一维波动方程推导资料

1、一维波动方程推导1.1 基桩动测技术的发展及国内外研究现状基桩动测技术的发展及国内外研究现状一百年以前，动力打桩公式一百年以前，动力打桩公式1865年年B.de Saint Venant提出一维波动方程提出一维波动方程50年代后期年代后期A.Smith提出了波动方程在桩基中应用的差分数值提出了波动方程在桩基中应用的差分数值解法，它把锤一桩一土系统简化为质量块、弹簧和阻尼器模型解法，它把锤一桩一土系统简化为质量块、弹簧和阻尼器模型从而使波动方程打桩分析进入实用阶段。从而使波动方程打桩分析进入实用阶段。杆单元受力图xdxLxxdxxxutudtu22xxxuAdx AAdxxt xuEx22xuE

2、xx 2222uEutx以单元dx为对象，建立x方向的平衡方程得（1）（2）令2Ec，即得著名的一维波动方程22222xucxt（3）由材料力学知识得：将式（2）带入式（1）：1.2.2一维波动方程的解求解一维波动方程有多种方法，常用的有行波法、分离变量法、特征线法，这里主要介绍基桩检测常用的行波法。作变量代换：xc txc t（4）uuuxuuuct(5)(6)22222222uuuux 222222222uuuuct 20u (7)(8)(9)将式（5）式（8）代入式（4）对式（9）连续两次积分得到方程的通解： ,ufg ,u xtf x ctg x ct( ,0)( )0( ,0)( )

3、0u xxxLu xxxLt()()( )()()( )/f x ctg x ctxf x ctg x ctx c01()()( )xxf xctg xctx dxkc通解中的函数f和g是具有两阶连续偏导数的任意函数，由波动的初始条件确定。设问题的初始位移和初始速度分别为：(11)、(12)积分（13）有：（10）（11）（12）（13）（14）0011()()( )22211()()( )222x ctxx ctxkf xctxctx dxckg xctxctx dxc因此一维波动方程的定解问题的通解可以最终表示为：,11,()()( )22x ctx ctu x tf x ctg x ct

4、u x tx ctx ctxdxc这一通解公式称为DAlembert 公式。可以证明该解是唯一的，而且是稳定的。（15）（16）1.2.3 解的物理意义 假设式（16）的第二式为零，即 ，当波速一定时，随 着时间的增长，位移逐渐沿x轴向下传播，因此我们习惯称为f下行波。同理称为g上行波。上下行波在传播过程中，由于函数f和g都不发生变化，因此，波的形状不变，在不考虑杆周围介质的影响，其幅值也不变。前面假设杆的材质是均匀的，经过t0时刻，波形移动了ct0的距离，波速为ct0/t0c，这表明波在传播中速度不变。 物理现象为杆上各点，振动未传到时，处于平衡状态，振动传到时，相应点将发生位移的变化，振动

5、穿过后，该点仍回到平衡位置。1.2.4 一维波动方程的解在基桩测试中的应用1 假设桩身中只有下行波（压力波为例），即 ,u xtf x ct则下行波引起的质点振动速度uVcft 下行波引起的桩身应变为ufx 式中的负号表示以压缩变形为负，拉伸为正。（17）、（18）VcEAFEAVZVC式中，ZEA/C称为桩身阻抗，是由桩身材料特性和桩身截面确定的量。（17）（18）（19）（20）2 假设桩身中只有上行波（压力波为例），即,u x tg xct则上行波引起的质点振动速度gVcgt 式中负号表示质点振动速度向上为负。上行波引起的桩身应变为ggx（21）、（22）VcEAFEAVZVC 下行波中

6、质点的运动方向与所受力的方向始终一致； 上行波中质点的运动方向与所受力的方程始终相反。结论：（21）（22）（23）（24）3 通过计算可以分离出桩身各截面上行波和下行波的值，具体如下：FFFVVV将式（20）和式（24）带入式（25），即得1()21()21()21()2FFZ VFFZ VFVVZFVVZ(25)(26) 4 上下行波在界面或端部的反射 当杆或桩的端部为自由端时，其边界条件为：0FFF将式（20）和式（24）带入式（27）得VVFF 公式（27）、（28）和式（29）表示，当下行波传到自由端时，将产生一个符号相反，幅值相同的反射波，才能保持力的平衡，即如果下行的是压缩波，则

7、反射的一定是拉伸波，下行的是拉伸波，则反射的一定是压缩波。桩身阻抗减少的界面反射波的规律与自由端类似。（25）、（28）2V VVV即在杆端由于波的叠加，使杆端质点速度增加一倍。（27）（28）（29）（30） 当杆或桩的端部为固定端时，其边界条件为0VVVVV 将式（20）和式（24）带入式（31）得FF类似地2FFFF公式（32）、（33）、（34）表示应力波到达固定端后，将产生一个与入射波相同的反射波，即入射的压力波产生压力反射波，入射的拉力波产生拉力反射波。在杆端处由于波的叠加使反力增加一倍。（31）（32）（33）（34）1.2.5 基桩或杆件阻抗变化引起的反射波当基桩或杆件阻抗发生

8、突变时，如图2所示，由变阻抗处的连续条件可得：11221122FFFFVVVV将式（20）和（24）代入式（35），可得2111121212212212121222ZZZFFFZZZZZZZFFFZZZZ图2 阻抗变化引起的反射波（35）（36）当只有下行波通过界面时：211112221122ZZFFZZZFFZZ当只有上行波通过界面时：112121222122 ZFFZZZZFFZZ同理可以推出211112221122ZZVVZZZVVZZ （36）（36）（37）（38）（39） 由上式可得： （1）当原有的下行波通过阻抗变化的截面时，反射波的幅值为原入射波的（Z2Z1）/(Z1+Z2)倍

9、，并根据（Z2Z1）的正负决定反射波的性质是否变化。 （2）应力波反射和透射能力大小取决于两种介质波阻抗的差异情况。两种介质波阻抗相差愈大，反射能力愈大，透射能力愈小；波阻抗相等，只有透射没有反射。 （3）波的性质：压力波，拉力波的变换 （4）当桩身缩径、夹泥、离析、断桩等缺陷时，Z2Z1，入射波与反射波反号；1.2.6土阻力对应力波的影响如图，假定有一冲击力作用在桩顶，产生的应力波沿桩身往下传播，在距桩顶x处遇到一阻力R，应力波将发生反射和透射。设阻力作用截面以上标记为1,以下标记为2。根据力的平衡条件得1122xFFFFR将式(20)、（24）带入式（40）可得1212()xFFZ VVR

10、1212()xFFZVVR图图3 土阻力波在桩中的传播土阻力波在桩中的传播（40）（41）（42）由截面的连续条件可得1122VVVV联立方程式（41）式（43）可得1221/ 2/ 2xxFFRFFR式（44）表示，下行入射波通过x截面时，由于阻力作用，将在界面处产生幅值均为Rx/2的向上传播的压力波和向下传播的拉力波。 同理，可以推出1221/ 2/ 2xxVVRZVVRZ式（45）表示，下行入射波通过x截面时，阻力将使速度曲线下降Rx/2Z。如果在深度x处的阻力Rx于x/c时刻开始作用，则在2x/c时刻桩顶力和速度之间的差为R，因为上行波的力和速度的大小均为R/2,总和为R。（43）（4

11、4）（45）u 如果阻力在L/C时刻作用在桩尖，根据力的平衡条件，将产生一个上行的应力波，其值为R。质点速度为R/Z。u如果在时段x/c2L/c内有一阻力R持续作用，则在2L/C时刻，力和速度记录中将包含下列影响：在2L/C时刻之前由初始的下行压缩波在桩底反射产生的上行拉伸波 F(d, t1)；2. 全部上行的压缩阻力波（R/2）的总和；3. 初始的下行的拉伸阻力波经桩底反射后以压缩波形式上行，与1 项的上行波同时到达桩顶；4. 所有上行波到达桩顶后反射形成的全部下行波F(d, t2)。 2、3项的应力波之和为R，其中包括了两个二分之一侧阻力和全部的端阻力。因此，全部上行波的总和将包括阻力波和

12、t1时刻的冲击波在桩底的反射波（取负值）。()()u td t21,FRF12( , )( , )1122()/2d tu tR FFF ZV FZV式中，下标1和2表示时刻t1和时刻t2=t1+2L/CR是遇到的总阻力，包括动阻力和静阻力，这个总阻力和桩的极限承载力之间仍存在差别，为了预估桩的承载力，需要作多方面的考虑：即（46）（47） 去除土阻尼的影响; 在对P和V曲线采样时，正确选择t1时刻，使阻力充分激发； 对由于桩的过早回弹（在2L/c时刻之前产生负的速度）而导致桩侧和桩端阻力下降 做出修正；考虑土的强度和时间的关系，桩在打入或压入土体过程中，一般都要扰动周围土体，使土体强度降低，

13、要得到桩使用条件下的极限承载力，必须经过一定时间的间歇，使土体强度恢复到正常使用状态后测试。不同的土体扰动后恢复的时间不同，具体详见建筑基桩检测技术规范JGJ106-2003。土阻力的发挥在一定范围内与桩土之间的相对位移成正比，因此测试时，桩必须获得永久性的贯入度，如果桩没有被打动，或者贯入度极小，则得到的承载力仅仅是一种激发值，就好像不做到破坏的静载试验一样。1.2.7 去除土阻尼的影响 CASE法分析时，假设土的动阻力集中在桩尖，桩周不存在动阻力。动阻力与桩土相对运动速度和阻尼有关，CASE法中一般假设动阻力与速度和阻尼成正比，即dto ecto eRJ VJZ V 式中，J为粘滞阻尼系数

14、，Jc为CASE阻尼系数；阻尼系数和桩底附近的土的颗粒尺寸有经验关系 桩端的运动速度可以通过桩顶实测结果计算出来，设由桩顶下行的力波在t时刻到达桩底，则11( )(/ )/(/ )/( ( )( )/toeVtF tL c ZF tL c ZF tZV tR Z（48）（49）11( ( )( )dcRJ F tZV tR（50）由于sdRRR可得CASE法的静阻力公式 1122(1)/2 (1)/2sccRJ FtZ VtJ FtZ Vt （51）（52）1.2.8 CASE法的最大阻力修法s/mR/kN0Ru图4 土阻力的力学模型 对于每一时刻t，可以确定一个R，通常把第一个速度主峰选作t

15、1时刻，一般认为t12L/c时刻阻力已被充分激发。但是，当桩端的最大弹性位移很大时，需要土的压缩相当大时方能激发出全部承载力，这种情况下，全部的阻力或最大的Rs将延迟发生，可以在峰值后延时t1的方法找出Rs的最大值。这就是CASE法的最大阻力修正法。这种修正方法主要适于端承型桩且端阻力发挥所需位移较大的情况。1.2.9 卸载修正法图5 需卸载修正的曲线 对于图5所示的曲线，用CASE法确定承载力时，当较高荷载水平的激励脉冲有效持续时间小于2L/C时，例如对于长桩，大部分阻力来自桩身摩阻力，在桩难以打入时，都会使桩上部一小段或较大一段范围在2L/c前出现过早回弹，即回弹桩段的摩阻力卸载，使CAS

16、E法低估了承载力。 CASE使用下列方法修正这种情况，首先确定桩顶速度变成零的时间和冲击后应力波于2L/C时刻返回的差，称之为tu，产生卸载的桩身长度LutuC/2，为了估算卸载阻力，先得出长度Lu段激发的侧阻力。这个阻力值等于实测曲线上冲击后tu时刻力和速度差值的一半。为了估计卸载土阻力Run,令t1+tu时刻力和速度曲线之差为xu段激发的总阻力Rx，取RunRx/2将加到总阻力R上，以补偿由于提前卸载所造成的R的减小，然后从其中减去阻尼分量而得到修正后的静阻力，这个方法称为RSU法。 1.3 高应变时程曲线的判读1.3.1 利用F和V曲线查找系统故障 要想正确判读F、V曲线，必须首先了解各

17、种桩型的“标准”曲线。不同的桩型其“标准”曲线也不尽相同，下面列出目前我国使用较多的几种桩型的正常的F、V曲线。混凝土预制桩（柴油锤作为动力系统，否则同灌注桩）的标准曲线如图6所示，图7是使用自由落锤锤击混凝土灌注桩时测试的正常曲线。图6正常的混凝土预制桩信号图7常的混凝土灌注桩信号 高应变法检测基桩的现场采集工作比较复杂和繁琐，要顺利完成整个试验过程，牵涉到各方面的准备和协调工作，如传感器的安装、仪器连线、参数的输入、锤击系统的调整、锤垫的选择等，如何协调这么多环节，可以通过F、V曲线的判读边做边指导。试验时可现将锤落距调低一点，或者采用轻锤锤击桩顶，观察所测得的F、V存在什么问题，以便及时

18、校正系统的各个环节。图8 力传感器松动时的信号图9 双边力严重偏心信号（1）由于力传感器安装不牢而松动引起的振荡如图8；（2）由于锤击偏心引起的力信号幅值相差偏大如图9；（3）波速设置过高或过低，桩底反射位置偏移2L/C位置较多；（4）F、V曲线缺失，或局部曲线严重突变，可能是连线故障；（5）观察桩底动位移积分曲线，调整锤击力的大小。以下是几种试验中常见的现象：1.3.2 判读桩身完整性 由于锤击所产生的压力波向下传播，在有桩侧阻力处或界面突然增大处会一个反射压力波，这一压力波返回到桩顶时，将使桩顶处的力增大，使速度减小。同时，下行的压力波在桩截面突然减小处或有负侧阻力处，将反射一个拉力波。拉

19、力波返回到桩顶时，使桩顶处的力值减小，速度增加。这就是利用实测的力波曲线和速度波曲线判断桩身完整性的依据。图10 桩身完整性判定txta 如图10所示，当速度幅值突然增加，力值突然减小时，如图中16.5m处，传感器突然接收到一个拉力波，根据收到拉力波的时刻就可以估计出拉力波产生的位置，即桩身阻抗减小的位置。桩身阻抗的变化我们用桩身完整性系数表示：21ZZ（53）当界面变化时，下行波的入射压力波和反射拉力波的比值为：212111FZZZZF考虑土力波，缺陷截面处入射波的波幅为max12FFR 如果在ta时刻以后没有任何回波叠加，则自ta以后，速度波和力波将保持平行，图中超出平行线的部分就是由拉力

20、波的叠加所产生的，大小用U表示。 由于定义压力为正，故上行的拉力波幅值F是负的，上行的速度为/F Z是正值。上行的拉力波与原来的波叠加时，使力波幅值减小F，使速度波幅值增加F，所以两条曲线的差值的变化量为2UP 。（54）所以公式（54）可以改写为12m a x12UFFRFCAPWAP程序实际应用中对上述公式进行了修改如下：max12UFFRF于是得11（55）（56）（57）缺陷距传感器的距离X1. .2xXc t当桩中的缺陷是轻微时，G.Goble, Rauche 建议了一个估算裂缝宽度的近似计算公式：1()2batxwtF RVdtZ图11 浅层严重缺陷桩（58）（59）图12 桩接头不好图13 某工程单节桩中部损伤图14 浅层扩径桩图15 中部缩径灌注桩1.3.3 判读桩周土阻力分布 根据前面应力波传播理论，应力波在在传播过程中遇到桩周土阻力时，将发生反射的特性，反射波经过一段时间传到桩顶后从实测曲线上反映出来。在未受到摩阻力时，桩身阻抗和速度的乘积与传感器测试的力相等，速度曲线和力曲线重合，当受到摩阻力R时，摩阻力将产生两种波，一是向上传播的压力波，其值为R/2，另一种是向下传播的拉力波，其值为R/2。如初始波为压力波，质点速度向下，那么不论哪种波都会降低桩身质点速度，从而