自动控制理论课件：第五章 频率响应分析法

1、第五章 频率响应分析法第五章 频率响应分析法特点：物理意义明确，系统及其元部件的频率特性可以分析或实验获得，可以图解分析对于一阶、二阶系统，其频域和时域指标一一对应，高阶系统则近似对应频域稳定判据可以根据开环特性判别闭环是否稳定频域设计方法可以兼顾动态响应指标和噪声抑制性能可以推广应用于某些非线性系统第五章 频率响应分析法5.1 频率特性的基本概念5.2 典型环节的频率特性5.3 系统开环频率特性的绘制5.4 频率域稳定判据5.5 稳定裕度5.6 系统的闭环频率特性5.7 频域性能指标和时域性能指标的关系5.1 频率特性的基本概念一、频率特性的定义二、频率特性的几何表示1、一个简单的例子2、频

2、率特性的定义一、频率特性的定义1、一个简单的例子u1iRu2C则输出的稳态响应与输入的正弦信号之比：其实：.：.：wjs01wjT即：.一般地，线性定常系统的正弦稳态响应与输入的正弦信号之比定义为系统的频率特性。（自己看推导）2、频率特性的定义二、频率特性的几何表示1、幅相频率特性曲线2、对数频率特性曲线3、对数幅相特性曲线1、幅相频率特性曲线 以频率为参变量，将频率特性的幅频特性和相频特性同时表示在附属平面上。2、对数频率特性曲线开环对数频率特性开环幅频特性开环相频特性开环幅频特性开环相频特性单位：分贝 dB, 1贝尔20分贝单位：度也称Bode图对数频率特性的优势： (1) 相乘环节变为相

3、加 (2) 典型环节可用直线或折线 表示，简单明了 (3) 系统整体的频率特性合成简单2、对数频率特性曲线对数分度，按线性分度线性分度(弧度/秒)(弧度/秒)线性分度3、对数幅相特性曲线 将对数幅频特性和对数相频特性合起来绘制成一条曲线，其横坐标是 ，纵坐标是 ，频率 为参变量。二、频率特性的几何表示工程中以对数频率特性曲线为主5.2 典型环节的频率特性一、比例环节二、积分环节三、微分环节四、惯性环节五、一阶微分环节六、振荡环节七、二阶微分环节八、延时环节第一部分：幅相频率特性曲线也称为Nyquist图G(s) = k, k 0一、比例环节(K,j0)0(K,j0)二、积分环节0三、微分环节0

4、四、惯性环节经证明：其幅相频率特性曲线为一半圆五、一阶微分环节01六、振荡环节讨论：七、二阶微分环节讨论：0八、延时环节0第二部分：对数频率特性曲线也称为Bode图比例环节：G(s) = k, k 0若k = 10 一、比例环节积分环节：二、积分环节三、微分环节与积分环节关于横坐标轴对称四、惯性环节讨论：为转折频率用渐近线表示：五、一阶微分环节与惯性环节关于横坐标轴对称六、振荡环节平方项4次方项讨论：七、二阶微分环节与振荡环节关于横坐标轴对称八、延时环节增大5.3 系统开环频率特性的绘制一、开环幅相曲线的绘制二、开环对数频率特性曲线的绘制三、最小相位系统和非最小相位系统一、开环幅相曲线的绘制一

5、、开环幅相曲线的绘制1. 起点（0 ）2. 终点（ ）3. 开环幅相曲线与实轴的交点4. 开环幅相频率特性的变化范围N1. 起点0型系统，起于实轴（K,j0）点；I型系统，起于90度的无穷远处；II型系统，起于180度的无穷远处 开环频率特性曲线以(n-m)90终于坐标原点2. 终点3. 开环幅相曲线与实轴的交点令代入得到得到与实轴的交点4. 开环幅相频率特性的变化范围 在的0的变化范围中，中间段需要求出几个特殊点。 这样，就确定了开环幅相频率特性曲线的形状。二、开环对数频率特性曲线的绘制各个环节的叠加得到总的频率特性二、开环对数频率特性曲线的绘制1. 叠加法2. 分段法二、开环对数频率特性曲

6、线的绘制1. 叠加法采用一个例子予以说明例1(1)比例(2)积分(3)比例微分 转折频率(4)惯性 转折频率(5)振荡 转折频率s/rad(4)(Lww0.1110dB2040600.01(1)(2)(3)(5)-20+20-20-40-60-60-80-20-40-601). 确定低频段Bode图的位置。（不考虑惯性、振荡、比例微分环节）斜率由积分环节决定N 0 0dB/dec N = 1 -20dB/dec N = 2 -40dB/dec在位置2. 分段法同样的例子2. 分段法2). 依次画转折频率以后部分，增减斜率。11.414 40 22 20 33 20 s/rad)(Lww0.11

7、10dB2040600.01-20+20-60-60-80-20-40-6017.5三、最小相位系统和非最小相位系统一个系统如果它的开环传递函数的全部零极点都位于S平面的左半平面或虚轴上，则称此系统为最小相位系统幅频特性相同的系统中最小相位系统的相位变化最小。幅频特性确定后，其对应的最小相位系统是唯一的。例1T110T2四、最小相位系统的应用应用1. 对于最小相位系统，根据开环频率特性L()能唯一地确定系统的开环传递函数G() 。应用2. 对于最小相位系统，其幅频特性和相频特性一一对应，某频率段的相角主要由该频率段的幅频特性斜率所决定，也受相邻频段的影响。应用1. 对应最小相位系统，根据开环频

8、率特性L()能唯一确定系统的开环传递函数。例2写传递函数求时间常数求k k = 8例3传递函数时间常数求k应用2. 对于最小相位系统，其幅频特性和相频特性一一对应，某频率段的相角主要由该频率段的幅频特性斜率所决定，也受相邻频段的影响。20dB/dec 90040dB/dec 180060dB/dec 2700要使系统稳定，并有足够稳定裕量，应使L()以 20dB/dec斜率穿越 0dB线，并保持c前后有一定宽度(10倍频程)。以20dB/dec斜率穿越0dB线，系统稳定。以40dB/dec斜率穿越0dB线，系统可能稳定。以60dB/dec斜率穿越0dB线，系统不稳定。5.4 频率域稳定判据一、

9、奈氏判据的数学基础二、奈奎斯特稳定判据三、开环系统含有积分环节 时奈氏判据的应用四、对数频率稳定判据一、奈氏判据的数学基础1.辅助函数F(s) 2.幅角原理1.辅助函数F(s) 其中，传递函数G(s)和H(s)可表示为两个多项式之比，即：系统的开环传递函数和闭环传递函数分别表示为：闭环特征多项式开环特征多项式辅助函数F(s)定义如下：F(s)的特点：1).F(s)的零点z为闭环传递函数的极点，F(s)的极点p为开还传递函数的极点；2).F(s)的零点和极点数目相同；3).F(s)和G(s)H(s)只差常数1.s平面和F(s)平面s平面: 包围与不包围F(s)平面2.幅角原理1).在S平面上封闭

10、曲线C域内共有F(s)的P个极点和Z个零点，且封闭曲线C不穿过F(s)的任一个极点和零点。2).当s顺时针沿封闭曲线C变化一周时，函数F(s)沿 曲线按逆时针方向包围坐标原点的周数R满足:P的贡献 F(s)沿 逆时针包围坐标原点的周数Z的贡献 F(s)沿 顺时针包围坐标原点的周数R=0 F(s)对应的 不包围平面坐标原点R = PZ = 1 3= 22.幅角原理问：可否通过围绕S平面左半部的曲线，对应于F(s)的封闭曲线，围绕原点的圈数判断Z的个数，从而知道闭环系统是否稳定？容易知道的是P，那么，有没有现成的F(s)封闭曲线?二、奈奎斯特稳定判据1).由F(s)1G(s)H(s)可知，F(s)

11、按逆时针方向包围坐标原点的周数R，就是开环传递函数G(s)H(s)曲线按逆时针方向包围（1，j0）点的周数。2).幅角原理中所定义的R又可表示奈氏曲线 即s沿虚轴j到j取值，频率特性G(j)H(j)的幅相曲线 逆时针包围临界点（1，j0）的周数。N定义奈氏稳定判据： 反馈控制稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点（1，j0）的周数R等于开环传递函数右半S平面极点数P，即R=P;否则系统不稳定。闭环正实部特征根个数ZPR例1. 已知开环传递函数 判断系统稳定性解： 画Nyquist示意图(1) 特殊点(2) 趋势单调递减单调递减由由由ImRe0=w=jw00k01800-正频率轨迹（奈氏图)负

12、频部分(与正频对称)奈氏判据( 已知R, P 求 Z )P = 0 (由G0(s)表达式)R0 (由奈氏图)因为Z = P R = 0 , 所以系统稳定 例2. 开环传递函数试用奈氏稳定判据判断其闭环系统的稳定性。解：频率特性为：1. 开环幅频特性曲线始于点（6，j0），极点数n3,零点数m0，按270度终于原点。2. 开环相频特性曲线与实轴交点为0.6。3. 由 到 变化时绘出开环幅相特性曲线4. 稳定性分析：G(s)在右半面内P0，奈氏曲线不包围点（1，j0），即R0。PR，故该系统稳定！三、开环系统含有积分环节时奈氏判据的应用 F(s)在S平面坐标原点有极点，用奈氏判据需对封闭曲线 稍作

13、修改。令曲线 在坐标原点附近以半径趋于零半圆绕过极点。当从0沿小半圆变到0时，按逆时针方向从90变化到90，G(s)H(s)在其平面上的映射为小半圆表达式：开环系统含有积分环节时的幅相曲线的绘制方法：1.绘制出除00以外的幅相曲线，即不考虑s取无穷小圆弧的情况，其起点对应0；2.从G(j0+)H(j0+)开始，逆时针补画半径为无穷大的v90圆弧，不过，曲线方向是逆时针，此时对应的是由0 0。3.将这两部分衔接起来，得到含积分环节的开环系统的幅相曲线。图(a)(b)(c)分别表示v1 、 2 、 3时的系统幅相曲线系统稳定性的判断方法： 含有积分环节时，通常只需绘制从0 时的开环幅相曲线，按其单

14、边包围(1，j0)的周数N（逆时针包围N为正，顺时针包围N为负）和开环传递函数在右半S平面的极点数P，再由公式ZP2N确定闭环特征方程正实部根的个数。 若Z为零，闭环系统稳定；否则，系统不稳定。N也可以定义为穿越次数。穿越次数的定义和计算：1. 开环幅相曲线在GH平面通过(-1,j0)点左侧的负实轴称为穿越。2. 穿越次数的计算:正穿越半次正穿越负穿越半次负穿越随增大，自下而上，称为负穿越随增大，自上而下，称为正穿越若开环幅相曲线逆时针起始或中止于(-1,j0)点左侧的负实轴，记为半次正穿越；若开环幅相曲线顺时针起始或中止于(-1,j0)点左侧的负实轴，记为半次负穿越。见下图：例59. 单位反

15、馈系统的开环幅相曲线(K=10,P=0,v=1)图如下，试确定系统稳定时的K值范围。解：幅相曲线与负实轴的3个交点设为：，开环传递函数：K变化时，开环幅相曲线与负实轴的交点沿负实轴移动。设K分别为 ，幅相曲线与负实轴交点均在(-1,j0)点，则 求得：在和时，系统开环幅相曲线如下根据奈氏判据判断闭环系统的稳定性：综上，系统闭环稳定时K值范围： 对数频率稳定判据是奈氏稳定判据的另一种形式，它利用开环系统的对数频率特性来判别闭环系统的稳定性。它可以通过试验获得，在工程上应用广泛。四、对数频率稳定判据幅相频特性曲线及其与对数频率特性曲线的对应幅相频率特性图上的单位圆对应对数幅频特性曲线的横坐标，即0

16、分贝线；单位圆外区域对应L()0的部分，即0分贝线上区域；单位圆内区域对应L()0的区域内，曲线自下而上通过180线，为正穿越， 曲线自上而下通过180线，为负穿越。对数频率稳定判据：一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根个数Z，可以根据开环传递函数右半s平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频特性曲线与180线的正负穿越数之差 确定若Z为零，闭环系统稳定；不为零，则不稳定。5.5 稳定裕度一、稳定裕度二、幅值裕度和相位裕度三、应用举例N一、稳定裕度 由奈氏稳定判据，对于开环稳定(P=0)系统，根据开环幅相曲线相对(-1,j0)点的位置不同，对应闭环系统的稳定性也不同。

17、幅相曲线靠近(-1,j0)点的程度表征了系统的相对稳定性，幅相曲线距离(-1,j0)点越远，闭环系统的相对稳定性越高。一、稳定裕度稳定裕度：系统在频域的相对稳定性。常用幅值裕度和相位裕度来度量。1. 幅值裕度2. 相位裕度3. 截止频率的计算4. 幅值裕度的计算N二、幅值裕度和相位裕度1) 幅值裕度的定义2) 幅值裕度的物理意义3) 利用幅值裕度判断稳定性1. 幅值裕度 系统开环相频特性为180时，系统开环频率特性幅值的倒数定义为幅值裕度 ，所对应的频率 称为相位穿越频率。式中 满足1) 幅值裕度的定义 幅值裕度 的物理意义：对于闭环稳定系统，如果系统的开环增益再放大 倍，则系统将处于临界稳定

18、状态。幅值裕度的分贝表示：2) 幅值裕度的物理意义稳定系统：幅值裕度：幅值裕度为正3) 利用幅值裕度判断稳定性幅值裕度大的系统，其稳定性一般优于幅值裕度小的系统不稳定系统：幅值裕度：幅值裕度为负2. 相位裕度仅幅值裕度还不能充分表示所有系统的稳定程度。因此，引入相位裕度相位裕度的定义相位裕度的物理意义利用相位裕度判断稳定性满足 系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性的相角与180之和定义为相位裕度，所对应的频率 称为系统截至频率。式中表达式：1）相位裕度的定义 相位裕度物理意义：对与闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后度，则系统将处于临界状态。2）相位裕度的物理意义 相位裕度从负实

19、轴算起，逆时针为正，顺时针为负。 稳定系统，其相位裕度为正，即0；不稳定系统，其相位裕度为负，即0，且 。在极坐标图上，必在负实轴以下。在波德图上， 必在180线以上， 必在0dB线以下。闭环不稳定系统，应0 系统稳定三、应用举例例 开环传递函数 试求：(1) K5时，绘出对数幅频特性曲线，并求截至频率和相位裕度(2)用频域分析法求出临界稳态K值。解 (1) K5，20lgK14dBa. 1，L(1)=14dB，过(14,1)点，向上画20dB/dec的直线。b. 1，曲线斜率变为40; c. =10，曲线斜率变为60.截止频率：相位裕度：得(2)计算幅值裕度令用试探法求得在3.1时的幅值为由

20、上式知，若开环增益增大2.112倍，K52.11210.56，则系统处于临界稳定状态。N则幅值裕度为系统的闭环频率特性开环频率特性与闭环频率特性的关系尼科尔斯图线非单位反馈系统的闭环频率特性5.6 系统的闭环频率特性1、开环用于细节分析、设计，闭环用于全面分析系统性能2、系统的闭环频率特性 对于一个单位反馈控制系统，其开环频率特性： 则闭环频率特性为一、系统的闭环频率特性其中，M()为闭环幅频特性；()为闭环相频特性。3、闭环频率特性指标有：1）谐振峰值2）谐振频率3）带宽频率4）剪切速度一、系统的闭环频率特性闭环系统的幅频特性曲线的一般形状1）谐振峰值 闭环系统幅频特性的最大值，它反映系统相

21、对稳定性。该值越大，系统超调量越大，系统相对稳定性比较差。通常在1.11.42）谐振频率 闭环系统幅频特性出现谐振峰值时所对应的频率，一定程度上反映系统瞬态响应速度。该值越大，瞬态响应越快。3）带宽频率 闭环系统频率特性幅值M()由其初始值M(0)减到0.707M(0)（或零频率分贝值以下3dB）时，所对应的频率。带宽越大，瞬态响应速度越快，但对高频噪声的过滤能力越差。4）剪切速度 在高频时频率特性衰减的快慢。剪切速度越快，谐振峰值越大。一、系统的闭环频率特性系统开环频率特性（ ）闭环频率特性 据此求出不同频率所对应的闭环幅值和相角，得到闭环频率特性，从而绘制出闭环幅频特性曲线和闭环相频特性曲线。麻烦二、开环频率特性与闭环频率特性的关系三、尼科尔斯图线1、等轨迹2、等M轨迹3、尼科尔斯图线 等式两边虚部相等，则1.等轨迹闭环频率特性： 令为常数，则上式是L()()的一条曲线。对于不同的值，可以绘出不同的曲线，这簇曲线称为尼科尔斯图线中的等轨迹。1.等轨迹闭环幅频特性整理得解得2.等M轨迹 给定M，上式是一条L(