高考专题练专题06平面向量及其应用word版含答案

1、试卷第 =page 5 5页，共 =sectionpages 5 5页试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页2022届高考专题练专题06 平面向量及其应用一、单选题1在中，则（ ）ABCD2设，是三个非零向量，且相互不共线，有下列命题：；不与垂直；其中，是真命题的有（ ）ABCD二、填空题3已知中，则_.4如图，在平行四边形中，,则的值为_.三、解答题5在的边，上分别有一点，已知，连接，设它们交于点，若，.（1）用与表示；（2）过作，垂足为，若，与的夹角，求的范围.6在中，满足，M是中点（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若O是线段上任意一点，且，求的最

2、小值7（1）向量与的夹角为且，求：；（2）已知，若为与的夹角，求的值；8已知向量，.（1）若，求的夹角的值；（2）设，若，求的值.9在平面直角坐标系中，O为原点，点，向量.（1）若点，且按顺时针构成平行四边形，求与夹角的余弦值；（2）若点，且与共线，当且取得最大值4时，求的值.10在中，角的对边分别是，已知.（1）求角C的值；（2）若，求的面积.11已知，当为何值时：（1）与垂直；（2）与平行.12已知椭圆分别为其左、右焦点（1）若T为椭圆上一点，面积最大值为，且此时为等边三角形，求椭圆的方程；（2）若椭圆焦距长为短轴长的倍，点P的坐标为，Q为椭圆上一点，当最大时，求点Q的坐标；（3）若A为椭

3、圆上除顶点外的任意一点，直线AO交椭圆于B，直线交椭圆于C，直线交椭圆于D，若，求（用a、b代数式表示）13如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点BCD的坐标分别是（-1，3）（3，4）（2，2），(1)求向量BC；(2)求顶点A的坐标.14如图，在等腰梯形中，（1）若与共线，求k的值；（2）若P为边上的动点，求的最大值15如图，在四边形中，是边长为6的正三角形，设（1）若，求；（2）若，求，16在：，；：，为等腰三角形，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.在中，已知 ，且 ，求：（1）的值； （2）的面积.17如图，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，

4、G，Q三点共线(1)设，将用，表示；(2)设，证明：是定值18如图，在直角ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点， （1）用表示和；（2）求向量与夹角的余弦值答案第 = page 22 22页，共 = sectionpages 22 22页答案第 = page 1 1页，共 = sectionpages 2 2页参考答案：1B【解析】【分析】本题可设，然后利用向量的数量积公式以及余弦定理得出、，最后通过求出、即可得出结果.【详解】设，则，即，结合余弦定理易知，联立，解得，则，故选：B.2D【解析】【分析】由题意，是任意的非零向量，且相互不共线，中研究向量的数量积与数乘运

5、算，由运算规则判断；中研究向量差的模与模的差的关系，由其几何意义判断；中研究向量的垂直关系，可由数量积为0验证；中是数量积的运算规则考查，由数量积运算规则判断【详解】解：由题意是一个错误命题，因为与共线，与共线，由题设条件，是任意的非零向量，且相互不共线知，不成立；是一个正确命题，由向量的减法法则知，两向量差的模一定小两向量模的差；是个错误命题，因为，故与垂直，所以此命题不正确；是一个正确命题因为是正确的；综上知是正确命题故选：3【解析】【分析】利用，表示，结合三角形法则求出.【详解】， 故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，属于基础题.4【解析】【分析】根据ABCD是平行四边形可

6、得出，然后代入AB2，AD1即可求出的值【详解】AB2，AD1， 143故答案为：3【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题5（1）；（2）.【解析】（1）利用三点共线和三点共线，结合平面向量共线定理，可构造方程组求得结果；（2）设，利用，结合平面向量线性运算将两个向量转化为用表示的向量，利用平面向量数量积的运算律可整理得到关于的函数形式，利用的范围即可求得结果.【详解】（1）设，三点共线，又，；设，同理可得：，不共线，解得：，即.（2）设，则，又，整理可得：，即的取值范围为.【点睛】思路点睛：本题考查了平面向量线性运算

7、和数量积运算的综合应用，处理数量积运算问题时，通常利用线性运算将所求向量进行等价转化，利用模长和夹角已知的两个向量来表示所求向量，如本题中利用表示出，再结合数量积的运算律来进行求解.6（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量的夹角公式可求得结果；（2）设，将化为的二次函数，利用二次函数知识可求得结果.【详解】（1）因为，所以，设向量与向量的夹角为，则.（2）因为，M是中点，所以，设，则，所以，因为，所以当时，取得最小值.所以的最小值为.【点睛】关键点点睛：第（2）问，设，将化为的二次函数，利用二次函数知识求解是解题关键.7（1），；（2）【解析】（1）直接利用数量积的定义及数量积的线性运

8、算律即可；（2）先算出与的坐标，再利用公式计算即可.【详解】（1）由数量积定义，得；.（2）由已知，所以，又，故【点睛】本题考查向量数量积、夹角的计算，考查学生的基本的计算能力，是一道容易题.8（1）；（2），.【解析】【详解】试题分析：（1）根据向量模的表示，求得即可得夹角为；（2）向量用坐标表示，经简单三角变换，结合的范围即可求解试题解析：（1）由，则，由 得：，综上所述，与的夹角为.（2）由，得：得：，代入（2）得：，综上所述，.9(1);(2)32【解析】【分析】（1）由，可求得点B坐标，接着算出向量，代入数量积公式，即可得到本题答案；（2）由与共线，得，求的最值，即可得到本题答案.【

9、详解】（1）设，则，由四边形ABCD为平行四边形，有，所以，解得，所以，设的夹角为，则；（2）由题得，因为与共线，所以，因为，所以，所以当时，取得最大值，由，得，此时，则，.【点睛】本题主要考查共线向量、向量积以及向量与函数的综合应用问题.10（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简，将已知等式化简得，结合范围，可得角C的值；（2）利用余弦定理可求得，解得的值，根据三角形的面积公式即可得出的面积.【详解】解：（1）因为，即，由于在中，则得出：，所以， 又因为，则，解得：.（2）在中，由余弦定理得：，所以，且，解得：，则的面积为：.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理

10、和三角形面积公式在解三角形中的综合应用，以及三角函数恒等变换的应用，同时考查学生的计算能力和转化思想.11（1）；（2）【解析】【分析】根据向量坐标运算计算得到与的坐标（1）由垂直关系得到数量积为，可构造方程求得；（2）由向量平行的坐标表示可构造方程求得.【详解】，（1）由与垂直得：，解得：（2）由与平行得：，解得：【点睛】本题考查平面向量平行和垂直的坐标表示；关键是能够明确两向量垂直可得；两向量平行可得.12（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）当点在短轴的端点时，焦点三角形的面积最大，且此时的三角形为等边三角形，即可求出，从而求出椭圆的方程；（2）由椭圆的定义，将转化为，则可知最大

11、值时三点共线，且在之间，联立方程求出点的坐标；（3）先从特殊位置入手，求出的值，再在一般位置时设直线方程，联立方程组，借用韦达定理结合共线关系可得，从而表示出和的值，最终求出结果.【详解】（1）面积最大值为，又此时为等边三角形，则，则，所求椭圆的方程为；（2）由题知，又，则，当且仅当三点共线，且在之间时，等号成立，此时直线的斜率为，直线的方程为：，将其代入，解得或，因为在之间，所以；（3）若点落在左顶点，则，又，所以因为，所以， 若点落在右顶点，同理可得，P当落在其他点时，直线的斜率都为零，设直线， 由 得，设，由韦达定理得： ，由得，设，则同理可得，所以.【点睛】关键点点睛：（1）关键是当点

12、在短轴的端点时，焦点三角形的面积最大，即可求出，从而求出椭圆的方程；（2）关键是利用椭圆的定义，将转化为，则可知最大值时三点共线，且在之间，联立方程求出点的坐标；（3）关键是先从特殊位置入手，求出的值，再在一般位置时设直线方程，联立方程组，根据共线关系，借用韦达定理表示和的值，最终求出结果.13(1)(2)【解析】【分析】（1）由点BC的坐标即可求解的坐标；（2）设顶点A的坐标为，由四边形ABCD为平行四边形，有，从而即可求解.(1)解：因为点BC的坐标分别是（-1，3）（3，4），所以；(2)解：设顶点A的坐标为，因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是（2，2），所以，即，所以，解得，所

13、以顶点A的坐标为.14（1）；（2）12【解析】【分析】（1）选取为基底，用基底表示其他向量后，由向量共线可得；（2）设，求得，由函数知识得最大值【详解】（1）不共线，以它们为基底，由已知，又与共线，所以存在实数，使得，即，解得；（2）等腰梯形中，则，设，则，所以时，取得最大值12【点睛】关键点点睛：本题考查向量的共线，向量的数量积，解题关键是以为基底，其它向量都用基底表示，然后求解计算15（1）；（2）【解析】【分析】根据向量的平方等于模长的平方，可求得；根据向量的运算，列下x,y的方程，求解x,y【详解】（1）若，则，（2），且，代入数据得：，解得【点睛】本题主要考查向量的基本运算，数量积

14、的运算16答案见解析.【解析】【分析】（1）选，利用同角三角函数的关系以及正弦定理、两角和的正弦公式即可求解；选，利用同角三角函数的关系以及余弦定理解得，再由正弦定理、两角和的正弦公式即可求解.（2）利用三角形的面积公式即可求解.【详解】解：选，（1），由正弦定理得：，即， 解得，所以，即. 选，（1），且C为钝角.只能A=B， 由余弦定理得：，解得：.由正弦定理得：，即，解得， 所以，即. （2），即的面积.17（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）寻找包含的图形，利用向量的加法法则知 ，再根据和 即可（2）根据（1）结合，知： ，再根据是 的重心知： ，最后根据 不共线得到关于 的方程组即可求解【详解】(1)解()(1).(2)证明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB的重心， ().而，不共线，由，得解得3(定值)【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题18（1），（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量