由ABAB杆得：杆得： KNFNFAFN357100002111由由BCBC杆得：杆得：KNFNFAFN4 .551606003222综上可得综上可得： KN35F 8-2 8-2 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形胡克定胡克定律律 1 1、拉、拉( (压压) )杆的纵向变形杆的纵向变形 绝对变形绝对变形 线应变线应变-每单位长度每单位长度的变形，无量纲的变形，无量纲lll-1ll相对变形相对变形 长度量纲长度量纲F F dll

20、1d1当杆件因荷载或截面尺寸变化的原因而发生不均匀变形时，不能用总长度内的平均线应变代替各点处的纵向线应变。xyzCAOBxABxxdxx截面处沿x方向的纵向平均线应变为 xxdx截面处沿x方向的纵向线应变为 xxxxxxddlim0dd线应变以伸长时为正，缩短时为负。线应变以伸长时为正，缩短时为负。 2 2、横向变形、横向变形dd横向绝对变形横向绝对变形ddd-1横向线应变横向线应变F F dll1d1AFll EAFll 3 3、荷载与变形量的关系、荷载与变形量的关系胡克定律胡克定律当杆内应力不超过材料的某一极限值（当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极比例极限限”）时）时引进比例常数

21、引进比例常数E EAlFNF F dll1d1E 弹性模量弹性模量，量纲与应力相同，为，量纲与应力相同，为 ，2- 1 - TMLEAlFlN拉（压）杆的拉（压）杆的胡克定律胡克定律EA 杆的杆的拉伸（压缩）刚度拉伸（压缩）刚度。单位为单位为 Pa；F F dll1d1AFEllN1E称为单轴应力状态下的称为单轴应力状态下的胡克定律胡克定律 EAlFlN即即F F dll1d14 4、横向变形的计算、横向变形的计算 单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，一点处的纵向线应变极限时，一点处的纵向线应变 与横向线应变与横向线应变的绝对值之比为一常数：的绝

22、对值之比为一常数： 或或 -n - - 横向变形因数横向变形因数或或泊松比泊松比F F dll1d1低碳钢（低碳钢（Q235）：）： 28. 024. 0GPa210200E例例8-8 一阶梯状钢杆受力如图，已知一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截段的横截面面积面面积A1=400mm2， BC段的横截面面积段的横截面面积A2=250mm2,材料的弹性模量材料的弹性模量E=210GPa。试求：试求：AB、BC段的伸长量和杆的总伸长量。段的伸长量和杆的总伸长量。F=40kN C BA BC解：解：由静力平衡知，由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为两段的轴力均为FF Nl1 =300l2=200

23、故故11N1EAlFl mm143. 022N2EAlFl mm152. 0233mm400MPa10210mm300N1040233mm250MPa10210mm200N1040F=40kNC BA BCl1 =300l2=200AC杆的总伸长杆的总伸长21lllmm295. 0152. 0143. 0F=40kNC BA BC8-3 8-3 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 力学性能力学性能材料受力时在强度和变形方面所表材料受力时在强度和变形方面所表现出来的性能。现出来的性能。力学性能力学性能取决于取决于内部结构内部结构外部环境外部环境由试验方式获得由试验方式获得

24、本节讨论的是常温、静载、轴向拉伸（或压缩）本节讨论的是常温、静载、轴向拉伸（或压缩）变形条件下的力学性能。变形条件下的力学性能。试验条件：常温试验条件：常温(20)(20)；静载（及其缓慢地加载）；静载（及其缓慢地加载）试件试件： dh 、材料的拉伸和压缩试验、材料的拉伸和压缩试验 试验仪器：万能材料试验机试验仪器：万能材料试验机、低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能、低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能 1 1、拉伸图、拉伸图 四个阶段：四个阶段：荷载荷载伸长量伸长量 (1)(1)弹性阶段弹性阶段(2)(2)屈服阶段屈服阶段(3)(3)强化阶段强化阶段(4)(4)局部变形阶段局部变形阶段为了

25、消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为为了消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为材料的应力材料的应力应变曲线图。应变曲线图。AFNll图中：图中：A 原始横截面面积原始横截面面积 名义应力名义应力l 原始标距原始标距 名义应变名义应变2 2、拉伸过程四个阶段的变形特征及应力特征点：、拉伸过程四个阶段的变形特征及应力特征点： (1)(1)、弹性阶段、弹性阶段OB此阶段试件变形完全是弹性的，此阶段试件变形完全是弹性的，且且与与成线性关系成线性关系EE 线段线段OA的斜率的斜率比例极限比例极限p 对应点对应点A弹性极限弹性极限e 对应点对应点B(2)(2)、屈服阶段、屈服阶段此阶段应变显著增加，

26、但应力基本此阶段应变显著增加，但应力基本不变不变屈服屈服现象。现象。产生的变形主要是塑性产生的变形主要是塑性的。的。抛光的试件表面上可见抛光的试件表面上可见大约与轴线成大约与轴线成45 的滑移的滑移线。线。屈服极限屈服极限 对应点对应点D（屈服低限）屈服低限）s(3)(3)、强化阶段、强化阶段 此阶段材料抵抗变形的能力有所增强。此阶段材料抵抗变形的能力有所增强。强度极限强度极限b 对应对应点点G ( (拉伸强度拉伸强度) )，最大名义应力最大名义应力此阶段如要增加应此阶段如要增加应变，必须增大应力变，必须增大应力材料的强化材料的强化强化阶段的卸载及再加载规律强化阶段的卸载及再加载规律 pe若在

27、强化阶段卸载，若在强化阶段卸载，则卸载过程则卸载过程 关关系为直线。系为直线。 立即再加载时，立即再加载时，关系起初基本上沿关系起初基本上沿卸载直线卸载直线(EF)上升上升直至当初卸载的荷直至当初卸载的荷载，然后沿卸载前载，然后沿卸载前的曲线断裂的曲线断裂冷作冷作硬化硬化现象。现象。e_ 弹性应变弹性应变p 残余应变（塑性）残余应变（塑性）g冷作硬化对材料力学性能的影响冷作硬化对材料力学性能的影响pb不变不变p(4)(4)、局部变形阶段、局部变形阶段试件上出现急剧局部横截面收试件上出现急剧局部横截面收缩缩颈缩颈缩，直至试件断裂。，直至试件断裂。伸长率伸长率%1001llld断面收缩率：断面收缩

28、率：%1001AAAA1 断口处最断口处最小横截面面积。小横截面面积。 （平均塑性伸长率）（平均塑性伸长率）MPa240sMPa390bQ235钢的主要强度指钢的主要强度指标：标： Q235钢的塑性指标：钢的塑性指标： %30%20d%60Q235钢的弹性指标：钢的弹性指标： GPa210200E通常通常 的材料称为的材料称为塑性材料塑性材料；%5d 的材料称为的材料称为脆性材料脆性材料。%5d、其他金属材料在拉伸时的力学性能、其他金属材料在拉伸时的力学性能 锰钢没有屈服和局部变形阶锰钢没有屈服和局部变形阶段段强铝、退火球墨铸铁没有明强铝、退火球墨铸铁没有明显屈服阶段显屈服阶段共同点：共同点：

29、d d 5%5%，属塑性材料属塑性材料无屈服阶段的塑性材料，以无屈服阶段的塑性材料，以p0.2作为其名义屈服极限，称作为其名义屈服极限，称为规定为规定非比例伸长应力非比例伸长应力或或屈服屈服强度强度。 p0.2对应于对应于p=0.2%时时的应力值的应力值灰口铸铁轴向拉伸试验灰口铸铁轴向拉伸试验灰口铸铁在拉伸时的灰口铸铁在拉伸时的 曲线曲线特点：特点：1、 曲线从很低应力曲线从很低应力水平开始就是曲线；采用割水平开始就是曲线；采用割线弹性模量线弹性模量2、没有屈服、强化、局部、没有屈服、强化、局部变形阶段，只有唯一拉伸强变形阶段，只有唯一拉伸强度指标度指标b3、伸长率非常小，拉伸强伸长率非常小，

30、拉伸强度度b基本上就是试件拉断时基本上就是试件拉断时横截面上的真实应力横截面上的真实应力。 典型的脆性材料典型的脆性材料铸铁试件在轴向拉伸时的破坏断面：铸铁试件在轴向拉伸时的破坏断面：1 1、压缩试样、压缩试样 圆截面短柱体圆截面短柱体31dl正方形截面短柱体正方形截面短柱体31bl、金属材料在压缩时的力学性能、金属材料在压缩时的力学性能 压缩压缩拉伸拉伸2 2、低碳钢压缩时、低碳钢压缩时 的曲线的曲线 特点：特点：1 1、低碳钢拉、压时的、低碳钢拉、压时的s以以及弹性模量及弹性模量E基本相同。基本相同。 2、材料延展性很好，不、材料延展性很好，不会被压坏。会被压坏。特点：特点： 1 1、压缩时的、压缩时的b和和d 均比拉伸时大得