一阶线性分方程ppt课件

1、书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏1书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏2)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当一、线性方程一、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏3. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解

2、为齐次方程的通解为.)( dxxPCey步骤步骤1 先解线性齐次方程先解线性齐次方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法(运用分别变量法运用分别变量法)书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏4步骤步骤2 讨论线性非齐次方程的解与线性齐次方程的讨论线性非齐次方程的解与线性齐次方程的解之间的关系：解之间的关系：).()(xQyxPdxdy ,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即因此，非齐次方程通解方式与齐次方程通解因此，非齐次方程通解方式

3、与齐次方程通解相比，就是将：相比，就是将：)(xuC dxxpexu)()(.)( dxxPCey书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏5常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法称把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法称常数变易法常数变易法. . dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy.)( dxxPCey如今是将齐次方程的通解如今是将齐次方程的通解变易成变易成步骤步骤3 求求 并将并将 代入线性非齐次方程代入线性非齐次方程,yyy,书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏6代代入入原原方方程程得得和和将将

4、yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得因此，一阶线性非齐次微分方程的通解为因此，一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解 对于一阶线性非齐次微分方程的求解，有两种常用的方法：对于一阶线性非齐次微分方程的求解，有两种常用的方法：一种是在求出相应齐次方程解的根底上再用参数变易法求解；一种是在求出相应齐次方程解的根底上再用参数变易法求解；另一种是直接记住用参数变易法导出的计算公式，将给定的另一

5、种是直接记住用参数变易法导出的计算公式，将给定的p(x),Q(x)代入公式，得到微分方程的通解代入公式，得到微分方程的通解y(x)书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏7.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏8例例2 2 如下图，平行与如下图，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQPQ之长数值上等于阴影部分的面积之长数值上等于阴影部

6、分的面积, , 求曲线求曲线 . .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏9 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏10P.341 3.P.341 3.设曲线方程为设曲线方程为y=f(x),按题意有：按题意有：,)(21)(20 xxxfdttfx两边求

7、导，得：两边求导，得：,2)(21)(21)(xxf xxfxf, 4xydxdy经整理，得：经整理，得：对应齐次方程的通解为：对应齐次方程的通解为：y=cx非齐次方程的通解为：非齐次方程的通解为：y=x(-4lnx+k)， 代入初始条件代入初始条件y(1)=1,得得k=1，因此，曲线弧方程为：因此，曲线弧方程为：y=x(1-4lnx)书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏11P.348 求通解：求通解： 1.(10)02)6(2ydxdyxy分析：分析：假设把假设把x看成自变量，把看成自变量，把y看成因变量，上式不看成因变量，上式不是一阶线性方程；是一阶线性方程；反之，如把反之，如

8、把y看成自变量，把看成自变量，把x看成因变量看成因变量,上式成为：上式成为：,23262yxyyyxdydx是一阶非齐次线性方程是一阶非齐次线性方程先解对应齐次方程的通解，得：先解对应齐次方程的通解，得：,3cyx 设非齐次方程的通解为：设非齐次方程的通解为：,)(3yyux 求求,dydx将将dydxx,代回方程，代回方程，2321ykyx经整理得所求方程的通解：经整理得所求方程的通解：书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏12P.349 6.解：设解：设,)(2),(2xxxfQxyfP按题意，按题意，, 1)(21)(xfxxfxQyP这是一个一阶线性非齐次方程，解之，得通解：

9、这是一个一阶线性非齐次方程，解之，得通解：,32)(23xKxxf代入初始条件：代入初始条件：f(1)=1,得得K=,31xxxf3132)(书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏13伯努利伯努利(Bernoulli)方程的规范方式方程的规范方式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为线性微分方程方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程为非线性微分方程方程.时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程. .书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏14,1 nyz 令令，则则dxd

10、yyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代回，代回，nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式得代入上式得. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn这是一个一阶线性非齐次微分方程，已能求解。这是一个一阶线性非齐次微分方程，已能求解。这是处置伯努利方程的固定的格式，应该记住这是处置伯努利方程的固定的格式，应该记住书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏15.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xz

11、xdxdz ,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即解解，得得两两端端除除以以y例例 3书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏16例例4 4 用适当的变量代换解以下微分方程用适当的变量代换解以下微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx 这是一个伯努利方程这是一个伯努利方程书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏17;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,d

12、xdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分别变量法得分别变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏18;1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分别变量法得分别变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程变形为方程变形为 这是一个以这是一个以y为自变量，以为自变量，以x为未知函数的一阶线性非齐为未知函数的一阶线性非齐次方程次方程,已能求解。已能求解。书山有路勤为径学海无涯苦作舟 专业分享，敬请收藏19用适当的变量代换将方程化为可分别变量的方程：用适当的变量代换将方程化为可分别变量的方程：1设设 v=x+y;(2) 设设 v=x-y;3设设 v=xy(4) 方程可写成：方程可写成：xxyxyycos) 1(sin) 1(sin222,cos) 1sin(2xxy设设v=y+sinx-1(5) 设设 v=xy书山有路勤为径学海无涯苦作