高考专题练专题09幂函数、函数的应用word版含答案

1、试卷第 =page 4 4页，共 =sectionpages 4 4页试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页2022届高考专题练专题09 幂函数、函数的应用一、单选题1已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（ ）ABCD2要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）ABCD3已知函数，那么“”是“两个函数图像关于直线对称”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、解答题4揭阳市某体育用品商店购进一批羽毛球拍，每件进价为100元

2、，售价为160元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每星期可多卖出20件.(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元?(2)降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元?最大销售利润是多少?5研究函数的定义域、奇偶性、单调性和最值，并作出它的图象6某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船进行捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.（1）该船捕捞第几年开始盈利？（2）若该船捕捞年后，年平均盈利达到最大值，该渔业公司以24万元的价格将捕捞船卖出；求并求总的盈利值.7在固

3、定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v，（单位：）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比.（1）写出气体流量速率v，关于管道半径r的函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到）.8设函数对任意的、都满足，且当时，.（1）求的值；（2）证明函数是奇函数；（3）若函数的定义域为，解关于不等式.9已知函数是幂函数，且.（1）求函数的解析式；（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明

4、理由.10已知幂函数的图象过点.（1）求函数的解析式，并求出它的定义域；（2）试求满足的实数的取值范围.11已知幂函数为偶函数（1）求的解析式；（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围12已知幂函数的图象过点和.（1）求的值；（2）若函数（，）在区间上的最大值比最小值大1，求实数的值.13如图所示，用总长为300米的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.(1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x米，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；(2)当垂直于墙的边长为多少米时才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？14销售甲、乙两种商品所得利润分别是（单位：万元）

5、和（单位：万元），它们与投入资金（单位：万元）的关系有经验公式，今将万元资金投入甲、乙两种商品，其中对甲商品投资（单位：万元）.（1）试建立总利润（单位：万元）关于的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）问：如何分配资金，才能使得总利润（单位：万元）最大？15已知.（1）判断并证明的奇偶性；（2）利用定义证明是增函数；（3）解不等式.答案第 = page 15 15页，共 = sectionpages 15 15页答案第 = page 1 1页，共 = sectionpages 2 2页参考答案：1C【解析】【分析】设出函数的解析式，根据幂函数的图象过点，构造方程求出指数的值，再结合函数的解析

6、式研究其性质即可得到图象【详解】设幂函数的解析式为，幂函数的图象过点，解得，其定义域为，且是增函数，当时，其图象在直线的上方对照选项可知C满足题意故选:C2B【解析】【分析】这是一个与圆面积相关的新运算问题，因为龙头的喷洒面积为，正方形面积为256，故至少三个龙头但由于喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，而草坪是边长为16米的正方形，3个龙头不能使整个草坪都能喷洒到水，故还要结合圆的性质，进一步的推理论证【详解】解：因为龙头的喷洒面积为，正方形面积为256，故至少三个龙头由于，故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水当用四个龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中

7、心，由于，故可以保证整个草坪能喷洒到水；故选：【点睛】本题考查的知识点是圆的方程的应用，难度不大，属于基础题3B【解析】【分析】先令，可以判断出两个函数图像不关于直线对称，反之求解函数的反函数即为，可得，即可以判断出结果.【详解】取,函数，由幂函数图像可知,两个函数图像不关于对称，反之，若，图像关于直线对称，即 ，即有；故选：B【点睛】本题考查了幂函数的性质及反函数的性质，属于简单题，解题中关键是准确掌握幂函数的图像及其性质进行判断.4(1)4800(2)将售价定为150元，最大销售利润是5000元.【解析】【分析】（1）由销售利润=单件利润销售量，即可求商家降价前每星期的销售利润；（2）由题

8、意得销售利润，根据二次函数的性质即可知最大销售利润及对应的售价.(1)由题意，商家降价前每星期的销售利润为（元）；(2)设售价定为元，则销售利润.当时，有最大值5000. 应将售价定为150元，最大销售利润是5000元.5定义域为偶函数在上是减函数上是增函数，无最大值作图见解析【解析】【分析】由，可以求得定义域，再由可以判断函数的奇偶性，由单调性的定义，运用作差法结合奇偶性可以判断函数的单调性，进而求得最值，运用列表法，找特殊值能作出函数的图象.【详解】函数的定义域为因为定义域关于原点对称，且，所以该函数为偶函数任取且，则，在上是减函数任取且，则，上是增函数该函数当时，无最大值根据偶函数的性质

9、，图像关于y轴对称，所以只需作出y轴右侧图像，根据对称性可得到左侧图像其部分函数值可列表如下：0123400.412.534.356.4用描点法作出此函数的图像，如图所示【点睛】本题考查幂函数的性质和图像，运用奇偶性和单调性的定义可以对函数的性质进行判断，运用描点法可作出函数的图像，考查了推理能力，属于基础题6（1）第3年后开始盈利(2) ，共盈利108万【解析】【分析】（1）年后开始盈利，盈利为万元，根据题意列式得到，令y0解得n的范围得到结果；（2）平均盈利为根据均值不等式得到结果即可.【详解】（1）设捕捞年后开始盈利，盈利为万元，则 ，由，得，解得，则，故，即捕捞第3年后开始盈利；（2）

10、平均盈利为，当且仅当，即时，年平均盈利最大，故经过7年捕捞后年平均盈利最大，共盈利为万元.【点睛】这个题目考查的是实际应用问题，这类问题主要是理解题意，选择合适的数学模型，转化为数学知识进行解决.7（1）；（2）；（3）【解析】（1）设比例系数为，由题意可得：（2）代入可得（3）利用（2）的表达式即可得出【详解】解：（1）设比例系数为，气体的流量速率关于管道半径的函数解析式为.（2）将与代入中，有.解得，所以，气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式为.（3）当时，.所以，当气体81通过的管道半径为5cm时，该气体的流量速率约为.【点睛】本题考查了正比例函数的解析式及幂函数其应用，考查了

11、推理能力与计算能力，属于中档题8（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）令，可求出的值；（2）令，结合，可得出，由此可证明出函数为奇函数；（3）先利用定义证明出函数是增函数，由奇函数的性质得出，结合函数的定义域可得出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】（1）对任意的、，令，可得，解得；（2）函数的定义域为，关于原点对称，令，得，.因此，函数为奇函数；（3）任取，则，另一方面，所以，函数是上的增函数，由，得，又由于函数的定义域为，则有，解得.因此，不等式的解集为.【点睛】本题考查抽象函数的相关问题，涉及抽象函数值的计算、抽象函数奇偶性的证明以及抽象函数不等式的求解，在求解抽象函

12、数不等式时，先应利用定义证明出抽象函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根据函数是幂函数，且，求出实数，即可求出函数的解析式；（2）化简得，求出对称轴，分，三种情况分别求得函数的最大值，即可求出实数的值.【详解】解：因为函数是幂函数，所以，解得或，当时，则，故不符题意，当时，则，符合题意，所以； （2）由（1）得 ，函数图像开口向下，对称轴为：， 当时，函数在区间上递减，则，解得，符合题意；当时，函数在区间上递增，则，解得，符合题意；当时，解得，不符题意，综上所述，存在实数满足题意.10（1）；定义域为.（2）【解析】【分析】（1

13、）设出的解析式，代入点求得的解析式，进而求得的定义域.（2）根据的定义域和单调性，解不等式，求得的取值范围.【详解】（1）设，代入点得，解得，即.故函数的定义域为.（2）由于的定义域为，且在上递增，由已知可得故的范围是.【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的定义域、单调性，属于基础题.11（1）；（2）.【解析】（1）利用幂函数定义求参数a的值，再根据偶函数的性质确定a值，即得解析式；（2）利用二次函数性质列关系，即解得参数范围.【详解】解：（1）由题意，解得或，时，不是偶函数，舍去，时，是偶函数，所以；（2）， 的对称轴是.若在上不是单调函数，则，故实数的取值范围是.12(1

14、)；(2)或.【解析】【详解】试题分析:由题意是幂函数，设，图象过点和，即可求解的值函数在区间上的最大值比最小值大，对底数进行讨论，利用单调性求最值，可得实数的值解析：（1）由题意，是幂函数，设，图象过点和，可得，所以，故，.故得的值为.（2）函数，即为，在区间上，当时，由，解得；当时，由 ，解得.综上可得，实数的值为或.13(1)，定义域为(2)直于墙的边长为50米时才能使得场地的面积最大为7500平方米【解析】【分析】（1）由矩形面积公式求得函数解析式，由边长大于0求得定义域；（2）结合二次函数知识得最大值及相应的值(1)设场地面积为，垂直于墙的边长为米，它的面积；由，且，解得.所以函数的

15、定义域为；(2)，时，.答：垂直于墙的边长为50米时才能使得场地的面积最大为7500平方米.14（1），定义域为；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据、的经验公式可得出总利润（单位：万元）关于的函数关系式，并结合实际情况得出该函数的定义域；（2）令，则，可得出，讨论的取值范围，根据二次函数的性质得出函数的最大值.【详解】（1）由题意可得，定义域为；（2）令，则，.若，即时，则当时，即时，取得最大值；若，即时，则当时，即时，取得最大值.综上，当时，全部投资甲商品，总利润最大；当时，投资甲商品万元，投资乙商品万元，总利润最大.【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了二次函数模型的应用，涉及到了二次函数最值的求解，考查分类讨论