高等数学 极限

1、1.2 极限极限一、数列的极限一、数列的极限二、数列极限的性质二、数列极限的性质三、函数的极限三、函数的极限四、无穷大与无穷小四、无穷大与无穷小一、一、数列的极限数列的极限例如例如,nna21 1)1( nna,21naaa1 1. .定义定义1 1 形如形如 的一列数称为的一列数称为数列数列，数列中的每一个数叫做数列的项数列中的每一个数叫做数列的项，第第 n 项项 an叫做叫做数列数列的一般项或的一般项或通项通项. .nann1)1( ;,21,81,41,21n;,)1( , 1 , 1, 11 n.,)1(,41,31,21, 11nn ;,1,43,32,21 nn1 nnan说明说明

2、：(2)几何上，几何上，数列数列看做看做数轴上一个数轴上一个动点动点，依次取数轴，依次取数轴上上的点的点.,21naaa1a2a3a4ana(1) 数列是以自然数为定义域的函数数列是以自然数为定义域的函数.),( Nnnfan问题的提出问题的提出割圆术割圆术 我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法内接正多边形计算圆面积的方法割圆术割圆术，就是，就是极限思想在几何上的应用极限思想在几何上的应用. . 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失可割，则与圆合体而无所失.2.2.数

3、列数列极限的定义极限的定义R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A126 n正正 边边形的面积形的面积nA,321nAAAAS说明：说明：当当 n 的取值无限增大时，面积的取值无限增大时，面积 An 无限接近无限接近一个确定的常数一个确定的常数 S. 数列的极限数列的极限用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积:圆的面积圆的面积xyO.观观察察数数列列有有什什么么变变化化？数数列列值值增增大大随随着着nan,21 nna. 021,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nnxn 结论：结论：一个确定的常数一个确定的常数.21,0时

4、的极限时的极限当当是数列是数列则则 nn.)1(01时时的的极极限限当当就就是是数数列列则则 nnn再如数列再如数列： nn 1)1(,时时当当 n, 0)1(1无无限限接接近近于于nn 定义定义2 设设an是一数列，是一数列，a是一常数是一常数.无限无限时时当当nan, , a接近于接近于 ,时的极限时的极限当当为数列为数列则称则称 naan记作记作aann lim).( naan或或反之，如果数列反之，如果数列an的极限不存在，则称数列的极限不存在，则称数列an发散发散. . na或称数列或称数列, a收敛于收敛于在上例中，在上例中，, 021lim nn, 0)1(lim1 nnn. 1

5、1lim nnn ,11,)1(1之之间间摆摆动动和和在在的的不不断断增增大大随随着着而而 nn .)1(1不不存存在在极极限限极极限限的的定定义义， n根根据据,lim,时时表表示示当当在在极极限限的的定定义义中中 naann?的接近程度的接近程度与与annaaa如何度量如何度量无限接近于无限接近于 ,问题：问题：例如，例如，. 0)1(,)1(11无限接近于无限接近于时时当当数列数列nannnnn 由于由于,1)1(01nnann 当当n越来越大时，越来越大时， 越来越小，从而越来越小，从而an越来越接近于越来越接近于0.n1例如，给定例如，给定,1001,10011 n要使要使只要只要

6、n100100即可即可.即即从从101项开始都能使项开始都能使.10010成立成立 na给定给定,100001,1000011 n要使要使只要只要 n1000010000即可即可.即即从从10001项开始都能使项开始都能使.10010成立成立 na一般地，不论给定的正数一般地，不论给定的正数 多么的小，多么的小， 总存在一个正整总存在一个正整数数N, 使得当使得当n N时，不等式时，不等式 aan都成立都成立.这就是数列这就是数列nann1)1( .时时极极限限的的实实质质当当 n根据这一特点得到数列极限的精确定义根据这一特点得到数列极限的精确定义.定义定义3 3总存在总存在正整正整数数N，使

7、得使得当当nN时时，不等式不等式都成立都成立, ,那那么么称常数称常数a是数列是数列an的极限的极限. .对对任任意意给给定定的的数数为为一一数数列列，如如果果存存在在常常设设,aan, 正正数数 aan记作记作.limaann 说明：说明： ) 1 (具有任意性，确定性具有任意性，确定性，N 存在性存在性与与 有关有关;)2(的的无无限限接接近近与与刻刻划划了了不不等等式式aaaann (3)数列的极限与前面的有限项无关数列的极限与前面的有限项无关., 0, 0 aaNnNn有有时时当当(4)定义简写定义简写aann limx1a2a2 Na1 Na3a几何解释几何解释： 2 a aa只只有

8、有内内都都落落在在所所有有的的点点时时当当,),(, aaaNnn., 0, 0lim aaNnNaxnnn恒有恒有时时使使.)(落落在在其其外外个个至至多多只只有有有有限限个个N从从 N+1 项开始，有项开始，有. aaan例例1 1. 0)1(lim1 nnn证证明明证明证明aan 0)1(1 nn,1n , 0 对对,0 na要使要使,1 n即即,1 n,1 N取取有有时时当当,Nn ,0)1(1 nn. 0)1(lim1 nnn由极限的定义知由极限的定义知例例2 2.231213lim nnn证证明明证明证明aan 231213 nn,41n , 0 对对,41 n只要只要,41 n,

9、41 N取取有有时时当当,Nn .231213lim nnn241 n241 n,231213 nn要使要使.231213 nn由极限的定义知由极限的定义知例例3 3证明证明aan 021 n),1(0 设设对对,21 n即即,2lnln n取对数得取对数得,2lnln N取取有有时时当当,Nn ,21n ,021 n要使要使.021 n由极限的定义知由极限的定义知. 021lim nn证证明明. 021lim nn说明：说明： . 0)1()1(的的极极限限为为等等比比数数列列 qqn.)2(有有关关，但但不不唯唯一一与与，用用定定义义证证明明数数列列极极限限时时 N因因,limaann ,

10、2abaan 从而从而;2baan 同理同理, ,因因,limbann 故存在故存在N1 , 使当使当n N1 时时, .ba 不不妨妨设设证证明明( (反证法反证法) ),limaann ,limbann 假设假设故存在故存在N2, , 使当使当n N2 时时, ,有有,2abbxn 从而从而.2baan 定理定理1(1(极限的极限的唯一性唯一性) ) 收敛的数列极限收敛的数列极限唯一唯一. .二、二、数列极限的性质数列极限的性质,2,ab 取取依依据据极极限限的的定定义义矛盾矛盾, ,因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当nN 时时, , ,max21NNN 取取na同

11、时同时满足的不等式满足的不等式和和2baan ，2baan 定理定理2(2(收敛数列一定有界收敛数列一定有界) )证证明明 设设,limaann 取取,1从而有从而有,N则则当当Nn 时时, ,1 aan有有收敛数列必有界收敛数列必有界. ., 0,MaNnMann 有有对一切对一切即收敛数列即收敛数列11 aaan取取 1121 aaxxxMN,max则有则有.),(21 nMxn由此证明收敛数列必有界由此证明收敛数列必有界. .说明说明: 此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立. . 例如例如 1)1( n定理定理3 3( (收敛数列收敛数列的的保号性保号性) )证明证明 就就 a

12、0 的情形的情形, ,由数列极限的定义，由数列极限的定义，,2a 取取,时当Nn ,2aaan .20naa 从而从而ax2a2a推论推论: 若数列从某项起若数列从某项起, 0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(用反证法证明用反证法证明)O若若,limaann , 0 a且且,时当Nn . 0 na有有N ,N 则则,NN则则1 Nx 0a 0na 定理定理4(4(夹逼准则夹逼准则) ) acbnnnn limlim)2(),2,1()1( ncabnnn.limaann 且且证证明明 由条件由条件 (2),0 ,21 NNN当当1Nn 时时, abn当当2Nn 时时, acn, ab

13、an, acan满足下列条件：满足下列条件：及及、数列数列nnncba,的的极极限限存存在在则则数数列列na令令 ,max21NNN 结合结合条件条件 (1)，得，得nnncab a a即即, aan故故 .limaann na a a则当则当时时, , Nn 从而从而例例4 证明证明222111lim0.(1)()nnnnn证明证明, 041lim)(lim2 nnnnnn由于由于, 01limlim2 nnnnn由由夹逼准则夹逼准则得得,2nn 2)(nnn222111(1)()nnnn222111lim0.(1)()nnnnn定理定理5(5(单调有界准则单调有界准则) ) 单调增加单调增

14、加数列数列：,121 nnaaaa,121 nnaaaa单调单调减少数列：减少数列：单调有界单调有界数列必有极限数列必有极限.单调单调增加增加有上界有上界数列必有极限数列必有极限；单调单调减少减少有下界有下界数列必有极限数列必有极限. .单调递增数列和单调递减数列统称为单调递增数列和单调递减数列统称为单调数列单调数列.说明：说明：例例5.111111的极限的极限，求数列求数列 证明数列的有界性证明数列的有界性.解解 ，令令111 na，则则nnaa 11, 11 a由于由于, 222 a, 2 ka设设kkaa 11则则. 23 由归纳法知，对所有的由归纳法知，对所有的, Nn，有有20 na

15、 .有界有界故数列故数列na下面证明数列具有单调性下面证明数列具有单调性., 11 a已知已知,22 a.12aa 则则，设设1 kkaa则则1-111kkkkaaaa 01111- kkkkaaaa由归纳法知，对所有的由归纳法知，对所有的, Nn，有有nnaa 1 .单调增加单调增加故数列故数列na由单调有界准则知，由单调有界准则知， ,极限存在极限存在故数列故数列na设为设为a.得得两两边边取取极极限限在在,11nnaa ，aa 1解得解得.251 a由于收敛数列保号性知由于收敛数列保号性知.251舍去舍去 a故所求数列的极限是故所求数列的极限是.251lim nna或或251 a子数列：

16、子数列： 在数列在数列 an 中任意抽取无限多项并保持这些项在中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列列 an 的子数列的子数列例如，例如，数列数列 an ： 1，-1，1，-1， (-1)n+1， 的一子数列为的一子数列为a2n：-1，-1，-1，(-1)2n-1， 另一子列另一子列 a2n-1 ：1，1，1，(-1)2n， 如果数列如果数列 an 收敛于收敛于 a ，那么它的任一子数列也那么它的任一子数列也收敛，且极限也是收敛，且极限也是a 定理定理6(6(收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的

17、关系) )(1)若数列有两个子数列收敛于不同的极限若数列有两个子数列收敛于不同的极限, ,则原数列则原数列发散发散.说明说明: 定理定理6用来证明数列发散：用来证明数列发散：(2)若数列有若数列有一个子列极限不存在一个子列极限不存在，则，则则原数列发散则原数列发散.例如例如， ),2,1()1(1 nann;1lim12 nna1lim2 nna发散发散 !不相等不相等自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限0)4(xx 0)5(xx 0)6(xx x)1( x)2( x)3(, )(xfy 对自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式: :自变量趋于无穷大时函数的极限自

18、变量趋于无穷大时函数的极限三、函数的极限三、函数的极限 函数的极限函数的极限 单击任意点开始观察单击任意点开始观察.sin)(时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxxxf1.1.自变量自变量 x 时时, ,函数函数的极限的极限引例引例单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察 观察完毕观察完毕. 0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 演示实验的观察演示实验的观察: :当当 x 无

19、限增大无限增大时时, ,函数值函数值 f (x)无限接近于一个确定的无限接近于一个确定的常数常数 A ,称称 A为为 f (x) 当当 x+时的极限时的极限.设设 f (x) 当当 x 大于某一正数大于某一正数时有定义，时有定义，记作：记作：)()(xAxf或或函数函数 f (x) 在在x+ 时极限时极限的直观定义：的直观定义：定义定义4引例中，引例中，. 0sinlim xxx,)(limAxfx :)(, 0 Axf表明表明函数函数f (x)无限接近无限接近A. .xX：表明表明是在是在 x+ 的过程中实现的的过程中实现的. .定义定义5 5 f (x) 当当 x 大于某一正数时有定义大于

20、某一正数时有定义, , A 为常数为常数. .恒有恒有 |f (x) -A|X 时，时，类比于数列极限的定义类比于数列极限的定义，推得当推得当 时函数极限时函数极限的的精确定义精确定义：x.)(limAxfx 记作：记作：对定义对定义5的简单叙述：的简单叙述：.)(,. 0, 0)(lim AxfXxXAxfx有有时时当当类比当类比当 时函数的极限定义，当时函数的极限定义，当 时函时函数数f (x)的极限定义：的极限定义：xx定义定义6 6 f (x) 当当 x 大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义, , A 为常数为常数. .恒有恒有 |f (x) -A| 成立，则称成立，则称 A 是是

21、函数函数f (x)在在 时时的的极限极限. .x对对任意给定的正数任意给定的正数 ，总存在总存在正数正数 X，当，当 x-X 时，时，.)(limAxfx 记作：记作：简单叙述：简单叙述：.)(, 0, 0)(lim AxfXxXAxfx有有时时当当结合定义结合定义5和定义和定义6，推得，推得时的极限定义：时的极限定义：在在 xxf)(定义定义7 7 f (x) 当当 x 大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义, , A 为常数为常数. .恒有恒有 |f (x) -A|X 时，时，.)(limAxfx 记作：记作：简单叙述：简单叙述：.)(, 0, 0)(lim AxfXxXAxfx有有时时

22、当当结论：结论：极限存在的充要条件：极限存在的充要条件：在在函数函数 xxf)(.)(lim)(lim)(limAxfxfAxfxxx 例例6. 0sinlim xxx证明证明证明证明Axf )(0sin xx,1x xxsin 由于由于, 0 对对,1 x只要只要,1 x,1 X取取有有时时当当,Xx . 0sinlim xxx,)( Axf要使要使.)( Axf由极限的定义知由极限的定义知XXAAoxy)(xfy A几何解释几何解释： AxfA)(XxXx 或或称称直线直线 y = A 为曲线为曲线)(xfy 的的水平渐近线水平渐近线,0 X,)(, AxfXx有有时时当当,0 Ay几何上

23、，曲线几何上，曲线y=f (x) 的图形位于的图形位于 和和 两直线之间两直线之间. Ay引例引例 函数函数1)( xxf在在1 x处的极限为处的极限为函数函数11)(2 xxxf在在1 x处的极限为处的极限为yAx xx0 时函数时函数 f (x)的极限是否存在的极限是否存在,与与 f (x)在在 x0处是否有定义处是否有定义无关无关.2.2.自变量自变量 xx0 时时, , f(x) 的极限的极限结论结论：设设 f (x)在点在点 x0 的某一的某一去心邻域内去心邻域内有定义，有定义，Axfxx )(lim0记作：记作：，数数无无限限接接近近一一个个确确定定的的常常函函数数时时当当Axfx

24、x)(,0.)(0时时的的极极限限当当是是函函数数则则称称xxxfA上例中上例中, 2)1(lim1 xx, 211lim21 xxx时极限的直观定义：时极限的直观定义：在在函数函数0)(xxxf定义定义7).()(0 xxAxf或或定义定义8 8简单表述：简单表述： Axfxx)(lim0.)(, 0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时当当设设 f (x)在点在点 x0 的某一去心邻域内有定义的某一去心邻域内有定义，存在存在正数正数 , ,当当 0| x -x0 | ,成立，则称成立，则称A为函数为函数 f (x) 当当 x x0 时的极限时的极限. .对于对于任意给定的正数任意给定的正数

25、 , , | f (x) -A | 0 ,不等式不等式的的 x , 总有总有 使对一切满足使对一切满足总存在总存在, 0 00 xx则称函数则称函数)(xf当当时为时为无穷大无穷大,0 xx 说明：说明： 1. 无穷大不是数无穷大不是数, ,不可与很大的数混为一谈不可与很大的数混为一谈.2.2.函数为无穷大函数为无穷大, ,必定无界必定无界. .但反之不真但反之不真 !例如例如, 函数函数),(,cos)( xxxxf nnf2)2( )( n当当因为因为0)(2 nf无界无界时时，不不是是无无穷穷大大，在在函函数数 xxf)(.)(. 30的的极极限限不不存存在在时时，无无穷穷大大的的函函数数当当xfxx 例如，例如， 由于由于,1lim0 xx.01时的无穷大时的无穷大为为 xx从图形上看，从图形上看，. 01,0 xxyx无无限限接接近近于于直直线线曲曲线线时时当当一般地，一般地，,)(lim0 xfxx)(0 xfyxx 为曲线为曲线则直线则直线的的铅直渐近线铅直渐近线. .在上例中，在上例中，.10的铅直渐近线的铅直