1不等关系及一元二次不等式

1、PAGE PAGE 9第七章不等式、推理与证明学案6不等关系及一元二次不等式导学目标： 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式并能应用一元二次不等式解决某些实际问题自主梳理1一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是_的不等式叫做一元二次不等式2二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1,2eq f(br(b24ac),2a)(x10的解集a0(，x1)(x2，)(，eq

2、f(b,2a)(eq f(b,2a)，)a0的解集是R，q：1a0，则p是q成立的_条件2设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x24x6，x0，,x6， xf(1)的解集是_3若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是_(填序号)a2b22ab；ab2eq r(ab)；eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(2,r(ab)；eq f(b,a)eq f(a,b)2.4已知f(x)ax2xc0的解集为(3,2)，则a_，c_.5当x(1,2)时，不等式x2mx40；(2)9x26x10.变式迁移1解下列不等式：(1)2x24x30；(2)3x22x80；(3)8x11

3、6x2.探究点二含参数的一元二次不等式的解法例2已知常数aR，解关于x的不等式ax22xa0.变式迁移2解关于x的不等式ax2(a1)x10.探究点三一元二次不等式恒成立问题例3已知f(x)x22ax2 (aR)，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围变式迁移3(1)关于x的不等式eq f(4xm,x22x3)4xp3对一切0p4均成立，试求实数x的取值范围转化与化归思想与三个“二次”的关系例4已知不等式ax2bxc0的解集为(，)，且0，求不等式cx2bxa0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a0，要求cx2bxa0，因a0，c0，从而知道cx2bxa0的解集是x大于大根

4、及小于小根对应的两个集合要想求出解集，需用已知量，代替参数c、b、a，需对不等式cx2bxa0 (a0)恒成立的条件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,b24ac0；)ax2bxc0 (a0)恒成立的条件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,b24ac(eq f(1,3)6kx的解集为空集，则实数k的取值范围是_3已知集合Mx|x22 008x2 0090，Nx|x2axb0，若MNR，MN(2 009,2 010，则a_，b_.4若(m1)x2(m1)x3(m1)a2a30，则使得(1aix)21 (i1,2,3)都成立的x的取值范围是_6在R上定义运算：xyx(1

5、y)，若不等式(xa)(xa)0，,x2， x0，)则满足f(x)1的x的取值范围为_8. 已知函数f(x)的定义域为(，)，f(x)为f(x)的导函数，函数yf(x)的图象如右图所示，且f(2)1，f(3)1，则不等式f(x26)1的解集为_二、解答题(共42分)9(14分)解关于x的不等式eq f(xa,xa2)0 (aR)10(14分)若不等式ax2bxc0的解集是eq blcrc(avs4alco1(x|f(1,3)x2)，求不等式cx2bxa0的解集是R等价于4a24a0，即1a3，解得x3或0 x1；当x3，解得3xf(1)的解集为(3，1)(3，)3 解析a2b22ab(ab)2

6、0，错误对于，当a0，b0，eq f(b,a)eq f(a,b)2eq r(f(b,a)f(a,b)2.416 解析因为f(x)ax2xc0的解集为(3,2)，所以32eq f(1,a)，a1，32eq f(c,a)，c6.5(，5 解析记f(x)x2mx4，根据题意得eq blcrc (avs4alco1(m2160，,f10，,f20，)解得m5.课堂活动区例1解题导引解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0)；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不

7、等式的解集解(1)两边都乘以3，得3x26x20，且方程3x26x20的解是x11eq f(r(3),3)，x21eq f(r(3),3)，所以原不等式的解集是x|1eq f(r(3),3)x1eq f(r(3),3)(2)不等式9x26x10，其相应方程9x26x10，(6)2490，上述方程有两相等实根xeq f(1,3)，结合二次函数y9x26x1的图象知，原不等式的解集为R.变式迁移1解(1)不等式2x24x30可转化为2(x1)210，2x24x30，且方程3x22x80的解是x12，x2eq f(4,3)，所以原不等式的解集是(，2eq f(4,3)，)(3)原不等式可转化为16x

8、28x10，即(4x1)20，原不等式的解集为eq f(1,4)例2解题导引(1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集解(1)a0时，解为x0.(2)a0时，44a2.当0，即0a1时，方程ax22xa0的两根为eq f(1r(1a2),a)，不等式的解集为x|eq f(1r(1a2),a)xeq f(1r(1a2),a)当0，即a1时，x

9、；当1时，x.(3)当a0，即1a0时，不等式的解集为x|xeq f(1r(1a2),a)0，即a1时，不等式化为(x1)20，解为xR且x1.0，即a1时，xR.综上所述，当a1时，原不等式的解集为；当0a1时，解集为x|eq f(1r(1a2),a)x0；当1a0时，解集为x|xeq f(1r(1a2),a)；当a1时，解集为x|xR且x1；当a1.当a0时，原不等式变形为(xeq f(1,a)(x1)1时，解得eq f(1,a)x1；a1时，解得x；0a1时，解得1xeq f(1,a).当a0，eq f(1,a)1，解不等式可得x1.综上所述，当a0时，不等式解集为(，eq f(1,a)

10、(1，)；当a0时，不等式解集为(1，)；当0a1时，不等式解集为(eq f(1,a)，1)例3解题导引注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题解方法一f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa.当a(，1)时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a0，,a0，不等式eq f(4xm,x22x3)2同解于4xm0.要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x28x6m0对任意实数x恒成立0，即648(6m)0，整理并解得m4xp3，(x1)px24x30.令g(

11、p)(x1)px24x3，则要使它对0p4均有g(p)0，只要有eq blcrc (avs4alco1(g00,g40).x3或x1.实数x的取值范围为(，1)(3，)例4解由已知不等式的解集为(，)可得a0，为方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系可得eq blcrc (avs4alco1(f(b,a)0. )4分a0，由得c0， 则cx2bxa0.8分，得eq f(b,c)eq f(,)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,)f(1,)0，eq f(1,)、eq f(1,)为方程x2eq f(b,c)xeq f(a,c)0的两根12分0，不等式cx2bxa0的解集为x|xe

12、q f(1,)14分课后练习区1eq r(2)，1)(1，eq r(2)2.0,132 0092 010 解析化简得Mx|x2 009，由MNR，MN(2 009,2 010可知Nx|1x2 010，即1,2 010是方程x2axb0的两个根所以b12 0102 010，a12 010，即a2 009.4meq f(13,11) 解析当m1时，不等式变为2x60，即x3，不符合题意当m1时，由题意知eq blcrc (avs4alco1(m10，,m124m13m10，)化简，得eq blcrc (avs4alco1(m10，)解得meq f(13,11).5.eq blc(rc)(avs4a

13、lco1(0，f(2,a1) 解析(1aix)21，即aeq oal(2,i)x22aix0，即aix(aix2)0，这个不等式可以化为xeq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,ai)0，即0 xeq f(2,ai)，若对每个都成立，则eq f(2,ai)应最小，即ai应最大，也即是0 xeq f(2,a1).6(eq f(1,2)，eq f(3,2) 解析由题意知，(xa)(xa)1(xa)(1xa)0.因上式对xR都成立，所以14(a2a1)0，即4a24a30.所以eq f(1,2)a0时，由log2x1，得x2；当x0时，由x21，得x1.综上可知，x的取值范围为(，1)(

14、2，)8(2,3)(3，2) 解析由导函数图象知当x0，即f(x)在(，0)上为增函数；当x0时，f(x)1等价于f(x26)f(2)或f(x26)f(3)，即2x260或0 x263，解得x(2,3)(3，2)9解eq f(xa,xa2)0(xa)(xa2)0，(2分)当a0或a1时，原不等式的解集为；当a1时，aa2，此时axa2；当0aa2，此时a2xa. 综上，当a1时，原不等式的解集为x|axa2；当0a1时，原不等式的解集为x|a2xa；当a0或a1时，原不等式解集为.(14分)10解由ax2bxc0的解集为eq blcrc(avs4alco1(x|f(1,3)x2)，知a0，(4

15、分)又eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2eq f(c,a)0.又eq f(1,3)，2为方程ax2bxc0的两个根，(7分)eq f(b,a)eq f(5,3)，即eq f(b,a)eq f(5,3).又eq f(c,a)eq f(2,3)，beq f(5,3)a，ceq f(2,3)a.(10分)不等式cx2bxa0变为eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)a)x2eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)a)xa0.又a0，2x25x30，所求不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(x|3xf(1,2).(14分)11解(1)xR时，有x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，6a2.(4分)(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图a，当g(x)的图象恒在x轴上方，满足条件时，有a24(3a)0，即6a2.(7分)如图b，g(x)的图象与x轴有交点，但在x2，)时，g(x)0，即eq blcrc (avs4alco1(0，,