D连续性间断点[]

1、二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性1. 1. 函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.连续的定义连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如如果当自变量的增量果

2、当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函对应的函数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点. .,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是可见 , 函数)(xf在点0 x函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 x

3、f(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上连续 .( 有理整函数 )又如又如, 有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续.在闭区间,ba上的连续函数的集合记作只要,0)(0 xQ都

4、有)()(lim00 xRxRxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明函数xysin在),(内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx这说明xysin在),(内连续 .同样可证: 函数xycos在),(内连续 .0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不

5、左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf3.3.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, ,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数, ,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续. .,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .例如例如, ,.),(内是连续的内是连续的有理函数

6、在区间有理函数在区间二、二、 函数的间断点函数的间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyoxy112xy 1xy2 oxyxy1sin 在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类间断点分类: :第

7、一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 xytan) 1 (2x为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 1

8、(1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 o1x2x3xyx xfy 内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结

9、束 思考与练习思考与练习1. 讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.2. 设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa03. P64 题 2 , P65 题 5)(xf为连续函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,P65 题题5 提示提示:xxxfsin1sin1)() 1 ()()2(xf有理点x,1无理点x,1)()3(xf有理点x,x无理点x,xxyo11xyo第九节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 确定函数间断点的类型.xxexf111)(解解: 间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点;,