高考压轴题解题方法椭圆性质（92条含证明）

1、第13页 共13页高考压轴题解题方法 椭圆性质92条含证明椭 椭 圆 圆 的 的 性 性 质 质 全 全 归 归 纳 纳 1.1 22 PF PF a 2.标准方程2 22 21_ ya b 3.111PFed 4点 P 处的切线 PT 平分PF 1 F 2 在点 P 处的外角.5PT 平分PF 1 F 2 在点 P 处的外角，那么焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.7以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8设 A 1 、A 2 为椭圆的左、右顶点，那么PF 1 F 2 在边 PF 2

2、 或 PF 1 上的旁切圆，必与 A 1 A 2 所在的直线切于 A 2 或 A 1 .9椭圆2 22 21_ ya b ab0的两个顶点为1 (,0) A a ,2 ( ,0)A a ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P 1 、 P 2时 A 1 P 1 与 A 2 P 2 交点的轨迹方程是2 22 21_ ya b .10假设0 0 0( , ) P _ y 在椭圆2 22 21_ ya b 上，那么过0P 的椭圆的切线方程是0 02 21_ _ y ya b .11假设0 0 0( , ) P _ y 在椭圆2 22 21_ ya b 外 ，那么过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1 、

3、P 2 ，那么切点弦 P 1 P 2 的直线方程是0 02 21_ _ y ya b .12AB 是椭圆2 22 21_ ya b 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，那么22OM ABbk ka .13假设0 0 0( , ) P _ y 在椭圆2 22 21_ ya b 内，那么被 Po 所平分的中点弦的方程是2 20 0 0 02 2 2 2_ _ y y _ ya b a b .14假设0 0 0( , ) P _ y 在椭圆2 22 21_ ya b 内，那么过 Po 的弦中点的轨迹方程是2 20 02 2 2 2_ _ y y _ ya b a b .15 假设 PQ 是

4、椭 圆2 22 21_ ya b a b 0 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 ， 那么1 22 2 2 21 21 1 1 1( | |, | |) r OP r OQr r a b .16假设椭圆2 22 21_ ya b ab0上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 1 A_ By ( 0) AB ,那么(1) 2 22 21 1A Ba b ;(2) 4 2 4 22 2 2 22 a A b BLa A b B.17给定椭圆1C ：2 2 2 2 2 2b _ a y a b ab0, 2C ：2 22 2 2 2 22 2( )a bb _ a y aba b ,那么(i)对1C

5、上任意给定的点0 0( , ) P _ y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点 M2 2 2 20 02 2 2 2( , )a b a b_ ya b a b .(ii)对2C 上任一点 0 0( , ) P _ y 在1C 上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18设0 0( , ) P _ y 为椭圆或圆C:2 22 21_ ya b (a0,.b0)上一点，P 1 P 2 为曲线 C 的动弦,且弦 PP 1 , PP 2斜率存在，记为k 1 , k2 , 那么直线P 1 P 2 通过定点0 0( , ) M m_ my ( 1) m 的充要条件是21 2211m b

6、k km a .19过椭圆2 22 21_ ya b (a0, b0)上任一点0 0( , ) A _ y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，那么直线 BC 有定向且2022BCb _ka y 常数.20椭圆2 22 21_ ya b (ab0)的左右焦点分别为 F 1 ，F2 ，点 P 为椭圆上任意一点1 2FPF ，那么椭圆的焦点三角形的面积为1 22tan2F PFS b ，22 2 2( tan , tan )2 2a bP c bc c .21假设 P 为椭圆2 22 21_ ya b ab0上异于长轴端点的任一点,F 1 , F2 是焦点, 1 2PFF , 2 1

7、PF F ，那么 tan tan2 2a ca c .22椭圆2 22 21_ ya b ab0的焦半径公式：1 0| | MF a e_ ,2 0| | MF a e_ (1 (,0) F c , 2 ( ,0)F c ，0 0( , ) M _ y ).23假设椭圆2 22 21_ ya b ab0的左、右焦点分别为 F 1 、F 2 ，左准线为 L，那么当 2 1 1 e 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF 1 是 P 到对应准线间隔 d 与 PF 2 的比例中项.24P 为椭圆2 22 21_ ya b ab0上任一点,F 1 ,F 2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，那么2 1 22

8、 | | | | | | 2 | | a AF PA PF a AF ,当且仅当2, , A F P 三点共线时，等号成立.25椭圆2 22 21_ ya b ab0上存在两点关于直线 l ：0( ) y k _ _ 对称的充要条件是2 2 2202 2 2( ) a b_a b k.26过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28P 是椭圆cossin_ ay b ab0上一点，那么点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211 sine.29

9、设 A,B 为椭圆2 22 2( 0, 1)_ yk k ka b 上两点，其直线 AB 与椭圆2 22 21_ ya b 相交于 , P Q ,那么AP BQ .30 在 椭 圆2 22 21_ ya b 中 ， 定 长 为 2m o mle;a 的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为 2 22 2 2 2 22 21 ( ) cos sin_ ym a ba b ,其中 tanb_ay ,当 0 y 时, 90 .31设 S 为椭圆2 22 21_ ya b ab0的通径，定长线段 L 的两端点 A,B 在椭圆上挪动，记|AB|= l ，0 0( , ) M _ y 是 AB 中点，那么当 l

10、 S 时，有20 ma_( )2a l_c e 2 2 2(c a b ,cea );当 l S 时，有2 20 ma_( ) 42a_ b lb ,0 min( ) 0 _ .32椭圆2 22 21_ ya b 与直线 0 A_ By C 有公共点的充要条件是2 2 2 2 2A a B b C .33 椭 圆2 20 02 2( ) ( )1_ _ y ya b 与 直 线 0 A_ By C 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是2 2 2 2 20 0( ) A a B b A_ By C .34设椭圆2 22 21_ ya b ab0的两个焦点为 F 1 、F 2 ,P异于长轴端点为

11、椭圆上任意一点，在PF 1 F 2中，记1 2FPF , 1 2PFF ,1 2FF P ，那么有sinsin sincea .35经过椭圆2 2 2 2 2 2b _ a y a b ab0的长轴的两端点 A 1 和 A 2 的切线，与椭圆上任一点的切线相交于 P 1 和 P 2 ，那么21 1 2 2| | | | PA P A b .36椭圆2 22 21_ ya b ab0，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 OP OQ .12 2 2 21 1 1 1| | | | OP OQ a b ;2|OP| 2 +|OQ| 2 的最小值为2 22 24a ba b ;3OPQS 的最

12、小值是2 22 2a ba b .37MN 是经过椭圆2 2 2 2 2 2b _ a y a b ab0焦点的任一弦，假设 AB 是经过椭圆中心 O 且平行于 MN 的弦，那么2| | 2 | | AB a MN .38MN 是经过椭圆2 2 2 2 2 2b _ a y a b ab0焦点的任一弦，假设过椭圆中心 O 的半弦 OP MN ，那么2 2 22 1 1 1| | | | a MN OP a b .39设椭圆2 22 21_ ya b ab0,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一条直线与椭圆相交于 P、Q 两点，那么直线 A 1 P、A 2

13、 Q(A 1 , A 2 为对称轴上的两顶点)的交点 N 在直线 l ：2a_m (或2bym )上.40设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，那么 MFperp;NF.41过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 1 、A 2 为椭圆长轴上的顶点，A 1 P 和 A 2 Q 交于点M，A 2 P 和 A 1 Q 交于点 N，那么 MFperp;NF.42设椭圆方程2 22 21_ ya b ,那么斜率为 k(kne;0)的平行弦的中点必在直线 l ：y k_ 的共轭直线

14、y k _ 上,而且22bkka .43设 A、B、C、D 为椭圆2 22 21_ ya b 上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为 , ，直线 AB 与CD 相交于 P,且 P 不在椭圆上,那么2 2 2 22 2 2 2cos sincos sinPA PB b aPC PD b a .44椭圆2 22 21_ ya b ab0,点 P 为其上一点 F 1 , F2 为椭圆的焦点，1 2FPF 的外内角平分线为 l ，作 F 1 、F 2 分别垂直 l 于 R、S，当 P 跑遍整个椭圆时，R、S 形成的轨迹方程是2 2 2_ y a ( 22 2 22 222 2 2a y b _ _

15、 cc ya y b _ c ).45设ABC 内接于椭圆 ，且 AB 为 的直径， l 为 AB 的共轭直径所在的直线， l 分别交直线 AC、BC 于 E 和 F，又 D 为 l 上一点，那么 CD 与椭圆 相切的充要条件是 D 为 EF 的中点.46过椭圆2 22 21_ ya b ab0的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 _ 轴于 P，那么| | | 2PF eMN .47设 A_ 1 ,y 1 是椭圆2 22 21_ ya b ab0上任一点，过 A 作一条斜率为2121b _a y 的直线 L，又设 d 是原点到直线 L 的间隔 , 1 2,

16、 r r 分别是 A 到椭圆两焦点的间隔 ，那么1 2rr d ab .48椭圆2 22 21_ ya b ab0和2 22 2_ ya b 0 1 ，一直线顺次与它们相交于 A、B、C、D 四点，那么AB=|CD.49椭圆2 22 21_ ya b ab0,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 _ 轴相交于点0( ,0) P _ , 那么2 2 2 20a b a b_a a .50设 P 点是椭圆2 22 21_ ya b ab0上异于长轴端点的任一点,F 1 、F 2 为其焦点记1 2FPF ，那么(1)21 22| | |1 cosbPF PF.(2) 1 22tan2P

17、F FS b .51设过椭圆的长轴上一点 Bm,o作直线与椭圆相交于 P、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和 AQ 分 别 交 相 应 于 过 H 点 的 直 线 MN ：_ n 于 M ， N 两 点 , 那么 222 290( )a n m a mMBNa m b n a .52L 是经过椭圆2 22 21_ ya b ab0长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线，E、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点 P L ，假设 EPF ，那么 是锐角且 sin e 或 sin arc e 当且仅当 | | PH b 时取等号.53L 是椭圆2 22 21_ ya b ab0的准线，A、B

18、是椭圆的长轴两顶点,点 P L ，e 是离心率，EPF ，H 是 L 与 _ 轴的交点 c 是半焦距，那么 是锐角且 sin e 或 sin arc e 当且仅当| |abPHc 时取等号.54L 是椭圆2 22 21_ ya b ab0的准线，E、F 是两个焦点，H 是 L 与 _ 轴的交点，点 P L ，EPF ,离心率为 e，半焦距为 c，那么 为锐角且2sin e 或2sin arc e 当且仅当2 2| |bPH a cc 时取等号.55椭圆2 22 21_ ya b ab0，直线 L 通过其右焦点 F 2 ,且与椭圆相交于 A、B 两点，将 A、B与椭圆左焦点 F 1 连结起来，那

19、么2 2 221 12(2 )| | | |a bb F A FBa 当且仅当 ABperp;_ 轴时右边不等式取等号，当且仅当 A、F 1 、B 三点共线时左边不等式取等号.56设 A、B 是椭圆2 22 21_ ya b ab0的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， PAB , PBA , BPA ，c、e 分别是椭圆的半焦间隔 心率，那么有(1)22 2 22 |cos | |sabPAa c co.(2) 2tan tan 1 e .(3) 2 22 22cotPABa bSb a.57设 A、B 是椭圆2 22 21_ ya b ab0长轴上分别位于椭圆内异于原点、外部的两点，且A_ 、

20、B_ 的横坐标2A B_ _ a ，1假设过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，那么 PBA QBA ；2假设过 B 引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，那么 180 PAB QAB .58设 A、B 是椭圆2 22 21_ ya b ab0长轴上分别位于椭圆内异于原点，外部的两点，1假设过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，假设 B P 交椭圆于两点，那么 P、Q 不关于 _ 轴对称，且PBA QBA ，那么点 A、B 的横坐标A_ 、B_ 满足2A B_ _ a ；2假设过 B 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，且 180 PAB QAB ,那么点 A、B 的横坐标满足

21、2A B_ _ a .59设, A A 是椭圆2 22 21_ ya b 的长轴的两个端点，QQ 是与AA 垂直的弦，那么直线 AQ 与 AQ 的交点 P 的轨迹是双曲线2 22 21_ ya b .60 过 椭 圆2 22 21_ ya b a b 0 的 左 焦 点 F 作 互 相 垂 直 的 两 条 弦 AB 、 CD 那么2 2 22 28 2( )| | | |ab a bAB CDa b a .61到椭圆2 22 21_ ya b ab0两焦点的间隔 之比等于a cbc 为半焦距的动点 M 的轨迹是姊妹圆2 2 2( ) _ a y b .62到椭圆2 22 21_ ya b ab

22、0的长轴两端点的间隔 之比等于a cbc 为半焦距的动点 M 的轨迹是姊妹圆2 2 2( ) ( )a b_ ye e .63到椭圆2 22 21_ ya b ab0的两准线和 _ 轴的交点的间隔 之比为a cbc 为半焦距的动点的轨迹是姊妹圆2 2 22 2( ) ( )a b_ ye e e 为离心率.64 P 是椭圆2 22 21_ ya b ab0上一个动点， ,A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP , AQ AP ，那么 Q 点的轨迹方程是2 2 22 41_ b ya a .65椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66设椭圆2 22 21_ ya b ab0长轴的端点为, A A ,1 1( , ) P _ y 是椭圆上的点过 P 作斜率为2121b _a y的直线 l ，过, A A 分别作垂直于长轴的直线交 l 于, M M ,那么1 2| | | AM AM b .2四边形 MAAM面积的最小值是 2ab .67椭圆2 22 21_ ya b