第07讲-随机变量及其分布函数、离散型随机变量的分布律

1、第第0707讲讲随机变量及其分布函数、离随机变量及其分布函数、离散型随机变量的分布律散型随机变量的分布律 2.1.1 随机变量随机变量 为了全面研究随机试验的结果，揭示随机现象的为了全面研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，就要用数学分析的方法来研究，统计规律性，就要用数学分析的方法来研究， 因此为因此为了便于数学上的推导和计算，就需将随机事件的结果了便于数学上的推导和计算，就需将随机事件的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化当把一与实数对应起来，将随机试验的结果数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起就建立起了随机变量的

2、概念了随机变量的概念有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 七月份郑州的最高温度；七月份郑州的最高温度；每天从西安下火车的人数；每天从西安下火车的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，也就是说，把试验结把试验结果数值化果数值化. 正如裁判员在运动场上正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫不叫运动员的名字而叫号码一样

3、，二者建立了号码一样，二者建立了一种对应关系一种对应关系. 实例实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观观察摸出球的颜色察摸出球的颜色.S=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 S 数量化数量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S红色红色白色白色)(eXR10即有即有 X (红色红色)=1 , ., 0, 1)(白白色色红红色色eeeXX (白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 S=红色，白色红色，白色 数量化了数量化了.实例实例2 抛掷骰子抛掷骰子,观察出现的点数观察出现的点数., 3)3(, 2)2(, 1)1( XXX, 6)6(,

4、5)5(, 4)4( XXX).6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1(,61 iiXPS=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有且有eeX )(则有则有定义定义2.12.1 设随机试验设随机试验E的样本空间为的样本空间为S=e ，X=X(e)是定义在样本空间是定义在样本空间S上的实值单值函数，对于任上的实值单值函数，对于任何实数何实数X X，集合，集合 e| X(e ) X X 有确定的概率，称有确定的概率，称 X=X(e)为为随机变量随机变量. . 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等.

5、随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于由于试验的各个结果的出现具有一定的概率试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量因此随机变量的取值也有一定的概率规律的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质但它与普通的函数有着本质的差别的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定而随机变量是定义在样本空间上的义在

6、样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数样本空间的元素不一定是实数).说明说明(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内内.或者说或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机现象随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为

7、止直到击中目标为止,则则,)(所所需需射射击击次次数数 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:., 3, 2, 1实例实例4 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过分钟有一辆汽车通过, 如如果某人到达该车站的时刻是随机的果某人到达该车站的时刻是随机的, 则则,)(此此人人的的等等车车时时间间 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可的所有可能取值为能取值为:.5 , 01.分布函数的定义分布函数的定义说明说明,( ).XxF xP XxX设是一个随机变量是任意实数 函数称为 的分布函数2.1.2 随机变量的分布函

8、数随机变量的分布函数定义定义2.2实例实例5 5 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, 令令 ., 0, 1出出反反面面出出正正面面X求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0时时当当 x;0 0)( xXPxF 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得2 01( )( ),(, );F xx 且有且有0()lim( ),xFF x 1()lim( );xFF x 0003( ) lim( )(),().xxF xF x

9、x 即分布函数是右连续的即分布函数是右连续的 2. 2.分布函数的性质分布函数的性质 即即 是一个不减函数是一个不减函数( )F x12121 ( )()(),();F xF xxx重要公式重要公式),()()1(aFbFbXaP ).(1)2(aFaXP 例例1 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为解解：由分布函数的性质，我们有：由分布函数的性质，我们有( )arctanF xABxx 求常数求常数A、B。 0limlimarctanxxF xABx2AB 1limlimxxF xABarctgx2AB解方程组解方程组1202BABA得解得解，121BA1.1.分布律的定义分布

10、律的定义定义定义2.32.3 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 所有可能的取值为所有可能的取值为 ，X 取各个可能值得概率，即事件取各个可能值得概率，即事件 的概率，为的概率，为 称此为离散型随机变量称此为离散型随机变量 X 的分布律。的分布律。1 2(, ,)kxk kXx1 2, ,kkP Xxpk2.2.1 2.2.1 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律 分布律也可以用表格的形式来表示分布律也可以用表格的形式来表示;, 2 , 1, 0)1( kpk X概率概率12kxxx12kppp离散型随机变量离散型随机变量 X 的分布律具有以下性质：的分布律具有以下性质： . 1)2

11、(1 kkp(3) (3) 离散型随机变量的分布律与分布函数的关系：离散型随机变量的分布律与分布函数的关系：离散型随即变量离散型随即变量X的分布函数的分布函数( )kkkkxxxxF xP XxP Xxpkxx这里和式是对所有满足这里和式是对所有满足 的的k求和。求和。反之，若已知离散型随即变量反之，若已知离散型随即变量X X的分布函数的分布函数F(x),则其分布律为：则其分布律为：1111(),()(),kkkpF xpF xF xk例例2 2 设离散型随机变量设离散型随机变量 X的分布律如下，求的分布律如下，求a的值。的值。1 2(, , ,)!kaP Xxknk111!kkaakk解：解

12、：由归一性，我们有由归一性，我们有 ，而，而11!kak则有等式则有等式a( e- -1 1)=1, 1, 解得解得 a =1/(=1/(e -1)-1)011!kak1()a e例例3 3 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以每盏信号灯以 概率概率p允许或禁止汽车通过允许或禁止汽车通过. 以以 X 表示汽表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布的分布律律. (信号灯的工作是相互独立的信号灯的工作是相互独立的).PX=3=(1-p)3p解：解： 以以 p 表示每盏信号灯

13、禁止汽车通过的概率，则表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：的分布律为：Xpk 0 1 2 3 4 p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 或写成或写成 PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4 例例4 设一求职者在应聘某一工作岗位时需先经过两次设一求职者在应聘某一工作岗位时需先经过两次测试，每次测试以测试，每次测试以1/2的概率允许或阻止其通过以的概率允许或阻止其通过以X表示求职者首次被淘汰时，他已通过的测试次数表示求职者首次被淘汰时，他已通过的测试次数(设设各次测试是相互独立的各次测试是相互独立的)，求，求X的分布律与分布函数的分布律与分布函数解解 以