第八章 无穷级数 (一).

1、几何与多元微积分几何与多元微积分B上教学内容上教学内容 第八章第八章 无穷级数；无穷级数；第十章第十章 空间中的向量和运动空间中的向量和运动 前前6节；节；第十一章第十一章 多元函数及其导数多元函数及其导数 前前6节节.上课时间：第一周到第八周上课时间：第一周到第八周作业：每周一收作业，作业：每周一收作业， 每位同学请准备两个作业本每位同学请准备两个作业本考核：平时（出勤、作业等），考核：平时（出勤、作业等）， 考试卷面成绩考试卷面成绩答疑：课前答疑：课前10分钟，课后分钟，课后20分钟分钟 或或email 约其他时间约其他时间 ?21212121132n?14131211n?1)(11111

2、n2不确定不确定nxxxx21-11|x|N,有有 | an -L|.若不存在这样的若不存在这样的L, 称称an发散发散(diverge).若序列若序列an收敛收敛(converge)到数到数L，记为，记为 或或 an L (n).Lannlim序列极限的精确定义：序列极限的精确定义：:”“定义定义N 其中其中;: 对对任任意意的的 .:至至少少有有一一个个或或存存在在 .恒有,时使当,0,0LaLannnNnNlim所有在所有在aN后面的后面的an都落在都落在L的的邻域内邻域内(a)此序列此序列发散到发散到，因为无论选取什么因为无论选取什么M, 在某在某N项项后面的所有项都落后面的所有项都落

3、在在y=M的上方的上方(b)此序列此序列发散发散到到 -，因为无论选取什么因为无论选取什么m, 在某在某N项项后面的所有项都落后面的所有项都落在在y=m的下方的下方例例1序列极限的计算序列极限的计算和法则和法则差法则差法则数乘法则数乘法则乘积法则乘积法则商法则商法则例例2数乘法则数乘法则差法则差法则乘积法则，数乘法则乘积法则，数乘法则和法则，商法则和法则，商法则例例3定理定理2 序列序列极限的三明治极限的三明治定理定理(夹逼定理夹逼定理)例例4定理定理3 序列序列极限极限的的连续函数连续函数定理定理定理定理4 LHopital 法则在求序列极限中的应用法则在求序列极限中的应用例例7常见极限常见

4、极限例例8例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼准则得由夹逼准则得. 1)12111(lim222 nnnnn补充补充解解,535435nnnnnnnn , 55lim nnn又又53lim553lim1 nnnnn由夹逼准则得由夹逼准则得. 5543lim nnnnn.543limnnnnn 求求例例2 作业作业8.1数列的数列的极限极限 641页页 题号：题号：13，15，16，19，21，23，24，25，27，32，35，37，39，4

5、6，50，53，568.2 子序列、有界序列和皮卡方法子序列、有界序列和皮卡方法子序列子序列 (subsequence)定义：如果一个序列保持其次序出现在另一个序列中，定义：如果一个序列保持其次序出现在另一个序列中，则称第一个序列为第二个序列的子序列则称第一个序列为第二个序列的子序列. 的子序列（或子列）的一个序列称为原序列到中的先后次序，这样得这些项在原序列保持中任意抽取无限多项并或：在序列nnnaaa例例1结论：结论：1.1.收敛序列收敛序列的的任一子序列任一子序列也也收敛，且收敛，且极限相同极限相同2. 若若一一个序列个序列存在发散的存在发散的子序列子序列或者存在两个收敛于不同极限的或者

6、存在两个收敛于不同极限的子序列子序列,例如，例如， ),2,1()1(1 nxnn;1lim12 kkx1lim2 kkx发散发散 !则则该序列该序列一定发散一定发散 .单调有界序列单调有界序列例例2例例3例例4注：上界、下界不是唯一的注：上界、下界不是唯一的.若若一个序列既有上界也有下界，则称为一个序列既有上界也有下界，则称为有界序列有界序列.定理定理5 单调有界收敛定理单调有界收敛定理 单调有界的序列一定收敛单调有界的序列一定收敛(极限存在极限存在).非减有上界或非增有下界非减有上界或非增有下界例例5递归递归(递推递推)地定义序列地定义序列1. 给定序列开始一项或几项的值给定序列开始一项或几项的值,2. 给定递归公式：由序列前面的项计算后面的项给定递归公式：由序列前面的项计算后面的项.例例6例例.lim,)2(21,211nnnnnnxxxxxx 并并求求的的极极限限存存在在证证明明数数列列设设证证, 0 nx显然显然,22)2(211 nnnnnxxxxx, 022)2(2121 nnnnnnxxxxxx又又),2(21AAA 2,2 AA解得解得.2lim nnx,limAxnn 令令数列单调递减