高等机构学 03 运动学

1、高等机构学高等机构学YSU燕山大学机械工程学院燕山大学机械工程学院n 螺旋理论基础螺旋理论基础n 基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理n 空间机构的位置分析空间机构的位置分析n 运动影响系数原理运动影响系数原理n 空间机构动力学空间机构动力学n 基于约束螺旋理论的并联机构型综合基于约束螺旋理论的并联机构型综合n 空间机构的奇异分析空间机构的奇异分析本门课程的主要本门课程的主要学习内容学习内容 位置正解位置正解 已知输入参数求输出参数，即已知输入参数求输出参数，即已知驱动器位置求解已知驱动器位置求解 动平台的位姿。动平台的位姿。 位置位置反解反解 已知输出参数求输入参数，即已

2、知输出参数求输入参数，即已知动平台位姿求解已知动平台位姿求解驱动器的位置。驱动器的位置。注意：注意：串联机构位置正解易于处理，逆解相对困难串联机构位置正解易于处理，逆解相对困难; ;并并联机构位置正解处理困难，逆解相对容易，但一些少联机构位置正解处理困难，逆解相对容易，但一些少自由度并联机构的逆解处理也相对困难。自由度并联机构的逆解处理也相对困难。空间机构位置分析空间机构位置分析解析法解析法:根据机构的结构组成特征建立约束方程组，采用多种方根据机构的结构组成特征建立约束方程组，采用多种方法从约束方程组中消去中间参数，得到单参数多项式后再求解。法从约束方程组中消去中间参数，得到单参数多项式后再求

3、解。方法包括矢量代数法、几何法、矩阵法和四元数法等。方法包括矢量代数法、几何法、矩阵法和四元数法等。 优点是可以得到全部解优点是可以得到全部解; ;缺点是难度较大，只有方法上的通用缺点是难度较大，只有方法上的通用性，但个例均须结合具体情况进行分析和处理。性，但个例均须结合具体情况进行分析和处理。 数值法数值法:采用的方法用数值逼近的方法解非线性方程组（例如：采用的方法用数值逼近的方法解非线性方程组（例如：牛顿迭代法）。数值法可以较快地的求得任何机构的实数解，但牛顿迭代法）。数值法可以较快地的求得任何机构的实数解，但一般不能得到全部解。一般不能得到全部解。 一般而言，初值选取及搜索算法对收敛性及

4、精度影响较大。一般而言，初值选取及搜索算法对收敛性及精度影响较大。空间机构位置分析空间机构位置分析分析方法分析方法6-SPS并联机构位置分析并联机构位置分析6-SPS6-SPS机构上、下平台以机构上、下平台以6 6个分支相连，每个分支相连，每个分支两端是两个球铰，中间是一个移动个分支两端是两个球铰，中间是一个移动副。副。为六自由度机构。为六自由度机构。iiPPPR其中，其中，R为上平台的方向余弦矩阵，为上平台的方向余弦矩阵，P为上平台坐标系原点在固定参考为上平台坐标系原点在固定参考系中的坐标。二者均为已知量。系中的坐标。二者均为已知量。建立如图所示坐标系。建立如图所示坐标系。当给定机构的各个当

5、给定机构的各个结构尺寸后，利用几何关系，可以很容易结构尺寸后，利用几何关系，可以很容易写出上下平台各铰链点在各自坐标系中的写出上下平台各铰链点在各自坐标系中的坐标值，再利用下式可求出上平台铰链点坐标值，再利用下式可求出上平台铰链点在固定参考系下的坐标值。在固定参考系下的坐标值。则则6个驱动器杆长矢量个驱动器杆长矢量Li可以表示为：可以表示为：iiiLPB3-RPS并联角台并联角台机构位置分析机构位置分析 机构由定平台机构由定平台O-A1A2A3，动平台动平台D-a1a2a3以及三个对称的以及三个对称的RPSRPS分支构成。分支构成。 构的所有边长都为构的所有边长都为M 。( (初始位形初始位形

6、下下li=M。) ) 3-RPS并联角台并联角台机构位置分析机构位置分析 3 3个个RPSRPS分支可以对动平台分支可以对动平台施加一个约束力。施加一个约束力。123(100;001)(010;100)(001;010)rrr$ 这三个约束力在空间交错分布，相互之间线性无这三个约束力在空间交错分布，相互之间线性无关关，约束了机构动平台的三个移动自由由度，机构，约束了机构动平台的三个移动自由由度，机构只剩下只剩下三个三个“转动转动”自由度自由度。 自由度分析自由度分析3-RPS并联角台并联角台机构位置分析机构位置分析 机构动平台有机构动平台有3 3个转动自由度，个转动自由度，三个独立参数可以确定

7、机构的位三个独立参数可以确定机构的位姿。姿。 在进行反解时，动平台的姿态在进行反解时，动平台的姿态是已知的。可用一个姿态矩阵描是已知的。可用一个姿态矩阵描述为：述为： 位置反解位置反解111213212223313233rrrrrrrrrR(1)3-RPS并联角台并联角台机构位置机构位置分析分析 三个转动副在三个转动副在定坐标系定坐标系中的坐标为中的坐标为 三个球面副在三个球面副在动坐标系动坐标系中的坐标为：中的坐标为： 位置反解位置反解123000 000MMMAAA1236666630 22 22000MMMMM aaa(2)(3)3-RPS并联角台并联角台机构位置机构位置分析分析 动坐标

8、系与定坐标系之间的坐标变换公式为动坐标系与定坐标系之间的坐标变换公式为 位置反解位置反解iiaoRa(5) 假设动坐标系的原点在定坐标系中的坐标为假设动坐标系的原点在定坐标系中的坐标为 xyzoooo(4)3-RPS并联角台并联角台机构位置机构位置分析分析 (2)(3)(4)代入代入(5)，可以得到三个球面副在，可以得到三个球面副在定坐标系定坐标系中的坐标为：中的坐标为： 位置反解位置反解111112111212122122321223131323132662623626266262 362626626236262xxxyyyzzzoMroMrMroMrMroMroMrMroMrMroMroM

9、rMroMrMraaa(6)3-RPS并联角台并联角台机构位置机构位置分析分析 由于受转动副的限制，每个由于受转动副的限制，每个RPSRPS分支只能在垂直于分支转动副的平分支只能在垂直于分支转动副的平面内运动，球副的坐标应满足面内运动，球副的坐标应满足 由由(5)(6)，可以得到动平台原点，可以得到动平台原点的坐标为的坐标为 位置反解位置反解123xyzaMaMaM(7)T1121223132662621 1 136262xyzooMrrrrroo(8)3-RPS并联角台并联角台机构位置机构位置分析分析 根据驱动副杆长的定义，有根据驱动副杆长的定义，有 位置反解位置反解 (1,2,3)iiil

10、Aai 将式将式(2)(6)代入式代入式(9) ，可以得到驱动副的长度，可以得到驱动副的长度为为(9)222122313212221112323221112226262(1)(1)222262(1)(12)2262(1)(12)22rrrrllMrrrlrrr (10)3-US并联角台并联角台机构位置分析机构位置分析 机构由定平台机构由定平台O-A1A2A3，动平台动平台D-a1a2a3以及以及三个对称的三个对称的US分支构成。分支构成。 构的所有边长都为构的所有边长都为M 。( (初始位形下初始位形下li=M。) ) 3-US并联角台并联角台机构位置分析机构位置分析US分支可以对动平台施加一

11、分支可以对动平台施加一个约束力。个约束力。123(010;001)(001;100)(100;010)rrr$ 这三个约束力在空间交错分布，相互之间线性无这三个约束力在空间交错分布，相互之间线性无关关，约束了机构动平台的三个移动自由由度，机构，约束了机构动平台的三个移动自由由度，机构只剩下只剩下三个三个“转动转动”自由度自由度。 自由度分析自由度分析3-US并联角台并联角台机构位置分析机构位置分析 机构动平台有机构动平台有3 3个转动自由度，个转动自由度，三个独立参数可以确定机构的位三个独立参数可以确定机构的位姿。姿。 在进行反解时，动平台的姿态在进行反解时，动平台的姿态是已知的。可用一个姿态

12、矩阵描是已知的。可用一个姿态矩阵描述为：述为： 位置反解位置反解111213212223313233rrrrrrrrrR(1)3-US并联并联角台角台机构位置机构位置分析分析 三个转动副在三个转动副在定坐标系定坐标系中的坐标为中的坐标为 三个球面副在三个球面副在动坐标系动坐标系中的坐标为：中的坐标为： 位置反解位置反解123000 000MMMAAA1236666630 22 22000MMMMM aaa(2)(3)3-US并联并联角台角台机构位置机构位置分析分析 动坐标系与定坐标系之间的坐标变换公式为动坐标系与定坐标系之间的坐标变换公式为 位置反解位置反解iiaoRa(5) 假设动坐标系的原

13、点在定坐标系中的坐标为假设动坐标系的原点在定坐标系中的坐标为 xyzoooo(4)3-US并联并联角台角台机构位置机构位置分析分析 (2)(3)(4)代入代入(5)，可以得到三个球面副在，可以得到三个球面副在定坐标系定坐标系中的坐标为：中的坐标为： 位置反解位置反解111112111212122122321223131323132662623626266262 362626626236262xxxyyyzzzoMroMrMroMrMroMroMrMroMrMroMroMrMroMrMraaa(6)3-US并联并联角台角台机构位置机构位置分析分析 由于球面副位于一个以U副为球心的球面上，则球面副

14、中心点的坐标应满足如下的约束方程 位置反解位置反解222211122222222222333xyzxyzxyzaaaMaaaMaaaM(7)将式（6）代入式（7），可以的到动平台原点坐标的三元二次方程组，从而可以求解出动平台原点坐标，进而可以解出驱动副的转角3-CS并联角台并联角台机构位置分析机构位置分析 机构由定平台机构由定平台O-A1A2A3，动平台动平台D-a1a2a3以及以及三个对称的三个对称的CS分支构成。分支构成。 构的所有边长都为构的所有边长都为M 。( (初始位形下初始位形下li=M。) ) 3-CS并联角台并联角台机构位置分析机构位置分析CS分支可以对动平台施加一分支可以对动

15、平台施加一个约束力。个约束力。123(010;001)(001;100)(100;010)rrr$ 这三个约束力在空间交错分布，相互之间线性无这三个约束力在空间交错分布，相互之间线性无关关，约束了机构动平台的三个移动自由由度，机构，约束了机构动平台的三个移动自由由度，机构只剩下只剩下三个三个“转动转动”自由度自由度。 自由度分析自由度分析3-CS并联角台并联角台机构位置分析机构位置分析 机构动平台有机构动平台有3 3个转动自由度，个转动自由度，三个独立参数可以确定机构的位三个独立参数可以确定机构的位姿。姿。 在进行反解时，动平台的姿态在进行反解时，动平台的姿态是已知的。可用一个姿态矩阵描是已知

16、的。可用一个姿态矩阵描述为：述为： 位置反解位置反解111213212223313233rrrrrrrrrR(1)3-CS并联并联角台角台机构位置机构位置分析分析三个球面副在三个球面副在动坐标系动坐标系中的坐标为：中的坐标为： 位置反解位置反解1236666630 22 22000MMMMM aaa(2)(3)假设动坐标系的原点在定坐标系中的坐标为假设动坐标系的原点在定坐标系中的坐标为 xyzoooo111112111212122122321223131323132662623626266262 362626626236262xxxyyyzzzoMroMrMroMrMroMroMrMroMrM

17、roMroMrMroMrMraaa3-CS并联并联角台角台机构位置机构位置分析分析动坐标系与定坐标系之间的坐标变换公式为动坐标系与定坐标系之间的坐标变换公式为 位置反解位置反解iiaoRa(5)(4)(1)(2)(3)代入代入(4)，可以得到三个球面副在，可以得到三个球面副在定坐标系定坐标系中中的坐标为：的坐标为：3-CS并联并联角台角台机构位置机构位置分析分析 由于球面副位于一个以C副为中心线的圆柱面上，则球面副中心点的坐标应满足如下的约束方程 位置反解位置反解222112222222233yzxzxyaaMaaMaaM(6)3-CS并联并联角台角台机构位置机构位置分析分析 位置反解位置反解

18、将式(5)代入式(6)，可以的到动平台原点坐标的三元二次方程组(7)3-CS并联并联角台角台机构位置机构位置分析分析 位置反解位置反解从式(6)中可以求解出动平台原点的坐标，而驱动副的尺寸可以通过下面的表达式得到(8)工作空间工作空间工作空间的分类工作空间的分类1、位置空间（定姿态空间）给定平台姿态的条件下，参考点所能达到的所有位置A AB BC CT000,姿态角：姿态角：0100 1、位置空间（定姿态空间）工作空间的分类工作空间的分类2、姿态空间给定参考点位置的条件下，平台所能达到的所有姿态固定点T000,zyx位置：位置：工作空间的分类工作空间的分类3、灵巧空间平台能够以任何位姿达到的空

19、间集合灵巧点灵巧点A AB BO O工作空间的分类工作空间的分类4、可达空间平台能够以至少一种路径达到的位姿集合可达点可达点okABCO工作空间的分类工作空间的分类1、支腿长度限制最低位置最低位置最高位置最高位置工作空间的限制因素工作空间的限制因素2、关节运动范围工作空间的限制因素工作空间的限制因素3、支腿干涉限制工作空间的限制因素工作空间的限制因素位置工作空间的计算位置工作空间的计算000,角度：角度：zyx, 位置：位置：动平台中心点动平台中心点点点A000,定姿态：定姿态：ql000000,zyxq 反解反解61 ll支腿位移：支腿位移：满足约束满足约束记下记下A A点为工作空间点点为工

20、作空间点考察下一点考察下一点000,zyx位置工作空间的计算位置工作空间的计算ox0zz A面面zoxy sinx cosyzz 柱坐标柱坐标abcdocabdeA面面4/2/位置工作空间的三维表示位置工作空间的三维表示A面面zB面面zC面面o位置工作空间的三维表示位置工作空间的三维表示-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4X向 (m)Y向 (m)z=0.2m z=-0.1m z=0m z=0.1m 位置工作空间的三维表示位置工作空间的三维表示位置工作空间的三维表示位置工作空间的三维表示最大内切空间最大内切空间位置工作空间的形状和大小随着给定姿态的不同而发生变化01015位置工作空间的三维表示位置工作空间的三维表示动平台三维转动的动平台三维转动的欧拉角欧拉角描述方法描述方法(T&T angles)csscsssccscsccccssccssccsscccRRRRRzzyzm)()()()()()()()()()()()()()(姿态工作空间的计算与表示姿态工作空间的计算与表示将将3-RPS3-RPS角台机构的姿态工作空间