第二章随机变量(3)

1、随机变量及其随机变量及其分布函数分布函数离散型随机变量离散型随机变量随机变量随机变量随机变量函数的分布随机变量函数的分布 概率论是从数量上来研究随机现象内概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，理论和实际应用促生的随机在规律性的，理论和实际应用促生的随机变量是比随机事件更深入的概率论概念，变量是比随机事件更深入的概率论概念，可以用更高等的数学分析方法方便有力的可以用更高等的数学分析方法方便有力的研究随机现象，提升了概率论的理论研究研究随机现象，提升了概率论的理论研究水平和应用范围水平和应用范围随机变量的直观意义与例子随机变量的直观意义与例子: 在在E中，往往关心随试验结果而变化的（变数）中

2、，往往关心随试验结果而变化的（变数）变量，变量， 称为称为随机变量随机变量（random variable), 简记简记为为 RV（r.v. ),常用常用X、Y、Z 或或 、 、 等表示等表示. 如：赌博中的如：赌博中的赢数赢数; 抽奖中的抽奖中的奖金数奖金数; 射中目标射中目标 的的次数次数;. 具体实例：具体实例：例例2.1.1 掷一个硬币掷一个硬币, , 观察出现的面观察出现的面 , , 共有两个共有两个结果结果: :1(), 反面朝上2(), 正面朝上若用若用 X 表示掷一个硬币出现表示掷一个硬币出现正面的次数正面的次数, , 则有则有)( X)(1反面朝上反面朝上 )(2正面朝上正面

3、朝上 100)(1 X1)(2 X即即 X=X ( ) 是一个随机变量是一个随机变量. . 正面正面 反面反面)( XR10X01P0.50.5例例2.1.2 抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数Y. .(1) 1, (2)2, (3)3,YYY(4) 4, (5) 5, (6) 6,YYY1(),(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) .6PYii =1，2，3，4，5，6样本点本身就是数样本点本身就是数量量恒等变换恒等变换且有且有( )Y则则有有o例例2.1.3：掷硬币三次，记：掷硬币三次，记X为为“三次向上的三次向上的正面数正面数”，则，则样本点样本点X的

4、取值的取值1=（TTT）02=（HTT)13=（THT）14=（TTH）15=（HHT26=（HTH)27=（THH)28=（HHH)3事件事件概率概率X=0=11/8X=1=2, 3, 43/8X=2=5, 6, 73/8X=3 =81/8o若硬币向上面的概率为若硬币向上面的概率为1/2，则，则实例实例 设盒中有设盒中有5个球个球 ( (2白白3黑黑), ), 从中任抽从中任抽3个个, , 则则( ),XX 抽得的白球数是一个随机变量是一个随机变量. .实例实例 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, ,现该射手射了现该射手射了30次次, , 则则( ),X

5、X 射中目标的次数是一个随机变量是一个随机变量. .且且 X( ) 的所有可能取值为的所有可能取值为: :, 0, 1. 2且且 X( ) 的所有可能取值为的所有可能取值为: :.30, , 3, 2, 1, 0实例实例 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, ,现该射手不断向目标射击现该射手不断向目标射击 , , 直到击中目标为止直到击中目标为止, ,则则( ),Z 所需射击次数是一个随机变量是一个随机变量. .且且 Z( ) 的所有可能取值为的所有可能取值为: :., 3, 2, 1实例实例 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过分钟有一

6、辆汽车通过, , 如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的, , 则则( ),TT此人的等车时间是一个随机变量是一个随机变量. .且且 T( ) 的所有可的所有可能取值为能取值为: :.5 , 0定义定义2.1.1 设设 = 为某随机实验为某随机实验E的样本空间，的样本空间， （ ， ，P）为概率空间）为概率空间. X( )为定义在为定义在 上的上的实值函实值函数数，且满足，且满足可测性可测性要求：要求： :X( ) x ,则称则称 X=X( )为为（ ， ，P）上的）上的随机变量随机变量(random variable).简记为简记为X.常用常用X、Y、Z 或或 、

7、、 等表示等表示.取值用小写字母取值用小写字母x,y,z表示表示.(1) 随机变量随机变量X( )是样本点是样本点 的函数，的函数， 其其定义域定义域为为 ，其，其值域值域为为R=(，) X( ) .OR (2) 若若X 为随机变量，则为随机变量，则X有有随机性随机性，取，取某个（些）某个（些）值是随机事件值是随机事件，因而有，因而有概率概率概率分布概率分布. . 如：如：X = k ; a X b ; 均为随机事件均为随机事件. . 即即 X = k = ：X( )=k; a X b = ：a X( ) b . X B= |X( )B , B B(R) X是从是从 到到R的的可测映射可测映射

8、;与普通函数有不同。与普通函数有不同。(3) 注意以下一些表达式：注意以下一些表达式： X = k= X k X k； a b = X b.(5) 同一样本空间可以定义不同的随机变量同一样本空间可以定义不同的随机变量.(4) 随机事件可以用随机变量来表示随机事件可以用随机变量来表示. 若随机变量若随机变量 X 可能取值的个数为可能取值的个数为有限个有限个或或可列可列个个，则称，则称 X 为为离散离散(型型)随机变量随机变量(discrete r.v.)(discrete r.v.). . 若随机变量若随机变量 X 的可能取值的可能取值充满充满某个区间某个区间 a, b，则称则称 X 为为连续连

9、续(型型)随机变量随机变量(continuous r.v.)(continuous r.v.). . 前例中的前例中的 X, Y, Z 为为离散型离散型随机变量随机变量；而而 T 为为连连续型续型随机变量随机变量. . 还有还有奇异型奇异型、混合型混合型随机变量。随机变量。定义定义2.1.2 设设X为一个随机变量，对任意实数为一个随机变量，对任意实数 x， 称称 F(x)=P( X x) 为为 X 的的（累积）分布函数（累积）分布函数（cumulative distribution function,cdf). 如果将如果将X看作数轴上随机点的坐标看作数轴上随机点的坐标, ,则分布函数则分布函

10、数 F(x)的值就表示的值就表示X落在区间落在区间（- , x的概率的概率. . |xxX 问问： 在上在上 式中，式中，X, x 皆为变量皆为变量. . 二者有什二者有什么区别？么区别？ x 起什么作用？起什么作用？ F(x) 是不是概率？是不是概率？X是随机变量是随机变量, , x是参变量是参变量. .F(x) 是是r.v. X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率. .( )( )(),XF xFxP XxP Xxx 实例实例 抛掷一均匀硬币抛掷一均匀硬币, , 令令 ., 0, 1出出反反面面出出正正面面X求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数. .解解1(1)(0),2P X

11、P X 0 1x;0时时当当 x;0 ( )()F xP XxX01P0.50.5 0 1x;10时时当当 x( )()F xP Xx(0)P X;21 ;1时时当当 x( )()F xP Xx(0)(1)P XP X111.22 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得 X01P0.50.5xo( )F x10.51 0,0,1( ),01,21,1.xF xxx实例实例 一个靶子是半径为一个靶子是半径为r=2(m)的圆盘的圆盘, ,向靶内随机向靶内随机射击射击. .并设射击都能中靶并设射击都能中靶, ,以以X表示弹着点与圆心的表示弹着点与圆心的距离距离. .试求随机变量试求

12、随机变量 X 的分布函数的分布函数. .解解,0时时当当 x(),P Xx是不可能事件02 ,x当时222()() ; (2xxPXxr几 何 概 率 ）( )()0;F xP Xx于是x2,2时时当当 x故故 X 的分布函数为的分布函数为 . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF( )() 1.F xP Xx其图形为一其图形为一连续曲线连续曲线,02,( )20,.xxf x若记其它( )( ) d .xF xf tt则( )( )(, ,F xf xx恰是非负函数在区间上的积分.为连续型随机变量为连续型随机变量此时称此时称 X注意注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不一样两

13、类随机变量的分布函数图形的特点不一样. .( )F x1o123x基本性质基本性质： (1) 单调性：单调性：F(x)是是R上关于上关于x的不减函数，的不减函数， 即：即：对任意实数对任意实数 x1x2 ，F(x1) F(x2) (2) 有界性：有界性：0 F(x) 1，F()=0， F(+ )=1； (3) 右连续性：右连续性：对任意实数对任意实数 x0, F(x0+0)=F(x0)反之，亦对反之，亦对.证明证明:单调性单调性: F(x)是定义在整个实数轴(-,+)上的单调非减函数.即对任意的x1x2,有 F(x1) F(x2) .F(x2) - F(x1) =P(x1 x1因为所以F(x1

14、) F(x2) .()lim()0()lim()1xxFFxFFx lim( )lim()lim( )lim( )xmxnF xF mF xF n有界性有界性: 对任意的实数对任意的实数x, 有有0 F(x)1,且且证明证明 因为因为0 F(x)1 ,且且F(x)单调单调,故存在故存在又由概率的可列可加性有又由概率的可列可加性有1()(1)iPXPiXi (1)lim(1)nniimmP iXiP iXi lim( )(1)lim( )lim()nnnmimmF iF iF nF m所以必有所以必有()lim( )0()lim( )1xxFFxFFx 右连续性右连续性: F(x0+0) =F(

15、x0),即即F(x)是右连续的是右连续的.证明证明 因为因为F(x)是单调有界函数是单调有界函数,其任一点的右极其任一点的右极限限F(x+0) 必存在必存在.为证明右连续为证明右连续,只要对某一列单调下降的数列只要对某一列单调下降的数列x1x2xnx0,(n),证明证明0lim()()nnF xF x因为因为100111()()()( )iiiF xF xP xXxPxXx由此即得由此即得00()lim()(0)nnFxFxFx 111111()()()lim()()iiiinniiP xXxF xF xF xF x 由定义，对任意实数由定义，对任意实数 ab，随机点落在区间随机点落在区间（

16、a, b 的概率为：的概率为：P( aX b) = P( X b ) P( X a) = F(b)-F(a) 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函的分布函数，数， 它的统计特性就可以得到全面的描述它的统计特性就可以得到全面的描述. . xxXPxF),()(分布函数的作用分布函数的作用重要公式重要公式:(1)()( )( ),P aXbF bF a(2)()1( ).P XbF b(4)()(0),()()()(0).P XaF aP XaP XaP XaF a1(3)()( )(0),11()()lim()1lim( ( )()( )(0).nnnP XaF aF aP

17、 XaPaXaPaXannF aF aF aF an重要公式重要公式:(6)()(0)( ),P aXbF bF a(7)()( )(0),P aXbF bF a(8)()(0)(0).P aXbF bF a(5)()1(0),P XbF b 解解：( )arctan,F xabxx例例2.1.4已知已知 X 的分布函数的分布函数( (Cauchy分布分布) )如下如下, ,求求 (1) a,b;(2) (1) a,b;(2) P(-1X1).(1)()0,()1,()0112,;2()121(2)(11)(1)(1).2FFabababPXFF说明说明(1) 分布函数全面描述了随机变量取值的

18、概率规律性分布函数全面描述了随机变量取值的概率规律性. .(2) (2) 分布函数分布函数F(x)F(x)是是x x的一个普通的函数，正是通的一个普通的函数，正是通 过它，我们可以用数学分析的工具来研究过它，我们可以用数学分析的工具来研究 随机变量随机变量. .( )()().F xP Xxx 分布函数的性质：分布函数的性质：2. 随机变量分布函数的概念随机变量分布函数的概念有界性，单调性，右连续性有界性，单调性，右连续性1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的的，随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数

19、函数 随机变量的分类随机变量的分类: : 离散，连续，其它离散，连续，其它. . 设离散随机变量设离散随机变量 X 的可能取值为：的可能取值为：x1，x2，xn， 称称 pi= p(xi) =P(X=xi)， i =1, 2, 为为 X 的的 分布列分布列(分布律）分布律）. 分布列也可用表格形式表示：分布列也可用表格形式表示：X x1 x2 xn P p1 p2 pn 1212nnxxxXppppx1x2x1p2po图示法：图示法： (1) pi 0， (2)1.iip (规范性规范性)(非负性非负性)求求离散随机变量的离散随机变量的分布列分布列应注意应注意： (1) 确定随机变量的所有可能

20、取值确定随机变量的所有可能取值; ; (2) 计算每个取值点的概率计算每个取值点的概率. 解解例例2.2.1记取球次数为记取球次数为X，X可能取值可能取值1，2，3，4, 5 .设盒中有设盒中有1 1只白球和只白球和4 4个红球，每次不放回地取一只个红球，每次不放回地取一只球，直到取到白球为止。求取球次数的分布列及分球，直到取到白球为止。求取球次数的分布列及分布函数。布函数。14511(),1,2,3,4,5.5iiPP XiiP且X12345P1/51/51/51/5 1/5( )()0,1,1/5,12,2/5,23,3/5,34,4/5,45,1,5.iixxF xP Xxpxxxxxx

21、 11121223( )()0,.iixxF xP Xxpxxpxxxppxxx分布函数分布函数: 分布列分布列:()()(0)iiiipP XxF xF x离散型随机变量分布列与分布函数的等价关系离散型随机变量分布列与分布函数的等价关系:x.10 x1x2xkx()( )( ).iia xbP aXbpF bF a：求概率 对对离散随机变量的离散随机变量的分布函数分布函数应注意应注意： (1) F(x)是递增的是递增的阶梯函数阶梯函数; ; (2) 其间断点均为其间断点均为右连续右连续的的; ; (3) 其间断点其间断点即为即为X的可能取值点的可能取值点; ; (4) 其间断点的其间断点的跳

22、跃高度跳跃高度是对应的概率值是对应的概率值.例例2.2.2已知已知 X 的分布列如下：的分布列如下：X -1 0 1P 0.3 0.4 0.3求 X 的分布函数.0, 1;0.3, -10;( )()0.3 0.4 0.7, 01;1, 1.xxF xP Xxxx 解：解：由概率的有限可加性得由概率的有限可加性得x1( )F x010.30 .7 1接例接例2.2.2求求: : P(X-0.1) ; P(-0.5300000,即即X 15人时公司亏本人时公司亏本. .1525002500015) 1(14)1(0.002) (0.998)0.00007.kkkkP XP XC （(2) 获利不

23、少于获利不少于100000100000元元, ,即即 300000 -20000X 100000,即即X 1010250025000(10)(0.002) (0.998)0.986.kkkkP XC例例2.2.6 ( (小概率事件问题小概率事件问题) ) ( , ),0XB n rr很小，(1) 1(0) 1 (1)1.nnP XP Xr 若随机变量若随机变量 X 的概率分布列为的概率分布列为(),0,1, 2,;0!kP Xkekk则称则称 X 服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 记为记为 X P( ).S .D.Poisson, 1781-1840, France. 18374.

24、4.泊松（普阿松）分布泊松（普阿松）分布Born: 21 June 1781 in Pithiviers, FranceDied: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), FranceSimon Poisson返回返回 泊松分布的图形特点：泊松分布的图形特点：(在众数处达最大值在众数处达最大值) ,-1众数非整数，是整数。m泊松分布的图形泊松分布的图形: : 泊松分布的背景泊松分布的背景:稀有事件在一段时间内发生稀有事件在一段时间内发生的次数的次数X服从或近似服从服从或近似服从POISSON分布分布. 在生物学、医学、工业统计、保险科学及在生物学、医学、工业

25、统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.电话呼唤次数电话呼唤次数 交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水例例 由该商店过去的销售记录知道，某种商品月销由该商店过去的销售记录知道，某种商品月销售数可以用参数售数可以用参数 的普阿松分布来描述，为的普阿松分布来描述，为了以了以90以上的把握保证不脱销，问商店在月初以上的把握保证不脱销，问商店在月初

26、至少应进该种商品多少？至少应进该种商品多少？8解解 设该商店月销售该种商品设该商店月销售该种商品 X 件，月初的进货件，月初的进货 n件件则当则当 时不脱销，因而由题意得：时不脱销，因而由题意得：()Xn()0.90P Xn又已知又已知 X 服从服从 的普阿松分布，上式为的普阿松分布，上式为88080.90!knkek118080.8880.90,!kkek128080.9360.90!kkek由普阿松分布表知由普阿松分布表知则这家商店只要在月初进货该种商品则这家商店只要在月初进货该种商品1212件即可。件即可。二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似定理定理2.2.1,.(1) !kkn knn

27、nC ppekkn ( (泊松定理泊松定理) )在在n重伯努里试验中，记重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中为一次试验中成功的概率成功的概率. .若若 npn ，则对固定的，则对固定的k,有有(1)(1).(1)() (1)!1211 (1)(1).(1)(1)!kkn knnnkn knnkn knnC ppn nnkknnkknnnn1211 (1)(1).(1)1(1)limlimnn knnknnnen(1)!limkkkn knnnneC ppk 证明证明: 记记pn=n/n有有对于任意固定的k,有故有,(10)(0.1)5,(1)e ,!(0,1,2, ).kkkn knn pn

28、nppnpnpP XkC ppkkn以为参数的二项分布当 较大， 较小，大小适中，时近似于以为参数的泊松分布即（）由泊松定理得二项分布的泊松近似：由泊松定理得二项分布的泊松近似：二项分布二项分布 泊松分布泊松分布n很大很大, p 很小很小上面我们提到上面我们提到单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出例例2.2.8 ( (人寿保险问题人寿保险问题) )在保险公司里在保险公司里 有有1000010000个个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险, ,在每一年在每一年里每个人死亡的概率为里每个人死亡的概率为0.0015,0.0015,每个参加保险

29、的人每个参加保险的人在在1 1月月1 1日付日付200200元保险费元保险费, ,而在死亡时而在死亡时, ,家属可在公家属可在公司里领取司里领取100000100000元元. .问问 (1) (1) 保险公司亏本的概率是多少保险公司亏本的概率是多少? ? (2) (2) 保险公司获利不少于保险公司获利不少于500000500000元的概率是多少元的概率是多少? ? 保险公司在保险公司在1 1月月1 1日的收入是日的收入是 200200 10000=200000010000=2000000元元解解 设设X表示这一年内的死亡人数表示这一年内的死亡人数, ,则则(10000,0.0015)XB(1)

30、 保险公司这一年里付出保险公司这一年里付出100000100000X元元. .假定假定 100000X2000000,即即X 20人时公司亏本人时公司亏本. .由泊松定理得由泊松定理得10000 0.0015 15,152001520) 1(20) 10.082.!kkeP XP Xk （(2) 获利不少于获利不少于500000500000元元, ,即即 2000000 -100000X 500000,即即X 151515015(15)0.568.!kkePXkbinopdf(x,n,p): 参数为参数为n,p的二项分布律在的二项分布律在x点处值。点处值。binocdf(x,n,p):参数为参

31、数为n,p的二项分布函数在的二项分布函数在x点处函点处函数值。数值。 11()(1),1, 2,kkP Xkpppqk记为记为 X Ge(p) X 为独立重复的伯努里试验中，恰好为独立重复的伯努里试验中，恰好 “首次成首次成 功功(A首次出现首次出现)”时的试验次数时的试验次数. 几何分布具有几何分布具有无记忆性无记忆性，即：，即： P( X m+n | X m ) = P( X n )=qn5. 几何分布几何分布例例: 袋中有红球袋中有红球, ,黄球黄球, ,蓝球各一个蓝球各一个. .从中有放回地从中有放回地每次任取一个每次任取一个, ,直到取到红球为止直到取到红球为止. .试求取球次试求取

32、球次数数X X的概率分布的概率分布, ,以及第以及第4 4次首次取到红球的概率次首次取到红球的概率. . 解解: :有放回地取球有放回地取球, ,每次取到红球的概率为每次取到红球的概率为p=1/3.所以取球次数所以取球次数X X的概率分布为的概率分布为 P(X=k)=1/3 (2/3)k-1, k=1,2, 第第4 4次首次取到红球的概率是次首次取到红球的概率是P(X=4)= 1/3 (2/3)3=8/81.6. 帕斯卡分布（负二项分布帕斯卡分布（负二项分布()(1),1,1111k r rr k rP XkCppCpkr rrrqkk记为记为X Nb(r, p). X 为独立重复的伯努里试验

33、中，为独立重复的伯努里试验中，恰好恰好“第第 r 次成次成 功功(A出现出现)”时的所需要的试验次数时的所需要的试验次数. r=1时是几何分布时是几何分布. (1) 二项随机变量是独立二项随机变量是独立 0- -1 随机变量之和随机变量之和. (2) 负二项随机变量是负二项随机变量是独立独立几何随机变量之和几何随机变量之和.记为记为 X h(n, N, M).(),kN kMN MnNC CCP Xk超几何分布对应于不返回抽样模型超几何分布对应于不返回抽样模型 ： N 个产品中有个产品中有 M 个不合格品，个不合格品， 从中抽取从中抽取n个，不合格品的个数为个，不合格品的个数为X .7.超几何

34、分布超几何分布0, 1, 2, min( ,)kn M 超几何分布的二项近似：超几何分布的二项近似：()().(1)knkMNMnNknkknCCP XkCMpNppC条件为：条件为：nN.当当 N 很大时，超几何分布可以用二项分布来近很大时，超几何分布可以用二项分布来近似计算似计算（不放回抽样可用放回抽样近似）（不放回抽样可用放回抽样近似） .于是所求的概率分布列为于是所求的概率分布列为332810()/,0,1,2.kkP XkC CCk解解10,2.3,?X设盒中有个球 其中有个红球，其余为黑球今从中任取 个球 问其中红球个数 的分布是例例: :X超几何分布超几何分布h(3,10,2)X

35、P0127/157/151/15( )()();iixxF xP Xxp x()(0).iiiipP XxF xF x2. 常用的离散型随机变量的分布常用的离散型随机变量的分布.1. 离散型随机变量离散型随机变量分布列与分布函数的等价关系：分布列与分布函数的等价关系：()( )( ).iia xbP aXbpF bF a 连续随机变量连续随机变量X的可能取值充满某个区间的可能取值充满某个区间 (a, b). 因为对因为对连续随机变量连续随机变量X，有，有P(X=x)=0， 所以所以无法无法仿离散随机变量用仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续来描述连续随机变量随机变量X的分布的分布. 注意

36、离散随机变量与注意离散随机变量与连续随机变量的差别连续随机变量的差别. .定义定义2.3.1设随机变量设随机变量X 的分布函数为的分布函数为F(x),则称则称 X 为为连续随机变量连续随机变量(continuous r.v.) ，( )( ),xf t dtF xx若存在非负可积函数若存在非负可积函数 f(x) ，满足：满足：称称 f(x)为为概率密度函数概率密度函数(pdf) ，或或分布分布密度函数密度函数(distribution density function).注意注意：密度也可用：密度也可用p(x)表示！表示！二、密度函数的基本性质二、密度函数的基本性质( )(2)(1) 0; (

37、 )1.f xf x dx满足满足(1) (2)的函数都可以看成某个的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数连续随机变量的概率密度函数.(非负性非负性)(规范性规范性)( )d1Sf xx( )f xox1(3)()( )( )P aXbF bF a( )()baf x dxab ( )f xabox注意点注意点(1) (4) F(x) 是是 ( , +) 上的上的（绝对）连续函数（绝对）连续函数; (5) P(X=a) = F(a) F(a 0) = 0; (6) P(aXb) = P(aXb) = P(aXb) = P(aXb) = F(b) F(a).注意点注意点(2)(7) 当当

38、F(x) 在在x点可导时点可导时, f(x) =( )F x当当F(x) 在在x点不可导时点不可导时, 可令可令f(x) =0.( )( )0f xFxxFxF，是（x)的可导点；，是（x)的不可导点.( )( )f xF x等价： 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：0()li( )( )mxf xFPXxxxxx 对对 f(x)的进一步理解的进一步理解: : 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f(x)在某点处在某点处x的高的高度，反映度，反映X取值的概率取值的概率. . 这个高度越大，则这个高度越大，则X取取x附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大. .也可以说，在某

39、点密度也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. .( )f xabox若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：()( )P xXxxf xx ( )f xx在连续型在连续型r.vr.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与()( )iiP Xxp x在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似. . 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的概的概率近似等于率近似等于 .( )f xx( ,x xx连续型连续型1. 密度函数密度函数 X f(x)( )( )xF xf t dt2.4. P(X=a)

40、= 0离散型离散型1. 分布列分布列: pi = P(X=xi) 2. F(x) =()iixxP Xx 3. F(a+0) = F(a); P(aX b) = F(b) F(a).4. 点点计较点点计较5. F(x)为阶梯函数。为阶梯函数。 5. F(x)为连续函数。为连续函数。 F(a 0) = F(a). F(a 0) F(a).例例2.3.2设设 X cos ,( ) 0, ,22Axxf x其 它.求求 :/2/2(1) 11( )cos2 ,.2f x dxAxdxAA解：解：(1)? (2) (0) ?(3)( )?4APXF x/40(2)12(0)cos.424PXxdx(

41、)0, ,21(3)( )cos, ,/22221, .2xf t dtxxF xxdtxx 0, ,21 sin, ,2221, .2xxxx 例例2.3.3设设 X 20,0,( ) A, 01, B, 1. xF xxxx求求 :121(1)lim( )(1)()1lim,1.1xxFF xFFAxBABB 由于（x）为连续的分布函数，所以有:即解：解：(1),? (2) (0.20.8) ?(3)( )?A BPXF x2 ,01,(3)( )( )0,.xxf xF xotherwise (2)(0.8)(0.2)0.6.(0.20.8)FFPX例例 某种型号的电子元件的寿命某种型号

42、的电子元件的寿命 X(X(小时小时) ) 的的密度密度函数为函数为21000,1000,( )0,1000.xf xxx 求：求： （1 1）任取一个元件寿命超过）任取一个元件寿命超过15001500小时的概率；小时的概率；（2 2）若一只该种元件已使用了）若一只该种元件已使用了15001500小时，则该小时，则该元件的寿命大于元件的寿命大于20002000小时的概率。小时的概率。解解（1 1）(1500)pP X2150010002.3dxx(2000)1/ 23(2000|1500).(1500)2/34P XpP XXP X（2 2）设设X的密度为的密度为34,01( )0, xxf x

43、其 他已知事件已知事件 A = X a 概率相等，概率相等，解解: 因为因为 P(A) = P(B), 所以所以 P(A)+P(B)=1304ax dx4.a从中解得从中解得40.50.8409.a 求常数求常数 a .P(X=a)= 0,从中解得从中解得: P(A)=1/2, 由此得由此得 0a 1 ,因此因此 1/2 = P(A) = P( X 0，有，有( ) F( a) =1 F( a)= F( a) = F(a) F( a) = 2F(a) 10( )af x dx01( )2af x dx正态分布正态分布、均匀分布均匀分布、指数分布指数分布、伽玛分布伽玛分布、贝塔分布贝塔分布。记为

44、记为 X U(a, b)背景之一背景之一：X表示在（表示在（a, b）内均匀投点的落点坐标。）内均匀投点的落点坐标。1, ( ) 0, a x bXf xb a 其 它0,( ),1,x ax aF xax bb ab x 1. 均匀分布均匀分布xo( )f xab概率密度概率密度函数图形函数图形: :xo( )F xab1分布函数：分布函数： X U(0, 10). 现在对现在对 X 进行四次独进行四次独立观测，试求至少有立观测，试求至少有3次观测值大于次观测值大于 5 的概率的概率.解：解：记记 A = X 5 , 则则 P(A) = P( X 5) = 1/2设设 Y 表示四次独立观测中

45、表示四次独立观测中 A 出现的次数出现的次数,则则 Y B(4, 1/2)，所求概率为，所求概率为 P(Y3) = P(Y=3)+P(Y=4)3404434111122225.16CC 例例记为X N(, 2),2()1( )exp,222xXf xx其中 0， 是任意实数. 是位置参数. 是尺度参数.2.正态分布正态分布验证确为密度函数：积分为验证确为密度函数：积分为1！yxOBorn: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)Died: 23 Feb. 1855 in Gttingen, Hanover (now

46、 Germany)Carl Friedrich Gauss返回返回正态分布的性质正态分布的性质(1) f(x) 关于关于 是对称的是对称的. .f(x)x0在在 点点 p(x) 取得最大值取得最大值.(2) 若若 固定固定, 改变改变, (3) 若若 固定固定, 改变改变,小小大大f(x)左右移动左右移动, , 形状保持不变形状保持不变. . 越大曲线越平坦越大曲线越平坦; 越小曲线越陡峭越小曲线越陡峭.(3),( ),.f x当固定改变的大小时图形的对称轴不变 而形状在改变越小图形越高越瘦越大图形越矮越胖正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征: :(4),( )0;xf x 当

47、时(5);x曲线在处有拐点正态分布的分布函数正态分布的分布函数: :22()21()ed2 txFxt 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景: : 正态分布有极其广泛的实际背景正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量例如测量误差误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常正

48、常情况下生产的产品尺寸情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态都服从或近似服从正态分布分布.可以说可以说,正态分布是自然界和社会现象中最正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般那么这个变量一般是一个正态随机变量是一个正态随机变量.正态分布是概率论中最重要的分布正态分布是概率论中最重要的分布: :另一方面另一方面,有些分布有些分布(如二项分布、泊松分布如二项分布、泊松分

49、布)的极的极限分布是正态分布限分布是正态分布.所以所以,无论在实践中无论在实践中,还是在理还是在理论上论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布正态分布是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换二项分布向正态分布的转换(x)x01(1) (0),2x x)( x1( ) x标准正态分布标准正态分布N(0, 1)密度函数记为密度函数记为 (x),分布函数记为分布函数记为 (x).(2)()1( )xx 22221( )e,;21( )ed ,.2xtxxxxtx 标准正态分布的图形标准正态分布的图形: :(x) 的计算(1) x 0 时, 查标准正态分布函数表或软件.(2) x a) =

50、1(a); (3) P(aUb) = (b)(a); (4) 若a 0, 则 P(|U|a) = P(aU 1.96) , P(|U| 1.96)P(|U|1/2, 所以所以 b 0, 反查表反查表得得: (1.66) = 0.9515, 故故 b = 1.66而而 (a) = 0.0495 1/2,所以所以 a 0, ( a) = 0.9505, 反查表反查表得得: (1.65) = 0.9505, 故故 a = 1.65例例一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化定理定理 设设 X N( , 2),XU则则 U N(0, 1).推论推论: 若若 X N( , 2), 则则( )xF x若若

51、 X N( , 2), 则则 ()( )aP XaF a()( )( )()()baP aXbF bF a 设设 X N(108, 9), 求求: (1) P(102X1117); (2) P(Xa)=0.95, a=?解解: (1) P(102X1117) =F(117)-F(102)= (3)(-2)= 0.9987+0.9772 1=0.9759.(2) P(X k = PXk, 则则 k = ( ).3课堂练习课堂练习(1) 设设 X N( , 42), Y N( , 52), 记记 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 则则( ) 对任意对任意的的 ，都有，都有 p1 = p2

52、 对任意对任意的的 ，都有，都有 p1 p2课堂练习课堂练习(2) 设设 X N( , 2), 则随则随 的增大，的增大， 概率概率 P| X | ( ) 单调增大单调增大 单调减少单调减少 保持不变保持不变 增减不定增减不定课堂练习课堂练习(3)正态分布的正态分布的 3 原则原则设设 X N( , 2), 则则 P( | X | ) = 0.6828. P( | X | 2 ) = 0.9545. P( | X | 3 ) = 0.9973.P( X x ) = F(x) = 定义定义 设设 0 0.1,0( )0,0 xexF xx特别特别：指数分布具有无忆性，即：指数分布具有无忆性，即：

53、P( X s+t | X s )=P( X t ) 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布. .例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 , , 电力设备的寿命电力设备的寿命, , 动物的动物的寿命等都服从指数分布寿命等都服从指数分布. .应用与背景应用与背景: :分布函数分布函数: :1,0,( )0, 0.xexF xx (|)PX s t X s ()sttseee()()P Xs tP Xs (,)()P Xst XsP Xs1()1( )F stF s证明证明()P Xt4. 伽玛分布伽玛分布记为记为 X Ga( , ),1( ), 0( )xXf xxex

54、其中形状其中形状 0， 尺度参数尺度参数 0.为为伽玛函数伽玛函数.10( )dxxex称称xo( )f x概率密度概率密度函数图形函数图形 注意点注意点 (1) (1) = 1, (1/2) = (n+1) = n! (2)Ga(1, ) = Exp( )Ga(n/2, 1/2) = 2(n) (+1) = () ，12221,0( )2()20,0nxnnxexnfxx21( )(, ),2 2nXnGa若则则X X的密度函数为的密度函数为5. 贝塔分布贝塔分布记为记为 X Be(a, b), 111( )(1), 01( , )abXf xxxxB a b其中形状参数其中形状参数a 0，

55、b 0.称称1110( , )(1)dabB a bxxx为为贝塔函数贝塔函数.概率密度概率密度函数图形函数图形xo( )f x 1注意点注意点 (1) (2) B(a, b) =B(b, a)B(a, b) = (a) (b) / (a+b) (3) Be(1, 1) = U(0, 1)6. 广义高斯分布广义高斯分布记为记为 X GGD.( ; , , ), -.2(1/ )exp | Xf xxx 分布函数分布函数概率密度概率密度(,)( )( )( ).P Xa bbf x dxF bF aa ( ).( )d1xF xf tt连续随机变量( )( )0f xFxxFxF，是（x)的可导

56、点；，是（x)的不可导点.2. 常用的连续型随机变量的分布常用的连续型随机变量的分布.2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布问题：问题：已知已知 X 的分布，求的分布，求 Y = g(X) 的分布。的分布。例如：例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = X2 . 当当 X 为离散随机变量时，为离散随机变量时， Y = g(X) 为离散随机变量为离散随机变量. 将将g(xi) 一一列出一一列出, 再将相等的值合并即可再将相等的值合并即可. 一、一、 离散型离散型随机变量函数的分布（律）随机变量函数的分布（律）离散型随机变量的函数的分布列求法：离散型随机变量的函数的分布列

57、求法：,().XYg XX如果是离散型随机变量 其函数也是离散型随机变量若的分布列为XP12kxxx12kppp()Yg X则的分布列为P( )Yg X12kppp12()()()kgxgxgx(),.kkg xp若中有值相同的 应将相应的合并(1) Y=2X+1 (1) Y=2X+1 的分布列为的分布列为例例2.4.1 设设XP1010 .30 . 40 .32: (1)21;(2).YXYX求的分布列解解YP130 . 30 .310 . 4(2) (2) Y=X2 的分布列为的分布列为YP010 . 40 .6例例 设设X服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布,试求试求Y=g(X)的分

58、布的分布列列.其中其中1,( )0,01,xg xxx为偶数为奇数解解 易知易知Y Y的可能取值为的可能取值为-1,0,1,-1,0,1,且有且有2100(1)(21)(21)!kkkP YP Xkek P(Y=0)=P(X=0)=e-211(1)(2)(2)!kkkP YPXkek二、二、 连续型随机变量函数的分布（密度）连续型随机变量函数的分布（密度）1、分布函数法（定义法）（、分布函数法（定义法）（g(x)为一般函数）为一般函数）2、定理法、定理法（g(x)为严单函数）为严单函数） 问题：问题：()?XYg X如何根据已知连续随机变量的分布密度，求得随机变量的分布密度 1、（方法一）分布

59、函数法（对、（方法一）分布函数法（对g(x) 的任意形式均适的任意形式均适用）用）Step1 定取值定取值: X （a，b）Y=g(X) （，）Step2 定分布函数定分布函数 :FY（y).( )( )()( ()0,( ),1,YXg xyFyP YyP g Xyyx dxyyf( )( ).YYF yYfy再对求导得到 的密度函数Step3 求导数得求导数得fY（y). 第二步第二步 ： 求求Y=X2 的分布函数的分布函数 FY(y).2( )()()YF yP YyP Xy解解20 1.XNYX设随机变量服从 （ ， ），求随机变量的概率密度例例2.4.4第一步第一步 ：2(,)0,)

60、.XYX ()2 () 1,00,0PyXyyyy 121222(),0()()0,01,0.2(1).0,0YyyyyfyFyyyyyye第三步第三步： 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度.思考：求思考：求 Y=|X|Y=|X|的密度函数？的密度函数？ 第二步第二步 ： 求求Y=cosX的分布函数的分布函数 FY(y).( )()(cos)YF yP YyPXy解解1,/ 2/ 2,( )0,.cos.XXxfxYX设随机变量的概率密度为其他求随机变量的概率密度例例2.4.5第一步：第一步：(/2,/2)cos(0,1).XYX 0,0(/2arccos )(arccos/2) , 0