第三章 阶跃与渐变折射率光纤的波动理论分析—3

1、3. 1.4弱波导条件下本征方程的近似解与线性极化(LP)模 以上所述是在严格求解矢量亥姆霍兹方程并满足边界条件而得到的精确解，即从标量亥姆霍兹方程人手求解出 、 ，再通过场的横向分量与纵向分量的关系求出其他各横向分量，这种方法称为“矢量解法”，它是严格的。但遗憾的是，这种矢量解法对于具有6个分量的混合模场计算分析，在数学上很复杂;且对实际应用于光通信等的光纤，为避免纤芯过细难于祸合与对接，要求纤芯材料折射率略高于包层，即光纤芯与包层间的相对折射率差 ，满足“弱波导”条件。zEzH1在此条件下，可对本征方程取近似，从而获得阶跃光纤中传输模式的近似解，进而对这种近似的模解LP模进行分析。弱波导条

2、件下的这种近似解法称为“标量解法”。1.弱波导近似条件下的本征方程由前述讨论，精确解的本征方程(3. 99)式及其简化形式(3.124)式分别为(1)(1)221(1)(1)221222()()()()()()()()(1)ntnntntntntntntJaHj aJaHj aaaj aj aJaHj aJaHj akn()()()()0JHJHJHJH为方便尔后的简化分析，并取较通用的表示形式，需对上述本征方程做变换，并令222101222202ttuak naaak n a（3.140）（3.141）称上式中的 为纤芯中归一化横向传输常数(或归一化横向相位常数); 为包层中归一化横向传输常

3、数(或归一化横向衰减常数)。u 将本征方程(3. 99)式中的宗量 以 取代;第一类汉克尔函数 以第二类修正贝塞尔函数 取代参见(3. 75)式，宗量 以 取代。经过宗量置换及相关变换可得到与(3. 99)式完全等价的如下精确解本征方程形式:tau(1)()nHj a()ntKata122122222( )( )( )( )( )( )( )( )1111nnnnnnnnJuKwJuKwuJuwKwuJuwKwnuwuw（+）(+)（3.142）研究 、 与光纤归一化频率V之间的关系可以得到u2222222222010222222222012120()()2()() ()uwk nak n a

4、aknn annV（3.143）在弱波导近似的条件下，应有 ， ，因而(3. 142)式可以简化为12nn1222( )( )11()( )( )nnnnJuKwnuJuwKwuw +(0,1,2,3,n ）（3.144）对上述一般式分别讨论其各种模所对应的本征方程形式。 n=0,TE模与TM模的解近似地一致，可视为两者具有相同的本征方程:0000( )( )0( )( )J uKwuJ uwKw（3.145）为去掉贝塞尔函数的微分形式，利用贝塞尔函数的递推公式(3. 103)式 ，变换改写上式应有01ZZ 0011( )( )=-( )( )uJuwKwJ uK w（3.146）当模截止时，

5、 ，经推导变换(略)上式右端 ，因而应有( )0 001( )=0( )uJ uJ u（3.147）由此得到TE模( )、TM模( )在模截止时的本征方程为0TE0TM0( )0J u （3.148）因而 的根应分别为2.4048 , 5.5201,8.6537，它们分别对应于 ， ， ，等各组模的截止频率。0( )J u0101TETM0202TETM0303TETM ，则(3.144)式右端的“+”、“一”号分别对应于混合模的EH模( ),HE模( )。其中:0n nEHnHE(a) EH模( )的本征方程应为nEH22( )( )11( )( )nnnnJuKwnuJuwKwuw (+)

6、（3.149）利用贝塞尔函数的递推公式并经变换(详略)，得到变换后EH模的本征方程形式:11( )( )=-( )( )nnnnuJuwKwJuKw（3.150）当模截止，即 ( )时，经推导证明上式右端 ，即有0001( )=0( )nnuJuJu（3.151）因而，得到模截止时 模的本征方程为nEH( )0nJu （3.152）( )0nJu 的各根对应各 模的截止频率，但应注意排除取零根。nEH(b) HE模( )的本征方程应为nHE22( )( )11( )( )nnnnJuKwnuJuwKwuw (+)（3.153）同样利用贝塞尔函数递推公式并经变换(略)，可以得到如下HE模的本征方

7、程式:11( )( )=( )( )nnnnuJuwKwJuKw（3.154）对上式做进一步变换计算后，可以得到如下形式的HE模本征方程:2211( )( )=-( )( )nnnnuJuwKwJuKw（3.155）比较TE模、TM模(n=0)和EH模、HE模三者的本征方程(3. 146)式、(3. 150)式和(3. 155)式可以看出，三式在形式上具有明显的相似性。为了便于获得一个能统一概括上述三种情况所包含的全部模式的表达式，引入一个新的参量m取代原来的n值，并定义m满足下式关系:111mnn(对TE模与TM模) (对EH模) (对HE模)（3.156）这样，即可将(3. 146)式、(

8、3. 150)式和(3. 155)式三式统一表示为下式:11( )( )(0,1,2,3,)( )( )mmmmuJuwKwmJuKw （3.157） 上式表明，在弱波导近似的条件下，可以获得能概括所有模的本征方程的统一表达式，即可以用一个统一的本征方程来概括、表示具有共同参数 (以及根序号 )的全部模式，亦即可以表示具有同一(近似)传输常数的模。我们称这类近似同一的模为LP模，表为 。分析表明，近似的本征方程(3.157)式比精确的本征方程(3. 99)式更便于得到传输常数( )的解。应该注意的是，在式(3. 157)式中，当贝塞尔函数的阶数为负值时，应利用如下的关系式将阶数变换为正值:mm

9、LP( 1)nnnJJ nnKK（3.158）（3.159） 例如，对 模，n=1，则根据(3. 156)式中式，应有m=0，因而 。为此，利用(3. 158)式与(3. 159)式，应有 , ，将其代入(3. 157)式，则得到 模的本征方程表达式为1HE10m 11JJ 11KK1HE1100( )( )( )( )uJ uwK wJ uKw （3.160）为了清晰起见，将各种模所对应的本征方程列于表3.4中。表表3. 4各种模对应的本征方程形式各种模对应的本征方程形式统一表征为 模。 2.线性极化(偏振)模LP模 在弱波导近似( )条件下所得到的这种近似模LP模的分析概念，是由D.Glo

10、gy于1971年提出的，它反映的是光纤中传输模式的近似解。LP模的英文定义为Linearly Polarized Mode，意即线性偏振模或线性极化模。它表示弱波导光纤中存在的模式可以视为是线偏振波。提出这种称谓的含义是，从分析的简便性出发，对光纤中存在的模式，可以暂不考虑按矢量解法中精确本征方程解得到的TE、TM、EH和HE模来区分;而只注意各模的传输常数，传输常数相等的简并模即取同一的模式名称，并按参数 、1 mmLP对于这种弱波导条件下，采用标量近似解法得到的 模，又可称之为“标量模”。mLP(1)LP模的截止方程、模分布规律及简并 为了分析得到线性偏振模的截止方程，需以 ， 即作为导波

11、截止的条件。00由 模的本征方程(3. 157)式 ，当模截止、 时，可利用 的如下渐近公式代入(3. 157)式右端:mLP11( )( )( )( )mmmmuJuwKwJuKw 0( )mK12( )( )mmmmK（3.161）则有22111002(1)( )02( )( )2limlimmmmmmmmwKwmKwm（3.162）因而1( )0( )mmuJuJu（3.163）最终获得如下统一而简洁的截止方程形式:1( )0(0,1,2,mJum)（3.164）上式表明， 模的归一化截止频率可由 的各零点来确定，如图3. 13所示(图中仅画出 和 两个m值所决定的低阶模排列情况)。mL

12、P1( )mJu0m 1m 图图3. 13各阶各阶 模的分布规律模的分布规律mLP 应该注意的是，在传导模截止时，若记截止的包层中归一化横向衰减常数为 ，且 (因为 );相应的芯中归一化横向传输常数为 ，归一化频率为 ，则由(3. 143)式应有c0cucV2222ccccVuu（3.165）因而有 。即如求出 ，则确定了 ，从而决定了各模式的具体截止条件。ccVucucV利用(3. 164)式及图3. 13则可确定各阶 模的根 值。mLPcuc=0若m=0，则由 ，可解出由 曲线各零点决定的根为11()()0ccJuJ u 1J10,3.8317,7.0160,10.135,cuu它们分别对

13、应的各 模为:0LP01020304,LPLPLPLP 相应的精确矢量模 为:1HE11121314,HEHEHEHE , 注意，在 模中可取 的解，因 可使(3. 162)式成立，该模即为基模 。0LP0cu 1(0) 1J11HE(2)若m=1，则有 ，由 曲线各零点决定的根为0()0cJ u0J02.4048,5.5201,8.6537,cuu它们分别对应的各 模为:1LP111213,LPLPLP ,相应的各精确矢量模为:212223010203010203,HEHEHETETETETMTMTM,，(3)对 ，则有 ，则由 曲线各零点决定的根为，其对应的各线性偏振模 模为( )，相应的

14、精确矢量模包括 。m21()0mcJu1mJ,mLP12,LPLP,1,1,mmEHHE模模 综上所述，全部 模的u值是在m-1阶贝塞尔函数的第 个根和m阶贝塞尔函数的第 个根之间变化的。在归纳上述规律的基础上，将LP模的命名法同原有矢量模命名法之间的对应关系及相应的本征方程与简并度，列于表3. 5 .mLP表3. 6列出截止频率从低向高按序排列的10个 低阶 模与原矢量模的对应关系。mLP表表3. 5 LP模与矢量模命名的对应关系及相应的本征方程与简并度模与矢量模命名的对应关系及相应的本征方程与简并度mLP表表3. 6前前10个个 低阶模与原矢量模的对应关系低阶模与原矢量模的对应关系mLP

15、总结上述LP模的分布规律可以看出，凡具有同一m值的模群，它们都近似地满足相同的本征方程，具有相同或近似相同的传输常数和群速，并可以由一个特定的 表征。LP模的这种现象，本质上是由于相位常数近似相同的模群，其相位常数发生近似的简并。mLP 应该指出，每一个 或 都具有两个不同的偏振方向，亦即可视为具有以 和 所表示的两个独立分量(例如对n=1，具有垂直偏振波分量和水平偏振波分量);而对于TE模和TM模，由于它们都是轴对称的，因而不发生偏振波方向的简并。nEHnHEcosnsinn因此，可以看出，对m= 0 , 模由 模得到，其简并度为2;而对m=1 , 模由 , 和 模的线性组合得到，其简并度为

16、4;对m= 2 , 模由 模和 模的线性组合得到，其简并度亦为4;.。以此类推， 模由 与 模的线性组合得到。因而，除m=0( 模)是按2:1发生简并外，其余 时 模一律按4:1发生简并。0LP1HE1LP0TE0TM2HE2LP1EH3HEmLP1,mEH1,mHE1HE1mmLP 还要注意的是，LP模的概念虽然在实用上非常有用且方便，但这种模并不是光纤中存在的真实模式，光纤中并不存在LP模的实际场分布。它只是在弱波导条件下人们为简化分析而提出的一种概念与分析方法，因此只对满足“弱波导近似”的条件才有效;对不满足这种近似条件的情况，近似的标量波动方程将成为矢量波动方程，而上述简并了的传输常数

17、也将分开。图3. 14给出了纤芯中 模的四种不同的横向电场分布形式(四重简并)。11LP(2) 模序号的物理意义、LP模的特点及色散曲线mLP图图3. 14 模的横向电场分量模的横向电场分量(四重简并四重简并)11LP 模序号的物理意义。 模的模序号有明确的物理意义。其中，圆周方向模的序号m是贝塞尔函数的阶数，它确定了 方向电(磁)场量的分布规律，即变化的周期数。由于电磁场量在圆周方向按余弦规律即 变化，因而，当 从 变化一周时，场量的变化将出现m对(2m个)极大值和m对零点。因此，模序号m即表示沿圆周方向旋转观察时，场量变化出现极大值或零点的对数;而(根)序号 则是表征纤芯中沿半径r方向电磁

18、场变化出现极值(波峰和波谷)的次数。mLPcosm0 2由于沿半径方向场量是按贝塞尔函数的振荡规律变化，贝塞尔函数 ( )属于伪周期函数，对同一个m值按 ，可以求得无限多个模解。总之， 模的表示法中，贝塞尔函数的阶数m与根的序号 均有明确的物理意义，它们可以表征对应模式的场量在光纤横截面上的分布规律。( )mJx( )nJx1 ,2,3 ,mLPLP模的特点分析。由于 模在光纤芯中的横向电场其在沿圆周及半径方向的分布规律分别为mLP( )cos( )( )()jmtmeR rJr 或 若m=0，即以 模为例。当m=0，则 。表明电场强度在圆周方向无变化，也即电场在圆周方向出现极大值的个数为零，

19、场分量在光纤中呈轴对称分布;而在半径方向，场量按零阶贝塞尔函数规律变化。其中:0LP( )cos01 若 ，即对 模，应有 处， ;而在 处， 。即 模沿r方向的变化有一极大值，如图3.15 (a)所示。101LP0tur( )1R r 2.4048tur0( )(2.4048)0R rJ01LP 若 ，即对 模，同样应有 处， ;而在 处， ;在 处， 。即 模沿r方向的变化规律除r=0处有一极大值外，在 及其对称区域之间还各出现一次极大值，如图3. 15(b)所示。202LP0tur( )1R r 0.4357ra0( )(2.4048)0R rJra0( )(5.5208)0R rJ02

20、LP0.4357ara( a ) 模模01LP( b ) 模模图图3. 15 模场沿半径方向的变化模场沿半径方向的变化0LP02LP 类似的方法可以分析 模在光纤横截面上场量(强度)的分布规律。总之，可以认为m和 决定了相应模式在光纤横截面上的场分布。mLP 对比精确解的矢量模与近似解的标量模( )可以看到:以混合模为例，对矢量模，在原来序号n的形式下，同一序号n对应于HE、EH两种混合模、6个场分量(其中2个纵向分量，4个横向分量)，这两种模具有略有差异而近于相同的传播常数 ;而对LP模(标量模)，在新的序号m的形式下，可以视为同一序号m对应于一种新的模 模，称为线性偏振模，这种模只有4个场

21、分量，除去2个纵向分量外，只有2个横向分量(分别为电场和磁场), mLPmLP 模可以视为由具有同一m值的 模与 模线性叠加得到，它们具有相同的传播常数。因而对 模，当m=0时，即 模(对应于 模)为按2:1发生简并;而在 时，各 模一律按4:1发生简并。可以定义这类不同本征函数的传输常数(或称本征值)视为相等的情况为“简并”。相互简并的本征函数经线性祸合后可以形成新的本征函数，因而可视为在横截面内某方向形成线偏振模，即称为LP模。,mLP1,mEH1,mHE,mLP0LP1HE1m mLP 从光线角度分析，由于弱波导光纤 即 ，因而芯包层界面上的全反射临界角 。当在光纤中形成传导波时，要求射

22、线在芯包界面上的投射角 ，因而光射线是以与光轴几乎平行的方向前进的。这样的标量波类似于横电磁波(TEM波)。其特点是:由于电磁场是与波矢量垂直的，因而其横向场与光纤轴线近乎垂直，这种模的横向场分量占优势，纵向场分量 , 极小;由于横向场分量是线偏振的，且芯与包层界面不影响场的偏振态改变，因而总可选取直角坐标系，使x，y轴的取向与场的横向分量重合，则场的横向分量将只存在 或 分量。1 211nn21arcsin()2cnnczEzHxExH (3)LP模的色散曲线 为了描述LP模各模式的传输特性，应找出 的变化关系。为了通用，采用归一化传输常数(相位常数) ，其定义为Vb222202022222

23、012012()()k nk nbVknnk nn（3.166）传导模归一化传播常数的取值范围为 。01b进而导出以b表示 的关系式，由上式变化应有(考虑弱波导近似)2221 20212222 1 2021221 20202120112() 1 ()12() () k nnn bk nnn b nk nbk nnn bk nnn b （3.167）上式表明，在弱波导光纤中 与b成正比。 图3. 16给出了反映 关系的 曲线，又称LP模的色散曲线。可以看出，每个模式对应一曲线，b在01范围内变化。当导波截止时，b=o;远离截止时，b=1。VbV图图3. 16阶跃光纤中阶跃光纤中LP模的色散曲线模

24、的色散曲线 由图可见，若已知V，则由曲线可求得各模式的b值，进而由(3. 167)式可计算出相应的 值。 曲线对所有的阶跃光纤均适用。bV3. 1.5阶跃光纤中各种模的电磁场与光功率分布、模数估算1.光纤中各种模的电磁场分布 根据所求出的各种模式的场分量，以及对各种模的电力线与磁力线形状的计算结果，可以画出阶跃光纤横截面( )与纵截面内以不同形状电力线与磁力线所表示的电磁场分布图。r图3. 17中根据计算结果画出了 模( 模)、 模( 模、 模、 模)、 模( 模、 模)等几个低阶模的电磁场分布示意图。01LP11HE11LP01TE01TM21HE21LP11EH31HE由图可见，即使属于同

25、一个LP模，但TE模、TM模、HE模、EH模的电力线与磁力线的形状彼此全不相同。另外， 模( 模)是线偏振模;而 ( )模、 ( )模均与辐角 无关，是一种径向对称模。但在一般情况下，所得到的电磁场分布图是一种复杂的混合形式。还应指出，图3. 17中所画出的是纤芯中的场形图，实际上包层中也有电磁场分布，只不过包层中的电磁场迅速衰减。11HE1HE01TE0TE01TM0TM 图3. 18示出了由 , , 三种模的电磁场分布叠加后形成的 偏振模的4种简并模中之两种简并模。01TE01TM21HE11LP2. LP模的模功率分布 光波在光纤中传输时，在纤芯与包层中均有电磁场存在并沿光纤轴向传输。因

26、此，研究分析被束缚在纤芯中以及包层中各种模的光功率分布及其百分比具有重要意义。光纤中传输的导波(传导模)其能量的大部分在纤芯中传输，小部分则在包层中传输。某一模式在纤芯中与包层中光功率分布所占比例的大小与该模式的归一化截止频率有关。当V值很大即远离截止时，传导模的能量被聚集束缚在纤芯中;而当 ，即模截止时，传导模的能量大部分进入包层，并成为辐射模。cVV(a) ( )模模11HE01LP模(b) 模模01TE(c) 模模01TM(d) 模模21HE(e) 模模11EH(f) 模模31HE图图3. 17纤芯内几个低阶模电磁场分布示意图纤芯内几个低阶模电磁场分布示意图(实线表电力线实线表电力线.虚

27、线表虚线表磁力线磁力线, )2g (a) 模与模与 模的叠加模的叠加01TE21HE(b) 模与模与 模的叠加模的叠加01TM21HE图图3.18 模叠加形成的两种简并模模叠加形成的两种简并模(共共4种种)11LP 通过LP模的场分量来计算各传导模在纤芯中和包层中的光功率分布比较方便，由此可以看出各模式光能量在纤芯中集中的程度。计算的方法是，将沿轴线方向的坡印廷矢量分别在纤芯和包层的横截面上进行积分，即可求出各导模在纤芯中传输的功率 和在包层中传输的功率 的计算公式:iPoP222*111200 0( )( )1124( )ammiyxmJu JunaAPE H rd drzJu （3.168

28、）222*112200 0( )( )1124( )mmoyxmKKnaAPE H rd drzK （3.169）式中， 为 的共扼量; 与 的计算方法相同，但r的积分限不同;另外， 为自由波阻抗， 可近似取代， ， 。*xHxHiPoP000z12nn12( )( )mmAA JuA K2,01,0mm若该模式在光纤中传输的总功率 以表示，应有tP0tiPPP（3.170） 为了反映模能量在纤芯中集中的程度，引进功率因子的概念。定义 模在纤芯中传输的功率 与总功率 之比为功率因子，表示为 。 又称为波导效率，可表示为下式:mLPiPtPmm222222221111( )( )11( )( )( )( )immmtmmmmPJuKuPVJu JuVKK（3.171）由上式可以看出，当远离截止即V值很大时， ， ，因而有 。表明远离截止状态时，传导模能量集中在纤芯中传输;在模截止状态下，当m=0,1时，应有 。( )0mJu V1m0m而当m1时， 。上述分析表明，对m=0,1的低阶模