第三章_置信区间

1、设总体分布含有一未知参数，又x x1 1,x,x2 2, ,x,xn n为来自于总体的样本，若对于给定(01)，统计量1(x1,x2,xn)和2(x1,x2,xn)满足1121 ( ,)( ,) 1nnPxxxx 则称区间区间 1 1, , 2 2 为为 相应于置信度是相应于置信度是1-1- 的置信区间，简称置信区间的置信区间，简称置信区间。 一、置信区间一、置信区间 1 1, , 2 2分别称为置信下限和置信上限分别称为置信下限和置信上限. . (1- (1- ) )称为置信度称为置信度。注意注意：区间区间 1 1, , 2 2 是随机区间。是随机区间。二、单侧置信限二、单侧置信限 若对于给

2、定的(01),统计量 1(x1,x2,xn)满足 1),(11nxxP2则称区间 1 1,+,+ ) )为为 相应于置信度是相应于置信度是1-1- 的单侧置信区间的单侧置信区间， 1 1称为置信度是称为置信度是1-1- 的的单侧置信下限。单侧置信下限。类似，满足下式问题问题: : 如何确定总体参数的区间估计1,2呢？对于一般总体是难于确定的.现仅能确定正态总体N(,2)中参数,2的区间估计这对许多实际应用已经够了.21( ,)1nPxx 的2为单侧置信上限。 第四节第四节 正态分布均值和方差正态分布均值和方差 的区间估计的区间估计4 抽抽样本分布的某些结论样本分布的某些结论() 一个正态总体一

3、个正态总体) 1() 1(22122nXXSnnii22) 1(Sn 与X相互独立设22)(,)(),(XDXENXnXXX,21总体的样本为( )，则),(2nNX) 1 , 0( NnX) 1(nTnSXSnX(1)(2)5( II ) 两个正态总体两个正态总体设nXXX,21是来自正态总体的一个简单随机样本),(211NXmYYY,21是来自正态总体),(222NY的一个简单随机样本它们相互独立. . niiniiXXnSXnX12211)(111令mjjmjjYYmSYmY12221)(1116则) 1() 1() 1() 1(2222222121mSmnSn) 1, 1(222221

4、21mnFSS若21则) 1, 1(2221mnFSS(3)7设nXXX,21是来自正态总体的一个简单随机样本),(21NXmYYY,21是来自正态总体),(22NY的一个简单随机样本 ,它们相互独立. . 则),(1),(1221211mNYmYnNXnXmjjnii) 1 , 0()()(2221NmnYX),(2221mnNYX8) 1() 1() 1() 1(22222221mSmnSn222221) 1() 1(SmSn)2(2 mnYX 与222221) 1() 1(SmSn相互独立92) 1() 1()()(2222212221mnSmSnmnYX2) 1() 1(11)()(2

5、22121mnSmSnmnYX) 2(mnt(4)102 11()( ,)nXXXNnn 设总体XN(,2)，其中其中 2 2已知已知，又X1,X2,Xn为来自于总体的样本。 一. 均值均值EXEX的区间估计的区间估计下面分两种情况进行讨论。1.1.方差方差DXDX已知，对已知，对EXEX进行区间估计进行区间估计由第七章第三节中的结论可知于是 (0,1)/XUNn111122()12P Uzz 12|1进进而而有有 P Uz 121/xPzn即 11221P xzxznn 由标准正态分布可知，对于给定的，可以找到一个数z z1-1- /2/2 ，使1220.97511.96zz 当0.05时,

6、查标准正态分布表得临界值此时的置信区间是2211,nnxzxz 即为的置信区间。称z1-/2为在置信度1-下的临界值临界值，或称为标准正态分布的双侧分位点。区间1.96,1.96xxnn0.995122.58zz2.58, 2.58xxnn 当0.01时,查标准正态分布表得临界值此时的置信区间是14例例1 1. 已知某种滚珠的直径服从正态分布，且方差为0.06，现从某日生产的一批滚珠中随机地抽取6只，测得直径的数据（单位mm）为14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 试求该批滚珠平均直径的95置信区间。解解 当0.05时，1-=0.95,查表得 0.975121.96zz1

7、146 151 149 148 152 15114956( . ).x于是1.9614.75xn1.9615.15xn故所求置信区间为14.75, 15.1520.06, 0.06 , 6n实际应用中往往是D(X)未知的情况。 设x1,x2,xn为正态总体N(,2)的一个样本，由于2未知，我们用样本方差用样本方差S S2 2来代替总体方差来代替总体方差 2 2， ),()(1221nNxxxnxn (0,1)/xUNn2.2.方差方差D(X)D(X)未知，对未知，对EXEX进行区间估计进行区间估计17212)(11xxnsnii) 1() 1(222nsnVU与V独立根据第七章定理四，统计量

8、(1)/(1)xUTt nsnVn(0,1)/xUNn请比较请比较U U与与T T)1(21nt12(1)12PTtn 对给定的，查t分布表可得临界值临界值12(1)1PTtn12(1)1/xPtnsn使得19即1122(1)(1)1ssP xtnxtnnn 故得均值的置信区间为1122(1),(1)ssxtnxtnnn当=0.05，n=9时，查t分布表得临界值0.97512(1)(8)2.306tnt 因此，在方差2未知的情况下，的置信区间是2.306,2.30699ssxx20 x例例2 2 : 设有某种产品,其长度服从正态分布，现从该种产品中随机抽取9件,得样本均值 9.28(cm),样本标准差标准差 s0.36(