电磁学若干问题第一讲

1、奥林匹克物理竞赛电磁学若干问题第一讲1电场与电势的若干问题电容的若干问题能量的若干问题导体受力若干问题2一、电场的若干问题 电场对任意封闭曲面的电通量只决定于被包围在封闭曲面内部的电荷，且等于包围在封闭曲面内电量代数和除以e0，与封闭曲面外的电荷无关。这一结论就是静电场的高斯定理。 1、高斯定理3高斯定理表明是静电场是有源场 高斯定理给出了场和场源的一种联系，这种联系是场强对封闭曲面的通量与场源间的联系，并非场强本身与源的联系。电荷是静电场的源.高斯面上的电荷问题 高斯面把电荷区分为内外两种，是否存在一种点电荷正好在高斯面上？这是不存在的，因为只有点电荷的线度要远小于q与高斯面间的距离，才能视

2、为点电荷。高斯定理讨论4高斯定理中的E问题 高斯定理中的E是全部电荷所产生的E，而不管这电荷是在曲面内部或在曲面外部。同一高斯面的E可能相同，也可能不同，因为高斯面是任意选取的。高斯定理表明的只是电通量和电荷的关系 如果在高斯面内部或外部电荷分布发生改变，则空间电场分布将发生变化，高斯面上的电场也会发生变化，但只要内部总电荷数不变，高斯定理指出，电场对该封闭曲面的电通量并无变化。5第1题求均匀带电球面产生的电场。已知球面的半径为R，电量为Q。解根据球对称性可以判定，不论在球内还是在球外，场强的方向必定沿球的半径，与球心等距离的各点的场强大小应相等。作如图所示的高斯面，当rR时，作S2的高斯面，

3、有： 7第2题求均匀带电球体中所挖出的球形空腔中的电场强度。球体电荷密度为r，球体球心到空腔中心的距离为a。2.电场叠加法8解将空腔看作是同时填满+r和-r的电荷，腔内任一点的电场强度就由一个实心大球电荷密度为+r和一个实心小球电荷密度为-r的叠加而成，如图所示：9同理可得：所以，a为矢量，方向由O指向O。可见空腔内电场强度是均匀的。10 带异种电荷具有同样电荷密度的两个球有一部分重叠，则重叠部分的电场强度为：表明该部分的电场是均匀场，方向从正电子中心指向负电荷中心。11无限长圆柱体，电荷均匀分布，在内挖出一个空腔，空腔轴线与圆柱体轴线平行，相距为a，则空腔内的电场强度为：均匀场，方向从O指向

4、O。注：带电圆柱体内外的电场强度为：12第3题在电场强度为E的均匀电场中放着一个均匀金属球,其半径为R,求球表面感应电荷的分布.解设整个球都均匀充电(电荷为Q)的球内的电场强度为EM:13考察两个半径为R, 相互错开了距离l, 均匀带电+Q和-Q, 公共区域的电荷为零. 两个带电球在公共区域P点的电场强度为:公共部分为均匀电场.球, 球内电场为零14设球壳的厚度为h,在面元DS上的电量为:公共部分总的电场应为零.即:153. 电势叠加法对点电荷系，有电场的叠加原理，有：此式表明，点电荷组的电势等于各个电荷单独存在时电势的代数和(标量和）。 16第4题一个立方体有5个面接地,而第6个面与其余5个

5、面绝缘,电势为U,则立方体中心的电势是多少?17解由电势的叠加原理, 中心点的电势由6个面电势叠加而成:因为6个面几何形状对称, 所以系数ki相同,若6面等电势,均为U, 则中心点也为U, 所以k=1/618所以, 当: 19第5题 如图 , 两个同心的半球面相对放置, 半径分别为 R1 与 R2，R1R2, 都均匀带电，电荷面密度分别为s1 与s2 ，试求大的半球底面圆直径 AOB上的电势分布 。解由于均匀带电球面内电场强度处处为零, 球面外任一点的电场强度等于全部电荷集中在球心时在该点的电场强度, 故球面内电势恒定, 球面外电势与到球心的距离成反比, 电势连续分布, 容易求出。 显然 ,

6、均匀带电球面在球内、外任一点的电势, 是两个半球面贡献之和, 因电势是标量, 半球面在任一点的电势应为球面在该点的电势之半。20半径为 R1, 电荷面密度为s1 的完整均匀带电大球面在球内 ( 包括直径 AOB) 的电势恒定 , 表示为 U1, 则：半个大球面在AOB上的电势应为上式的一半。半径为R2, 电荷面密度为s2的完整均匀带电小球面在球内的电势恒定, 在球外的电势与该处到球心的距离成反比。把完整小球面在 AOB 上各点的电势表示为 U2, 则：21式中：同样，半个小球面在AOB上产生的电势是上式的一半；所以总电势为二者之和：223.带电粒子在电场中运动【第6题】处于自然长度的均匀橡皮筋

7、在伸长时服从胡克定律。橡皮筋均匀带电，其总电荷Q0，橡皮筋处于两个点电荷+q和-q的电场中。其一端用力F1拉在两电荷中点，要把另一端拉在+q右边距离L处，应该施加多大的力？23【解】处于两个点电荷场中的橡皮筋各处的电场力不相等，因此，各部分伸长量也不相等。 把橡皮筋分成n等份，每份的劲度系数为nk0,电荷量为Q/n.该单元长度为Dl，两端电场力增量为DFi,电势增量为DUi, 24根据胡克定律：25两边求和取极限，有：26【第7题】两个相同的 半径为R的球这样放置：球心相距为aR，两球均匀地带有等量异号电荷Q，质量为m，电量为qa+b), 现分别充以电压U1和U2, 然后用细金属线把它们连接起

8、来.求此时的电容.48提示设两球的电势为U1和U2, 电量为q1和q2, 然后用导线连通, 各量为 U1, U2, q1, q2联立解出q1,q2, U孤立导体的电容49【第13题】三个电容器分别有不同的电容值C1、C2、C3 现把这三个电容器组成图示的(a)、(b)、(c)、(d)四种混联电路，试论证：是否可以通过适当选择C1、C2、C3的数值，使其中某两种混联电路A、B间的等效电容相等50【解】4个混联电路A、B间的等效电容Ca、Cb、Cc、Cd分别为：51由（1）、（3）式可知：由（2）、（4）式可知由（1）、（2）式可知由（3）、（4）式可知 若Ca=Cd由（1）、（4）式可得因为、和

9、由于C1,C2和C3均大于0，上式不可能成立，因此52同理，若Cb=Cc,则有：由于C1,C2和C3均大于0，上式不可能成立，因此综合以上分析，可知这四个混联电路的等效电容没有一对是相等的53【第14题】电容分别为C1,C2,C3, , Ck的k个电容器都充电到电压为U，然后使所有电容器的异性极板串联连接起来组成闭合电路，求在这个电路里每个电容器上的电压。54【解】串联后的总电压为kU，设串联后总电容为C0：串联后的等效电容C0的极板即C1左极板和Ck右极板再短路（电压差为零）。在闭合电路中流过q的电荷量，根据电容的定义，有：相邻两个极板间流过的电量亦为q，则每个电容器上的电压变化为q/Ci,

10、 因此稳定后各电容器的电压为： 55第15题一个球形电容器由三个很薄的同心导体壳组成，它们的半径分别为a,b,d。一根绝缘细导线通过中间壳层的一个小孔把内外球壳连接起来。忽略小孔的边缘效应。求：（1）此系统的电容；（2）若在中间球壳上放置任意电量Q，确定中间球壳内外表面上的电荷分布。56解这相当于内外2个电容器并联.设内外两球壳代的电量分别为Q1和Q2, 那么a,b球的的电势差为:d,b球的的电势差为:57两电容器并联, 所以:内外两球形电容器的电容值为:58(2)内外两球形电容器的电容值为:59【第16题】两个导体相距很远，其中一个导体电荷为Q1，电势为U1，另一个导体电荷为Q2，电势为U2

11、, 电容为C的电容器原来不带电，现用极细的导线将它与两导体相连，求电容充电后的电压。60【解】设电容器充电到电压U，则极板所带的电量为CU，那么两个导体所带的电量均改变CU，两个导体最终的电量分别为：（Q1-CU),(Q2+CU).孤立带电体的电量与导体的 电势之比为常数，只与导体的几何形状，大小等有关，因此最终两导体的电势：61【第17题】一同轴圆柱型电容器，外导体筒的 内半径为2cm，内导体筒的 外半径可自由选择，两筒之间充满各向通性的电介质，电介质的击穿场强为2.0107V/m。试求该电容器所能承受的 最大电压。62【解】设内筒的内外半径分别为x、b, 内外筒所带的电量分别是l,-l，由

12、高斯定理可求得内外筒之间的电场强度为：内外筒的电势差为：最大场强在x处，介质首先要从场强最大处击穿，故有：63代入电势差式子，有：求极值，有：64【第18题】平行板电容器间距为d,极板面积为S,连接在电动势为e的电源上。带电电量为Q的平行板（大小相等）完全插入到电容器中，与其中一个极板的距离为b,求作用在该极板上的力。65【解】设各板的电量如图，则A,B极板电荷在两电容器间引起的电场强度分别为E1/2, E2/2,66所以，作用在插入板上的合力为：方向指向带负电极板。67【第19题】电容为C0的平行板电容器接入到如图的电路中，介质的相对介电常数为e的板向电容器内部运动， 通过电动势为e1的电源

13、的电流强度为恒定且其值为I，求：（1）通过电阻R1上的电流；（2）电介质运动的速度。68【解】根据基尔霍夫定律，有：电容器的电容随介质进入而增大，A,B极板电量亦等比例增大，设Dt时间内电容改变DC,则：6970【第20题】半径为R的金属球，外面包有一层相对介电常数为er=2的均匀电解质材料，内外半径分别为R1=R, R2=2R,介质球壳内均匀分布着电量为q0的自由电荷，金属球接地，求介质外表面的电势。71【解】金属球接地，U=0，设其上所带的电量为q，介质球壳内的电场强度为：介质球壳外的电场强度为：由于球壳接地，因此介质外表面到内表面的 电势差和到无限远处的电势差相等，有：72外表面的电势为

14、：73【第21题】球形导体球悬浮在er=3.0的油槽中，球的一半在油中，另一半在空气中。已知导体球所带的净电荷是Q0=2.010-6C。球的上下球面各带多少电荷？74【解】该式只有在介质充满电场所在的空间才可以用！可以理解成2个半球，均为孤立导体球，电容分别为：75静电平衡导体为等势体，2个半球电容器并联，与无限远的电势为V, 有：76极化电荷与自由电荷的关系77球面与油接触处半球面上的极化电荷是多少？空气中的 电场强度和油中的 电场那个强度分别为多大？78【第23题】一个直径为1cm、带总电量10-8C的均匀带电塑料球，用一根绝缘线悬挂起来，期底部与一个盐水溶液的水面相距1cm，小球下面的水

15、面涌起了一点。请估计水面涌起的高度？（忽略水的表面张力，取盐水的 密度为1000kg/cm3.79【解】近似认为盐水为无限大接地导体，静电感应结果使盐水表面出现总量为-Q的电荷。可以采用镜像法解题，电荷Q在P点的电场强度为（升起高度很小）镜像电荷在P点的电场与上式完全一样（大小相等，方向相同），P点的总电场为：P点的电荷密度为：80水面受到的力为：代入数据，得：h=0.29mm81四、电场的能量问题（1）两个点电荷系统1.点电荷系82相互作用能与电荷的移动次序无关。Ui表示除自身外，另一个点电荷在该处所产生的电势。能量问题总与1/2有关！83（2） N个点电荷系统把2个点电荷系统的相互作用能推

16、广到N个点电荷系统，就有：Ui表示除自身外，所有其它点电荷在该处所产生的电势，表达式为：84下标i和j对称，表示外界做功与电荷移入的次序无关。85第26题正负离子相互排成一条无穷长直线，相邻两离子间的距离是a，正负离子的电量为q，求每个离子与所有其它离子的相互作用能。解在一个正离子处，所有其它正离子产生的电势为：所有其它负离子产生的电势为：86故一个正离子处，所有其它离子所产生的电势为：于是得一个正离子与所有其它离子的相互作用能为：对负离子，由于相互作用能正比于电荷平方，故：87第27题两块无限大接地导体平面相距4x, 其间有2个点电荷(+Q,-Q), 距离其中一个板分别为x,3x. 求把这两

17、个电荷移到很远处(它们之间相距亦很远), 需要做多大的功?88所做的功等于系统的能量增加:末态:初态:U+是+Q处所有其它电荷(-Q和像电荷, 不包括+Q)产生的电势. U-同理.8990(2)求2个极板上的感应电荷. 由于中线上的电势为零, 因此由+Q发出的电力线只有一半到达左板, 而-Q发出的电力线不可能到达左板, 故左板上的感应电荷为-Q/2, 同理, 右板上的感应电荷为+Q/2.91(3)当+Q单独存在时, 两极板的感应电荷.当+Q单独存在时, 两极板感应电荷总数为-Q,设左板为-Qx, 则右板为-Q+Qx. 当-Q单独存在时, 右板为+Qx, 则左板为Q-Qx对左板, 2个都存在时的

18、感应电荷为它们单独存在时感应电荷之和:92第28题在边长为a的正六边形各顶点有固定的点电荷,它们的电量相间地为Q和-Q.求: (1)系统的电势能; (2)若外力将其中相邻的两个点电荷缓慢地移到无限远处, 其余电荷位置不变, 外力需做多少功?93解 (1)任一电荷Q所在处的电势为:由对称性, 有:系统的电势能为:94(2)余下四个点电荷系统的电势能为:无限远处一对电荷间的电势能为:做功等于系统电势的改变:得:952、带电体系统的静电能体分布电荷 把点电荷体系的相互作用能推广到连续分布的带电体系，对体分布电荷系统，有：式中U1(r)表示除re(r)DV以外，其它所有电荷在r处所产生的电势。（1）单

19、个带电体的静电能96U(r)和U1(r)的关系：设DV 为球体，半径为a，电荷密度为re，在球体内任一点产生的电势为：即re(r)DV在r处产生的电势随DV趋于零而趋于零。即U(r)和U1(r)的的差别可以忽略。97所以，静电能公式可以改写为：这就是体电荷分布的静电能公式。98面电荷分布 面电荷密度为se(r), se(r)DS在自身处产生的电势不会大于 sea/2e0, 该电势将随DS趋于零而趋于零。即U(r)和U1(r)的的差别也可以忽略。99线电荷分布 线电荷密度为le(l), le(l)Dl 在自身处产生的电势不会随r趋于零而趋于零。反而会趋于无穷大！，即U(r)和U1(r)的的差别不

20、可忽略！是否线电荷分布的静电能只能写成下列形式？否！其原因是：要把电荷从无限分散状态压缩到一条几何线上，外界要做无穷大的功！100均匀带电球壳的静电能为：均匀带电球体的静电能为：当R0时，W，如果电子被看成是点电荷，则其自能为无穷大！101【第29题】半径为R的一个雨点, 带有电量Q, 今将它打破成两个完全相同的雨滴, 并分开到很远, 静电能改变多少?解雨滴是导体, 电荷只能分布在表面, 故它的静电能为:分成2个雨滴后, 每个电量为Q/2, 半径 为:102因相距很远, 略去相互作用能, 静电能的增量为:静电能减少, 同号相斥, 分开时, 静电力对外做正功.103V2V1V3VN（2）多个带电

21、体的静电能空间的总电势可以分为两部分：Ui(r)表示除第i个带电体外所有其它带电体在r处产生的电势U(i)(r)表示第i个带电体在r处产生的电势104总静电能105电偶极子在均匀外电场中的电势能如图，正负电荷的电势能为：电偶极子在外电场中的电势能为：写成矢量形式，有：为什么没有1/2?106【第30题】一电偶极子p垂直放置在无限大接地导体前, 距离为d, 求它受到导体的作用力.107电偶极子镜象p在p处产生的电场:p的电势能为:由虚功原理:得到:1083、电容器的储能对电容器，如果每个极板的电量为Q，则：本公式仅在两极板电荷数量相同时才可以用！109【第31题】两电容器的电容为C1和C2，它们

22、分别蓄有电荷量Q1和Q2，用导线联接，求所蓄电能的损失量。C1C2KQ1Q2解未接通开关，电能为：110接通开关后，静电能为：能量损失为：111如果是异号电荷的两极板相连接，则静电能损失为：C1C2KQ1Q2112【第32题】一个单电子器件由金属层M薄绝缘层I和金属层M 构成,在经典情况下,电子不可能从一个金属穿过绝缘层到达另一个金属. 但在量子物理中,这种现象是可以发生的.1)把该器件看成是一个电容为C的电容器, 电子以隧穿的方式到达另一边, 如果隧穿引起体系的能量增加,则此过程就不会再发生, 称库仑阻塞. 求VAB=VA-VB在什么范围内单电子隧穿被禁止.2)假定VAB=0.10mV是发生

23、隧穿的电压,求电容值.3)用图1所示的器件与电压恒为V的恒压源相接,组成双结结构的器件来观察单电子隧穿,中间单金属块称单电子岛,已知岛中有-ne的净电量, n可正,可负或零, 两个MIM结的电容分别为CS和CD, 试证明双结器件中的静电能中与岛上净电荷量相关的静电能为:113解设隧穿前极板A所带的电量为Q当一个电子从A隧穿到B 后, A板的电量为Q=Q+e 隧穿禁止要求:解得:114同理, 若一个电子从B板隧穿到A板, A板的电量为Q=Q-e 同理可得隧穿不能发生的条件为:因此, 当电压为:之间时单电子隧穿不能发生,出现库仑阻塞2) 当VAB=e/2C=0.1mV时, C=8.0 10-16F

24、115如右等效图,设 Q1和Q2分别为Cs和Sd的电荷量 体系的静电能为:总电压为:解上三式,得:与岛净电荷有关1164. 能量密度117讨论: 静电场能量服从叠加原理吗?设两个带电体各自产生的电场强度为E1, E2,则:118各自的静电能相互作用能两孤立导体球的总能量为:119两导体球组成球壳:120 一个孤立系统在满足能量守恒的条件下，所经历的虚拟过程，所做的功等于系统的能量减少。五、导体受力若干问题1.虚功原理121第i个带电体，在qi不变的情况下，受力： （1）绝缘孤立带电体（q不变）或：122（2）非孤立带电体（U不变）存在外界电源，使各导体Uj不变，外电源对系统做功123所以有两组

25、的公式不同，是因为进行的虚拟过程不同，但都满足守恒律，因而其结果是相同的。124125126【第34题】一平行板电容器两极板的面积都是S，相距为d，中间有一块厚度为t，介电常数为er的平行介质平板，接通开关，使电容器充电到电压为U，略去边缘效应。（1）断开电源，把介质板抽出，试问需要做多少功？（2）如果在不断开电源的情况下抽出介质板，则需做多少功？解（1）断开电源，电容器两极板的电荷总量Q不变,介质板未抽出时, 其电场强度为： tdt127电容器的储存的能量为：电势差为：电容为：128电介质抽出后，电容器的电容为：这时电容器的储存的能量为129电介质抽出后，电容器所储存的静电能量的增量为：13

26、0 DW0表示抽出介质板后，电容器储存的能量增加了，这部分能量来自于抽出介质板时外力所做的功，故在断开电源的条件下，抽出介质板时外力所做的功为：131（2）不断开电源，两极板间的电势差U不变，抽出电介质后电容器的电荷量为：故抽出电介质后，电容器的电荷增量为：132DQ0表示抽出介质时，有电荷从电容器流向电源，因此，也就伴有相应的能量DWB从电容器流向电源:抽出介质后，电容器所储存的能量增量为：133DW0表示抽出介质板后，系统的能量增加了，所增加的能量来自于抽出介质板时外力所做的功，故在不断开电源的条件下，抽出介质板时外力所做的功为：134135平行板电容器2. 导体表面作用力136单位面积上的力为： 该力的方向总是从导体向外，即每个带电导