函数的求导法则2PPT学习教案

1、会计学1函数的求导法则函数的求导法则2基本导数公式：基本导数公式：xxcos)(sin .sec)(tan2xx .tansec)(secxxx .11)(arcsin2xx ;11)(arctan2xx xxsin)(cos .csc)(cot2xx .cotcsc)(cscxxx .11)cot(2xxarc .11)(arccos2xx 1)( xx1)( nnnxx0)( caaaxxln)( xxee )(axxaln1)(log xx1)(ln 第1页/共24页例例).(|,2ln2|ln)(23xfxxxf 求求设设解解)2ln2(2ln21)(2323 xxxxxf2ln243

2、232 xxxx第2页/共24页定义定义: :.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题: 隐函数不易显化或不能显化时隐函数不易显化或不能显化时如何求导如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.一、隐函数的求导方法一、隐函数的求导方法第四节第四节 函数的求导法则（函数的求导法则（II） - 隐函数的求导方法隐函数的求导方法第3页/共24页例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的

3、导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解得得的函数的函数为为并视并视求导求导方程两边对方程两边对,xyx0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 第4页/共24页例例2 2.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为

4、)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.第5页/共24页例例3 3.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxy第6页/共24页观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数

5、, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu二、对数求导法二、对数求导法第7页/共24页例例4 4解解142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设第8页/共24页例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得

6、xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx )ln(sin)()(sinlnsinsin xxxexxxxx)sinln(cossinxxxxxx 第9页/共24页实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax .,很小时可忽略很小时

7、可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0一、问题的提出一、问题的提出第五节第五节 函数的微分函数的微分第10页/共24页再再例如例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这样的线性函数这样的线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分) 是否所有函数的改变量都

8、有呢是否所有函数的改变量都有呢? 它是什么它是什么? 如何求如何求?第11页/共24页定义定义二、微分的定义二、微分的定义)()(00 xfxxfy 设设),( xoxAy 若若,无关的常数无关的常数是与是与其中其中xA ),()(0分分处可微处可微在在则称则称xxf,)(0处的微分处的微分在在称为称为xxfxA ).(|00 xdfdyxx或或记作记作 .)(|00 xAxdfdyxx 即即第12页/共24页).(.0 xfA 可微可微可导可导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数第13页/共24页例例

9、1 1解解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdy第14页/共24页dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxx

10、xdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cot sec)(tansin)(cos cos)(sin)( 0)(221 五、微分的求法五、微分的求法第15页/共24页dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCud

11、dvduvud 第16页/共24页例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 第17页/共24页例例3 3解解.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 第18页/共24页思考思考题：题： 因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在0 x的的可可微微性性与与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分分就就是是导导数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？第19页/共24页思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性