数学建模中的优化模型教学文稿

1、简要(jinyo)提纲1. 优化模型简介优化模型简介2. 简单的优化模型简单的优化模型3. 数学规划模型数学规划模型 4. 图论图论(t ln)，动态规划，动态规划(选讲选讲) 5. 建模与求解实例建模与求解实例第一页，共38页。1. 优化模型优化模型(mxng)简介简介第二页，共38页。优化问题(wnt)的一般形式第三页，共38页。无约束优化:最优解的分类(fn li)和条件第四页，共38页。约束(yush)优化的简单分类第五页，共38页。优化建模如何(rh)创新？ 方法1：大胆创新，别出心裁- 采用有特色的目标函数、约束条件等- 你用非线性规划，我用线性规划- 你用整数/离散规划，我用连续

2、规划/网络优化- 方法2：细致入微，滴水不漏(d shu b lu)- 对目标函数、约束条件处理特别细致- 有算法设计和分析，不仅仅是简单套用软件- 敏感性分析详细/ 全面- 第六页，共38页。建模时需要(xyo)注意的几个基本问题1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求最大最大/最小值、四舍五入最小值、四舍五入(s sh w r)、取整函数等、取整函数等3、尽量使用线性模型，减少非线

3、性约束和非线性变、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变量的个数（如量的个数（如x/y 5 改为改为x 640g=0.1第十页，共38页。敏感性分析敏感性分析(fnx)研究研究 r, g变化变化(binhu)时对模型结时对模型结果的影响果的影响 估计估计r=2， g=0.1rggrt2404 设设g=0.1不变不变 5 . 1,6040rrrtt 对对r 的（相对的（相对(xingdu)）敏感度）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。 1.522.5305101520rt第

4、十一页，共38页。敏感性分析敏感性分析(fnx)估计估计r=2， g=0.1rggrt2404研究研究 r, g变化变化(binhu)时对模型结果时对模型结果的影响的影响 设设r=2不变不变 15. 00,203gggtt 对对g的（相对的（相对(xingdu)）敏感度敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。 0.060.080.10.120.140.160102030gt第十二页，共38页。强健强健(qingjin)性性分析分析保留生猪直到保留生猪直到(zhdo)利润的增值等于每

5、天的费用时出售利润的增值等于每天的费用时出售由由 S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 , 再作计算。再作计算。wwpp,研究研究 r, g不是常数不是常数(chngsh)时对模型时对模型结果的影响结果的影响 w=80+rt w = w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 则则 （30%） 2 . 28 . 1 w137 t0)( tQ每天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资金 ttwtptQ4)()()(第十三页，共38页。3. 数学规划数学规划(guhu)模型模型 例例1 汽车厂生产计划汽车厂

6、生产计划(jhu)例例2 加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划(jhu)例例3 运输问题运输问题第十四页，共38页。 如果生产某一类型汽车，则至少要生产如果生产某一类型汽车，则至少要生产8080辆，辆， 那么最优的生产计划那么最优的生产计划(jhu)(jhu)应作何改变？应作何改变？例例1 汽车厂生产汽车厂生产(shngchn)计划计划 汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润、劳动时间的需求，利润(lrn)及工厂每月的现有量及工厂每月的现有量. 小型小型 中型中型 大型大型 现有量现有量钢材（吨）钢材（吨） 1

7、.5 3 5 600劳动时间（小时）劳动时间（小时） 280 250 400 60000利润（万元）利润（万元） 2 3 4 制订月生产计划，使工厂的利润最大制订月生产计划，使工厂的利润最大.第十五页，共38页。设每月生产设每月生产(shngchn)(shngchn)小、小、中、大型汽车的数量分别为中、大型汽车的数量分别为x1, x2, x3x1, x2, x3321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxx0,321xxx汽车厂生产汽车厂生产(shngchn)(shngchn)计划计划 模型模型(mxng)(mxng)建立建立 小型小型

8、 中型中型 大型大型 现有量现有量钢材钢材 1.5 3 5 600时间时间 280 250 400 60000利润利润 2 3 4 线性规划线性规划模型模型(LP)第十六页，共38页。模型模型(mx(mxng)ng)求求解解 3）模型中增加条件）模型中增加条件(tiojin)：x1, x2, x3 均为整数，重均为整数，重新求解新求解. Objective Value: 632.2581 Variable Value Reduced Cost X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 Row Slack

9、or Surplus Dual Price 2 0.000000 0.731183 3 0.000000 0.003226结果结果(ji gu)为为小数，怎么办小数，怎么办？1）舍去小数舍去小数：取：取x1=64，x2=167，算出目标函数值，算出目标函数值 z=629，与，与LP最优值最优值632.2581相差不大相差不大.2）试探试探：如取：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计等，计算函数值算函数值z，通过比较可能得到更优的解，通过比较可能得到更优的解. 但但必须检验必须检验它们是否满足约束条件它们是否满足约束条件. 为什么？为什么？第十七页，共38页。IP可用可用

10、LINGO直接直接(zhji)求解求解整数整数(zhngsh)(zhngsh)规划规划(Integer (Integer Programming,Programming,简记简记IP)IP)IP 的最优解的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优，最优值值z=632 max=2*x1+3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3600;280*x1+250*x2+400*x360000;gin(x1);gin(x2);gin(x3); Global optimal solution found. Objective value: 632.0000 Extended solver

11、steps: 0 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 64.00000 -2.000000 X2 168.0000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxx为非负整数321,xxx模型模型(mxng)(mxng)求解求解 IP 结果输出结果输出第十八页，共38页。其中其中3 3个子模型个子模型(mxng)(mxng)应去掉应去掉，然后逐一求解，比较目标函数，然后逐一求解，比较目标函数值，再加

12、上整数约束，得最优解值，再加上整数约束，得最优解：80, 0, 0321xxx0,80, 0321xxx80,80, 0321xxx0, 0,80321xxx0,80,80321xxx80, 0,80321xxx80,80,80321xxx0,321xxx方法方法1：分解：分解(fnji)为为8个个LP子子模型模型 汽车厂生产汽车厂生产(shngchn)(shngchn)计划计划 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划辆，求生产计划. .321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxxx1, ,x2,

13、x3=0 或或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最优值，最优值z=610第十九页，共38页。LINGO中对中对0-1变量变量(binling)的限定：的限定： b i n ( y 1 ) ; b i n ( y 2 ) ; bin(y3);方法方法(fngf)2：引入：引入0-1变量，化为整变量，化为整数规划数规划 M为大的正数为大的正数(zhngsh),本本例可取例可取1000 Objective Value: 610.0000 Variable Value Reduced Cost X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X

14、3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划辆，求生产计划. .x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 801 , 0,80,11111yyxMyx1 , 0,80,22222yyxMyx1 , 0,80,33333yyxMyx最优解同前最优解同前 第二十页，共38页。max=2*x1+3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3600;280*x1+250*x2+400*x3

15、0;x2*(x2-80)0;x3*(x3-80)0;gin(x1);gin(x2);gin(x3);方法方法(fngf)3：化为非线性：化为非线性规划规划 非线性规划非线性规划(guhu)(guhu)（Non- Non- Linear Linear ProgrammingProgramming，简，简记记NLPNLP） 若生产若生产(shngchn)(shngchn)某类汽车，则至少生产某类汽车，则至少生产(shngchn)80(shngchn)80辆，求生产辆，求生产(shngchn)(shngchn)计划计划. . x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 800)80(11x

16、x0)80(22xx0)80(33xx最优解同前最优解同前.一般地，整数规划和非线一般地，整数规划和非线性规划的求解比线性规划性规划的求解比线性规划困难得多，特别是问题规困难得多，特别是问题规模较大或者要求得到全局模较大或者要求得到全局最优解时最优解时. 第二十一页，共38页。例例2 加工奶制品的生产加工奶制品的生产(shngchn)计划计划1桶桶牛奶牛奶 3公斤公斤A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 50桶牛奶桶牛奶(ni ni) 时间时间(shjin)480小小时时 至多加工至多加工100公斤公斤A1 制订生产计划，使

17、每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到的获利增加到 30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？ 每天：每天：问问题题第二十二页，共38页。1桶桶牛奶牛奶 3公斤公斤A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 x1桶牛奶桶牛奶(ni ni)生产生产A1 x2桶牛奶桶牛奶(ni ni)生产生产A2 获利获利(hu l)

18、243x1 获利获利 164 x2 原料供应原料供应 5021 xx劳动时间劳动时间 48081221 xx加工能力加工能力 10031x决策变量决策变量 目标函数目标函数 216472xxzMax每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 0,21xx线性线性规划规划模型模型(LP)时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天基本基本模型模型第二十三页，共38页。模型模型(mxng)(mxng)分析分析与假设与假设 比比例例(bl)性性 可可加加性性 连续性连续性 xi对目标函数对目标函数(hnsh)的的“贡献贡献”与与xi取值成正取值成正比比

19、 xi对约束条件的对约束条件的“贡献贡献”与与xi取值成正比取值成正比 xi对目标函数的对目标函数的“贡献贡献”与与xj取值无关取值无关 xi对约束条件的对约束条件的“贡贡献献”与与xj取值无关取值无关 xi取值连续取值连续 A1,A2每公斤的获利是与各自每公斤的获利是与各自产量无关的常数产量无关的常数每桶牛奶加工每桶牛奶加工A1,A2的数量的数量, 时时间是与各自产量无关的常数间是与各自产量无关的常数A1,A2每公斤的获利是与相互每公斤的获利是与相互产量无关的常数产量无关的常数每桶牛奶加工每桶牛奶加工A1,A2的数量的数量,时间时间是与相互产量无关的常数是与相互产量无关的常数加工加工A1,A

20、2的牛奶桶数是实数的牛奶桶数是实数 线性规划模型线性规划模型第二十四页，共38页。模型模型(mxng)(mxng)求解求解 图解法图解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l55021 xx48081221 xx10031x0,21xx约约束束条条件件50:211 xxl480812:212 xxl1003:13xl0:, 0:2514xlxl216472xxzMax目标目标(mbi(mbio)o)函函数数 Z=0Z=2400Z=3600z=c (常数常数(chngsh) 等值线等值线c在在B(20,30)点得到最优解点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数目标函数和约束条件是线性函数 可行域

21、为直线段围成的凸多边形可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。形的某个顶点取得。 第二十五页，共38页。模型模型(mxng)(mxng)求解求解 软件软件(run (run jin)jin)实现实现 LINGO model:max = 72*x1+64*x2;milk x1 + x250;time 12*x1+8*x2480;cpct 3*x1100;end Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iter

22、ations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000 20桶牛奶桶牛奶(ni ni)生产生产A1, 30桶生产桶生产A2，利润，利润3360元。元。 第二十六页，共38页。结果结果(ji (ji gu)gu)解释解释 Global optimal so

23、lution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000 model:max = 72*x1+64*x2;milk x1 + x250;tim

24、e 12*x1+8*x2480;cpct 3*x1100;end三三种种(sn zhn)资资源源“资源资源” 剩余剩余(shngy)为零的约束为紧约束（有效约为零的约束为紧约束（有效约束）束） 原料无剩余原料无剩余时间无剩余时间无剩余加工能力剩余加工能力剩余40第二十七页，共38页。结果结果(ji (ji gu)gu)解释解释 Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2

25、 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000最优解下最优解下“资源资源(zyun)”增加增加1单位时单位时“效益效益”的增量的增量 影子影子(yng zi)价格价格 35元可买到元可买到1桶牛奶，要买吗桶牛奶，要买吗?35 48, 应该买！应该买！ 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元聘用临时工人付出的工资最多每小时几元? 2元！元！原料增加原料增加1单位单位,

26、利润增长利润增长48 时间增加时间增加1单位单位, 利润增长利润增长2 加工能力增长不影响利润加工能力增长不影响利润第二十八页，共38页。Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable AllowableVariable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Al

27、lowable Allowable RHS Increase Decrease MILK 50.00000 10.00000 6.666667 TIME 480.0000 53.33333 80.00000 CPCT 100.0000 INFINITY 40.00000 最优解不变时目标函最优解不变时目标函数数(hnsh)系数允许变系数允许变化范围化范围 敏感性分析敏感性分析(fnx) (“LINGO|Ranges” ) x1系数系数(xsh)范围范围(64,96) x2系数范围系数范围(48,72) A1获利增加到获利增加到 30元元/公斤，应否改变生产计划公斤，应否改变生产计划? x1系数

28、由系数由24 3=72增增加加为为30 3=90，在，在允允许范围内许范围内 不变！不变！(约束条件不变约束条件不变)第二十九页，共38页。结果结果(ji (ji gu)gu)解释解释 Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable AllowableVariable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Si

29、de Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease MILK 50.00000 10.00000 6.666667 TIME 480.0000 53.33333 80.00000 CPCT 100.0000 INFINITY 40.00000影子价格有意义时约束右端的允许影子价格有意义时约束右端的允许(ynx)变变化范围化范围 原料原料(yunlio)最最多增加多增加10 时间最多增加时间最多增加53 35元可买到元可买到1桶牛奶桶牛奶, 每天最多买多少每天最多买多少?最多买最多买10桶桶!(目标函数不变目标函数不变)

30、充分条件充分条件 !第三十页，共38页。 生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案怎样安排输送方案(fng n)使运费最小，或利润最大。使运费最小，或利润最大。例例3 运输运输(ynsh)问题问题第三十一页，共38页。其他费用其他费用:450:450元元/ /千吨千吨(qin dn) (qin dn) 应如何应如何(rh)(rh)分配水库供水量，公司才能获利最多分配水库供水量，公司才能获利最多？ 若水库供水量都提高若水库供水量都提高(t go)(t go)一倍，公司利润可增加到一倍，公司利润可增加到多少？多少？ 元元/千吨千吨甲甲乙乙丙丙丁丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理费引水管理费例例3运输问题运输问题-自来水输送自来水输送收入：收入：900元元/千吨千吨 支出支出A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40水库供水量水库供水量(千吨千吨)小区基本用水量小区基本用水量(千吨千吨)小区额外用水量小区额外用水量(千吨千吨)（以天计）（以天计）第三十二页，共38页。总供水量：总供水量：160确定确定(qudng)送水方案使