第二章控制系统数学模型(第二讲)

1、自动控制基础欢迎同学们来到欢迎同学们来到自动控制基础自动控制基础课堂！课堂！2022-6-2612022-6-26自动控制基础2第第2 2讲讲控制系统的数学模型控制系统的数学模型主讲人：杨湖主讲人：杨湖2022-6-26自动控制基础3第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型Mathematics model2.1 引言引言2.2 时域数学模型时域数学模型2.3 频域数学模型频域数学模型2.4 系统方框图及其简化系统方框图及其简化2022-6-26自动控制基础4本章重点本章重点1.线性系统微分方程的建立；线性系统微分方程的建立；2.运用拉氏变换法求解线性微分方程；运用拉氏变换法求解线性

2、微分方程；3.传递函数的概念和性质；传递函数的概念和性质；4.传递函数和微分方程之间的关系；传递函数和微分方程之间的关系；5.结构图（方框图）的绘制及其等效变换。结构图（方框图）的绘制及其等效变换。2022-6-26自动控制基础5本章难点本章难点1.运用综合的基础知识运用综合的基础知识(如电子、机械、物理等知如电子、机械、物理等知识识)建立正确的微分方程；建立正确的微分方程；2.建立系统的结构图（方框图）；建立系统的结构图（方框图）；3.结构图结构图（方框图）（方框图）等效变换的灵活运用；等效变换的灵活运用；4.建立系统的动态方程。建立系统的动态方程。2022-6-26自动控制基础6数学模型的

3、几种表示方式数学模型的几种表示方式数学模型数学模型时域模型时域模型频域模型频域模型方框图和信号流图方框图和信号流图状态空间模型状态空间模型图图2-1数学模型表示方式数学模型表示方式2022-6-26自动控制基础72.1 引言引言描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型元件的数学模型 深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型的过程学模型的过程称建模称建模 物理模型物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它们作出精确、全面的描述，

4、必须进行简化或理以对它们作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。例如：电子放大确要求，来确定出合理的物理模型。例如：电子放大器器 看成看成 理想的线性放大环节；理想的线性放大环节； 通讯卫星通讯卫星 看成看成 质点等质点等 。2022-6-26自动控制基础81、建立控制系统数学模型的方法、建立控制系统数学模型的方法分析法（解析法）分析法（解析法）Analysis Method对系统各

5、部分的运动机理进行分析，根对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理规律、化学规律，列写运动方程。据物理规律、化学规律，列写运动方程。实验法实验法Experiment Method人为施加人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，用某种测试信号，记录基本输出响应，用适当的数学模型逼近即系统辩识。适当的数学模型逼近即系统辩识。2022-6-26自动控制基础92、分析法分析法建立系统数学模型的几个步骤建立系统数学模型的几个步骤要会用此法建模要会用此法建模建立物理模型。建立物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律列写原始方程。利用适当的物理定律如牛如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守顿定律、基尔

6、霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）恒定律等）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态方程模型时要求），消去中间变在建立状态方程模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。型。2022-6-26自动控制基础103、实验法实验法基于系统辨识的建模方法基于系统辨识的建模方法已知知识和辨识目的已知知识和辨识目的实验设计实验设计选择实验条件选择实验条件模型阶次模型阶次适合于应用的适当的阶次适合于应用的适当的阶次参数估计参数估计最小二乘法或其它方法最小二乘法或其它方法模型验证模型验证将实际输出与模型

7、的计算输出进行比较，系统模将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近型需保证两个输出之间在选定意义上的接近黑黑 匣匣 子子输输 入入 （ 已已 知知 ）输输 出出 （ 已已 知知 ）图图2-2 实验法建模示意图实验法建模示意图2022-6-26自动控制基础112.2 线性定常控制系统的时域数学模型线性定常控制系统的时域数学模型2.2.1线性元件的微分方程线性元件的微分方程 图图2-3为由一为由一RC组成的四端无组成的四端无源网络。试列写源网络。试列写以以U1（t）为输入）为输入量，量，U2(t)为输出为输出量的网络微分方量的网络微分方程。程。例例2-12-

8、1U U1 1R R1 1R R2 2U U2 2C C1 1C C2 2图图 2 2- -1 1 R RC C组组 成成 的的 四四 端端 网网 络络图图2-3 RC四端无源网络四端无源网络2022-6-26自动控制基础12 1111cUiRU dtiiCUc)(12111 2221ccUiRU dtiCUc2221 22cUU 解：解： 设回路电流设回路电流i1、i2，根据回路方程，列写方，根据回路方程，列写方程如下：程如下：由、得由、得dtdUCdtdUCic22222U U1 1R R1 1R R2 2U U2 2C C1 1C C2 2图图2 2- -1 1 R RC C组组成成的的

9、四四端端网网络络图图2-3 RC四端无源网络四端无源网络2022-6-26自动控制基础13由导出由导出 dtdUCdtdUCidtdUCicc22112111将将i1、i2代入、，则得代入、，则得22211cUiRRU222222111)(UdtdUCRdtdUCdtdUCRc22222222211)(UdtdUCRdtdUCUiRdtdCR22222212112222211UdtdUCRdtdUCRdtdUCRdtUdCRCR这就是这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。微分方程。1222221112222121)(UUdtdUCR

10、CRCRdtUdCCRR标准化得标准化得 2022-6-26自动控制基础14 试证明图试证明图2-4(a)、(b)所示的机、电系统是相似所示的机、电系统是相似系统系统(即两系统具有相同的数学模型即两系统具有相同的数学模型)。 例例2-22-2图图 2 2- -2 2 机机 电电 相相 似似 系系 统统B B1 1B B2 2K K1 1K K2 2X Xr rX Xc c( (a a) ) 机机 械械 系系 统统R R2 2C C2 2R R1 1C C1 1U Ur rU Uc c( (b b) ) 电电 气气 系系 统统图图2-4 机电相似系统机电相似系统2022-6-26自动控制基础15

11、对电气网络对电气网络(b)，列写电路，列写电路方程如下：方程如下：c2c2cr1cr1XBXK)X-X(B)X-(XKrrcXKBXKKBB1121c21X)(X)( 解：解： 对机械网络：输入为对机械网络：输入为Xr，输出为输出为Xc，根据力平衡，可列，根据力平衡，可列出其运动方程式出其运动方程式利用利用、求出求出 1)211(21)211(RCCRRUcCCUrirUidtCiRidtCiR112211 c22c11UCUCc11ciURUrc2c121UUU)i(R R rrccUCURUCCURR1121211)11()(将将 两边微分得：两边微分得：代入代入2022-6-26自动控制

12、基础16力力-电压相似电压相似机系统（机系统（a）和电系统（）和电系统（b）具有相同的数学模型，）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络）统的等效网络）相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统研究机械系统.因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。试验进行研究。机械机械阻尼阻尼B1阻尼阻尼B2弹性系数弹性系数K1弹性系数弹性

13、系数K2电气电气电阻电阻R1电阻电阻R21/C11/C22022-6-26自动控制基础17建立微分方程的步骤如下：建立微分方程的步骤如下：1、确定系统的输入量和输出量、确定系统的输入量和输出量2、将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号、将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始（运动）方程。各环节的线性化原始（运动）方程。3、消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微、消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。分方程式。4、标准化处理（或化为标准化形式）。、标准化处理（或

14、化为标准化形式）。系统最基本的数学模型是它的微分方程式系统最基本的数学模型是它的微分方程式2022-6-26自动控制基础182.3 2.3 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型2.3.1 2.3.1 传递函数传递函数Transfer Function是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。引申出来的概念。微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数程可以得到系统的输出响应。系统

15、结构和参数变化时分析较麻烦。变化时分析较麻烦。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型传递函数。系统在复数域的数学模型传递函数。2022-6-26自动控制基础192.3 2.3 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型2.3.1 2.3.1 传递函数传递函数Transfer Function定义：零初始条件下，线性定常系统的定义：零初始条件下，线性定常系统的传递函数为系统输出量的拉氏变换式与传递函数为系统输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。即输入量的拉氏变换式之比。即)()(sRsC零初始条件输入信号的拉氏变换输出信号的

16、拉氏变换传递函数2022-6-26自动控制基础20 式中式中c(t)c(t)是系统输出量，是系统输出量，r(t)r(t)是系统输入量，是系统输入量，a a和和b b是与系统结构和参数有关的常系数。是与系统结构和参数有关的常系数。设设r(t)r(t)和和c(t)c(t)及其各阶系数在及其各阶系数在t=0t=0时的值均为零，时的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令并令C(s)C(s)Lc(t)Lc(t)，R(s)=Lr(t)R(s)=Lr(t)，可得，可得s s的代的代数方程为：数方程为： 于是，由定义得系统传递函数为于是，由定义得

17、系统传递函数为： )()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn )()(11101110sRasbsbsbsCasasasammmmnnnn 设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性常微分方程描述：阶线性常微分方程描述： 2022-6-26自动控制基础21mmmmbsbsbsbsM 1110)(nnnnasasasasN 1110)()()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm niimjjpszsKsG11*)

18、()()( 首首1 1标准型：标准型： 211212211221) 12() 1() 12() 1()(njjjniimkllmlksTsTsTssssKsGv 尾尾1 1标准型：标准型： 2022-6-26自动控制基础22 求例求例2-22-2机械系统与电路系统的传递函数机械系统与电路系统的传递函数 和和解：解： )()(sXsXrc)()(sUsUrc)()()()()()(112121sXKsSXBsXKKsSXBBrrccmmmmbsbsbsbsM 1110)(nnnnasasasasN 1110)()()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGn

19、nnnmmmm 例例2-32-3rcccXKXBXKKXBB112121)()(取拉氏变换的取拉氏变换的rrccUCURUCCURR1121211)11()(取拉氏变换的取拉氏变换的212111)()()(KKsBBKsBsXsXrc机械系统传递函数机械系统传递函数2022-6-26自动控制基础23 性质性质1 1 传递函数是复变量传递函数是复变量s s的有理真分式函数，的有理真分式函数，mnmn，且，且具有复变量函数的所有性质。具有复变量函数的所有性质。性质性质2 G(s)2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量和取决于系统或元件的结构和参数，与输入量和输出量的形式（幅度与大小）无

20、关。输出量的形式（幅度与大小）无关。 )(1)()()11()()(112121sUCsSURsUCCsSURRrrcc)11()(1)()(212111CCSRRCSRsUsUrc电系统的传递函数电系统的传递函数G G( (s s) )R R( (s s) )C C( (s s) )图图2 2- -6 6图图2-52-52022-6-26自动控制基础24性质性质3 G(s)3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。物理系统具有完全相同的

21、传递函数。如上讲例子如上讲例子 性质性质4 4 如果如果G(s)G(s)已知，那么可以研究系统在各种输已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。入信号作用下的输出响应。性质性质5 5 如果系统的如果系统的G(s)G(s)未知，可以给系统加上已知未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。传递函数是（表示）输出变量和输入变理描述不同。传递函数是（表示）输出变量和输入变量微分方程的运算模型（量微分方程的运

22、算模型（operational modeoperational mode）性质性质6 6 传递函数与微分方程之间有一一对应的关系。传递函数与微分方程之间有一一对应的关系。 )()()(sRsCsG如果将如果将dtdS 置换置换 微分方程传递函数 2022-6-26自动控制基础25 在例在例2-12-1中，设当中，设当输入为输入为 单位阶跃函数单位阶跃函数, ,即即 时时, ,求输出求输出解：解： 根据例根据例2-12-1得到的微分方程。得到的微分方程。FCFCKRKR20,1 . 0,3,202121)(1tU)()( 1ttU)(2tUSsUsUsSUCRCRCRsUSCCRR1)()()(

23、)()(122222111222121 1)(1)(222111221212SCRCRCRSCCRRSsU) 1462. 0102 . 1 (124SSS)85.3847)(166. 2(2 . 1104SSS85.3847166. 2ScSbSa例例2-42-41)(02sSsUa000043. 1)85.3847(2 . 110166. 24sSSb485.384741063. 5)166. 2(2 . 110sSSctteetU85.38474166. 221063. 500043. 11)(2022-6-26自动控制基础26设设 为传递函数的零点为传递函数的零点 为传递函数的极点为传递

24、函数的极点极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。自由运动的模态。)()()()()(11*jnjimiPSZSKsNsMsG), 2 , 1(mi iZjP), 2 , 1(nj - -0 0. .5 5- -1 1. .3 33 3- -1 1- -2 2z z1 1z z2 2图图 2 2- -7 7 传传 递递 函函 数数 的的 零零 极极 点点 图图图图2-6 2-6 传递函数的零极点传递函数的零极点2.3.2 2.3.2 传递函数的极点和零点对输出的影响传递函数的极点和零点对输出的影响2022-6-26自动控制基础

25、27零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小比重越小如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。分子分母相互抵消。 - -0 0. .5 5- -1 1. .3 33 3- -1 1- -2 2z z1 1z z2 2图图 2 2- -7 7 传传 递递 函函 数数 的的 零零 极极 点点 图图图图2-6 2-6 传递函数的零极点传递函数的零极点2022-6-26自动控制基础28

26、 线性定常微分方程求解微分方程求解方法微分方程求解方法 2022-6-26自动控制基础292.3.32.3.3典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。在研究任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。在研究系统运动特性时，首先要研究系统各元部件的特性，而描述元系统运动特性时，首先要研究系统各元部件的特性，而描述元件特性的基本单元称为环节。系统也即有若干环节按一定方式件特性的基本单元称为环节。系统也即有若干环节按一定方式组合成。组合成。典型环节通常分为以下六种：典型环节通常分为以下六种：KsG)(1 1 比例（放大）环节比例（放大）环节式中式

27、中 K- -增益，增益，通常都是有量纲的通常都是有量纲的特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻实例：电子放大器，齿轮，电阻( (电位器电位器) )，感应式变送器等。，感应式变送器等。传函传函运动方程运动方程: : c(t)=Kr(t)2022-6-26自动控制基础302.3.32.3.3典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数11)(TSsG2 2 惯性环节惯性环节传函传函Kr(t)c(t)dtdc(t)T运动方程：运动方程： 式中式中 T T- -时间常数，惯性越大时间常数，惯性越大T T 越大越大 特点：含一个储能元件，对突变的输入特点：含一个储能元件，对突变的输入, , 其输出不其输出不能立即复现，时间上有延迟，输出无振荡。能立即复现，时间上有延迟，输出无振荡。 实例：实例：RCRC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。一环节。2022-6-26自动控制基础31特点：特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。的变化趋势。实例：实例