有限元试题及答案实用教案

1、会计学1有限元试题有限元试题(sht)及答案及答案第一页，共27页。22. （20分）回答(hud)问题：（1）有限单元(dnyun)的形函数 N具有什么(shn me)特征？（2）为了保证有限元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？（3）弹性力学有限元中，平面等参数单元中的“等参数”概念是何意思？ 该单元在跨相邻单元时，位移场连续吗？ 应力场连续吗？答： 1）其中的 iN在 i结点处取值为1；在其他结点处取值为零 0iN； 1iN。 2）位移模式必须能反映单元的刚体位移； 位移模式必须能反映单元的常量应变； 位移模式尽可能反映单元之间位移的连续性。第1页/共27页第二页，共27页。33）在

2、有限单元(dnyun)法中最普遍采用的是等参变换，即单元(dnyun)几何形状的变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数进行变换。采用等参变换的单元称之为等参元。所谓“等参元”是指几何形状(xngzhun)插值形函数和单元上的位移插值形函数相同，参数个数相等。相邻等参元之间，位移场是连续的，应力场不连续。3. （10分）图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格(wn ) 划分如图，试求： （1）对图中网格(wn )进行结点编号，并使其系统总刚度矩阵的带 宽最小； （2）计算在你的结点编号下的系统刚度矩阵的半带宽； （3）给出约束节点自由度的已知位移信息。第2页/共27页

3、第三页，共27页。4题3 图p87625431912354678910题3图. 三角形结构网 格xy（2） 10) 1(2, 4dMdB（3） 041uu； 041vv解：解：第3页/共27页第四页，共27页。51315762543191211151410题3图答： （2） d=4 , B=2(d+1)=10 (3) 0151151vvuu第4页/共27页第五页，共27页。64. （7分）弹性力学(l xu)空间轴对称问题的有限元计算列式与平面问题(wnt)的有限元计算列式的主要相似之处？答：答： 相似之处是：均是二维问题，单元自由度数相同相似之处是：均是二维问题，单元自由度数相同(xin t

4、n)，如他们的，如他们的三角形3节点单元位移模式相同；区别之处是：平面问题应力和应变分量是3个，空间轴对称问题应力和应变分量是4个；求解刚度矩阵和等效结点力的积分，平面问题是在有厚度的单元平面上积分，而轴对称问题是在整个环体上积分。即平面单元指有厚度的面，轴对称单元指一个轴对称的旋转体。第5页/共27页第六页，共27页。75. （8分）结构(jigu)振动问题有限元离散的无阻尼自由振动方程为0MK2)( 式中 nnK是刚度(n d)矩阵， nnM是质量(zhling)矩阵， 是结构固有频率， 是振型向量。 试问为什么从上式求出的特征对 ( ni, 2, 1)中，只有前若干低阶频率和相应振型是可

5、靠的，误差较小。答：在有限单元法中，采用低阶多项式拟合振型。结构的低阶振型曲线与低阶多项式比较通配，结构的高阶振型曲线与低阶多项式曲线有着显著的差异。因而，有限元法中求出的低阶频率和振型是可信的，而所求出的高阶频率和振型误差较大，甚至无效。第6页/共27页第七页，共27页。86 (20分)图示一维阶梯形杆，已知截面积参数(cnsh) A，长度(chngd) l2，质量(zhling)密度 ，弹性模量 E。仅考虑沿轴向振动，采用2个杆单元，结点和单元编号见图。 试求： （1）阶梯形杆轴向振动的整体一致质量矩阵和刚度矩阵； （2）引入已知位移，求系统振动的固有频率。题6图1l321lAA 23uA

6、A2122u1u解： （1）单元的一致质量矩阵和 刚阵第7页/共27页第八页，共27页。9 2112621lm 211262lm 111121lEk 11112lEk 整体一致质量(zhling)矩阵和刚阵2101620246lM 110132022lEK 第8页/共27页第九页，共27页。102） 因为节点(ji din)3固结， 03u； 在 0 MK 中划去第3行和第3列，系统(xtng)振动的特征方程(fngchng)为： 0622463222AllAEMK 令 El32 ， 2 则上式展开为 02165)2()1 (6332222222 第9页/共27页第十页，共27页。110216

7、52 ； 223lE解得：1303. 056381 22116252. 03lElE 07. 356382 22220346. 33lElE 第10页/共27页第十一页，共27页。127. (25分)图示等腰直三角形薄板和一根(y n)杆件相铰连。三角板厚度 mh1 . 0，边长 ma1， 01, 0EE ( 0E已知)，受集中力 p作用(zuyng)。杆件沿 y轴方向(fngxing)，长为 ma1，截面积 201. 0mA ， 02EE 。载荷及约束信息如图示，自重不计。试采用图示的1个三角形常应变元和1个平面杆元求：（1）结构整体的等效结点力列阵；（2）采用划行划列法引入已知结 点位移，

8、计算出结点1和2的 位移；（3）杆件中内力。4题7图321yxaP12aa i j m单元2： 1 3 2单元1： 2 4第11页/共27页第十二页，共27页。13解：（1）结构整体(zhngt)等效结点力结点结点(ji din) 1 2 3 4pT）（00001001F（2）长度(chngd)因子： a略写 单元1： 1, 1, 0, 5 . 0mjmjibbyyb 0, 1, 1mjmjiccxxc1005 . 020hEiik105 . 05 . 020hEijk005 . 0020hEimk第12页/共27页第十三页，共27页。145 . 15 . 05 . 05 . 120hEjjk

9、5 . 005 . 0120hEjmk5 . 000120hEmmk5 . 005 . 05 . 005 . 00101005 . 005 . 15 . 015 . 05 . 015 . 05 . 105 . 00010105 . 005 . 05 . 005 . 0201haEk231 1 3 2第13页/共27页第十四页，共27页。15 2 4 42101000001010000002aAEk0001. 0EaAE0005. 02EhaE， 已知： 0441332vuvvuu第14页/共27页第十五页，共27页。16组装(z zhun)单元，有112 . 05 . 05 . 05 . 05

10、 . 005. 0210pvuE 解得：解得： 02200Epv01240Epu ， 第15页/共27页第十六页，共27页。17（3） 杆中内力杆中内力(nil)：ppvvaAEvuvuaAEKFFFFyxyx202000101000001010000022044220114422 pN22（拉力（拉力(ll)） 。(完完) 第16页/共27页第十七页，共27页。18第17页/共27页第十八页，共27页。练习练习(linx)：已知：已知m、EI、a、求支座反力。、求支座反力。写出整体写出整体(zhngt)刚度方程即可刚度方程即可解：（）划分单元，给节点解：（）划分单元，给节点(ji din)编

11、号编号（）单元分析（）单元分析第18页/共27页第十九页，共27页。331122223311462661261226466126123131vviaiiaiaiaiaiaiiaiiaiaiaiaiaiMYMY223322222233462661261226466126122323vviaiiaiaiaiaiaiiaiiaiaiaiaiaiMYMY第19页/共27页第二十页，共27页。(1)节点节点(ji din)分析分析对号入座对号入座它不能直接入座它不能直接入座332222222223322110004466262666121261261226460061261200260046612006

12、12321321viiaiaiiaiiaiaiaiaiaiaiaiaiaiiaiiaiaiaiaiaiiaiiaiaiaiaiaiMYMYMY0, 0, 0, 0, 0323211YMmMvv(1)引入边界条件：引入边界条件：332、v332、v211YMY、由后三个方程由后三个方程(fngchng)可求得可求得，然后，然后(rnhu)把把代入前三个方程，求得代入前三个方程，求得。第20页/共27页第二十一页，共27页。22,vu0sin, 1cos, 0000001010000010100000101000001011iaEAK1iaEA例：已知：例：已知：p，l，EA。求：。求：解：方法：

13、）划分单元，给节点解：方法：）划分单元，给节点(ji din)编号编号）单元分析）单元分析单元：单元：令令第21页/共27页第二十二页，共27页。ITcossin00sincos0000cossin00sincosKTKTKT单元单元(dnyun)：21sin,23cos,30o第22页/共27页第二十三页，共27页。0000010100000101 lEAKcossin00sincos0000cossin00sincosT21233223,iilailEA，令令 第23页/共27页第二十四页，共27页。2222222222sinsincossinsincossincoscossincosco

14、ssinsincossinsincossincoscossincoscoscossin00sincos0000cossin00sincos0sin0sin0cos0cos0sin0sin0cos0coscossin00sincos0000cossin00sincos0000010100000101cossin00sincos0000cossin00sincosiilEATTKTK第24页/共27页第二十五页，共27页。414341434343434341434143434343432i）对号入座）对号入座(du ho r zu)，形成总刚，形成总刚000041434143004343434300414341043000434343043000000000003213212222222222222222221111332211vuiiiiiiiiiiiiiiiii