数学物理方法：第十四章 分离变量法

1、第十四章 分离变量法数学物理方法定解问题最常用的解法分离变量法核心思想：将未知函数按多个单元函数分开偏微分方程若干常微分方程 求解常微分方程： 特解线性无关的特解叠加出通解用定解条件定出叠加系数求解一阶线性偏微分方程： 转化为一阶线性常微分方程二阶及高阶偏微分方程：难以定出待定系数分离变量法： 满足方程及一部分定解问题的全部特解 用另一部分定解条件定出叠加系数14.1 两端固定弦的自由振动长为 l 、两端固定的弦，发生自由振动的方程及定解条件为方程和边界条件是齐次的，初始条件为非齐次的。 第一步：分离变量 所希望的特解 代入方程 得 移项，两端同除以 有 与 x 无关的函数 = 与 t 无关的

2、函数 与 x、t 均无关的常数 可知 一维波动方程 两个常微分方程 选取相应的齐次定解条件，与其中一个常微分方程构成本征值问题。 将代入边界条件，得常微分方程含有一个待定常数 定解条件是一对齐次边界条件 X(x) 的常微分方程的定解问题称为本征值问题 既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解 X(x) ，称为本征函数，相应的 值称为本征值。 即 当 时，方程 为 第二步：求解本征值方程的通解为 由边界条件 ， 知 即 因此， 不是本征值。 当 时，常微分方程的通解是 由边界条件 ， 知 ， 相应的本征函数为 取 第三步：求特解，并进一步叠加出一般解将 代入方程 得 可知满足偏微分方程和

3、边界条件的特解为： ，特解有无穷多个，将特解叠加，只要保证级数收敛可得一般解。 一般解既满足偏微分方程又满足边界条件，因而不同于通解。 将一般解代入初始条件，得 第四步：利用本征函数的正交性定出叠加系数本征函数的正交性： 对于 两端同乘以 ，并积分，得 定义：本征函数的模方 同理，对于 可得两端同乘以 ，并逐项积分 由以上讨论可知该定解问题的解为： 小 结分离变量法求解偏微分方程的基本步骤： 分离变量（齐次条件） 求解本征值 求出所有特解，叠加出一般解 利用本征函数正交性定出叠加系数验证： 解函数是否满足偏微分方程级数解的收敛性 （是否可以逐项求偏微商）。 解函数是否满足边界条件级数解的和函数

4、是否连续。 定叠加系数时，逐项积分是否合法。求如下定解问题的一般解 第一步令 ，代入方程 得 移项，两端同除以 ，有 例题解可知， 将 代入边界条件，得 即 有本征值问题 第二步 可知 即 因此， 不是本征值。 即 本征函数为 第三步 将 代入方程 得 满足偏微分方程的特解为 一般解， 第四步按照已推出的系数公式可知 由三角函数正交性知， 时， 或者将一般解直接代入初始条件 各点的振幅分布 .相位因子 a 为角频率，与初始条件无关， 称为固有频率或本征频率。 波数为1（ x 的系数） 初相位为 ，由初始条件决定。 分离变量法的先决条件： 本征值问题有解 定解问题的解一定可以按照本征函数展开本征

5、函数的全体是完备的 本征函数一定具有正交性对于任一时刻 t，有界弦的总能量是：动能+势能将一般解代入 E(t)，并利用正交性得显然与 t 无关，即弦的总能量守恒求如下扩散场的定解问题。（1）分离变量，令方程化为 例题解（2）求本征值问题由边界条件可知 l=0 不是本征值， ln=n2 是 本征值，本征函数为 Xn(x)=sinnx将 l =n2 代入（3）求一般解满足扩散方程的特解是因此，一般解为（4）定系数将一般解代入初始条件比较两边sinnx及系数，得可知定解问题的一般解为扩散场的浓度是一个随空间和时间连续变化的物理量14.2 分离变量法的物理诠释特解是一个驻波表示弦上各点的振幅分布表示相

6、位因子是驻波的角频率，与初始条件无关，称为固有频率或本征频率为波数，（单位长度上波的周期数）是初位相，由初始条件决定波节：的各点上，振幅0共有 n +1 个波节（含两个端点）波峰：的各点上，振幅 max共有 n 个波峰这种解法也称为驻波法基频：固有频率中的最小值 决定音调（ ，材料一定，改变张力 T ）倍频：基频和倍频的叠加系数 、 的相对大小频谱分布声强齐次的波动方程和热传导方程14.3 矩形区域内的稳定问题一维情况：二维情况：三维情况：在稳定态U与t无关拉普拉斯方程二维情况下的稳定问题（平面直角坐标） 矩形区域内的稳定问题设有定解问题边界条件xyba(1) 令 ，代入方程 得即将 代入一对

7、齐次边界条件有构成本征值问题(2) 方程 的通解为由边界条件 知本征函数(3) 由 可求出定解问题的特解为一般解为(4) 将一般解代入一对非齐次条件定义函数由正交性 可知所以可见，对于稳定问题（与 t 无关），采用一对齐次边界条件构成本征值问题，用另一对齐次边界条件定系数。 例题解均匀薄板 0 x a ，0 y ，边界上温度为 求解般的稳定温度分布。 令 则两边同除以 X(x)Y(y)， 由边界条件 知 X(0) = X(a) = 0 将一般解代入 y 的边界条件利用正交性知以矩形介质的热传导问题为例，假设介质四周绝热，定解问题为14.4 多于两个自变量的定解问题边界条件初始条件令 代入方程得

8、解两边同除以 X(x)Y(y)T(t) 得相当于引入常数 m g l = 0 则对边界条件分离变量可得得到 X(x) 和 Y(y) 的两个本征值问题本征值：求解 X(x) 和 Y(y) 的两个本征值问题本征函数：本征值：本征函数： 代入初始条件 的通解为其中一般解：特解：可得：当 n 0 、m 0 时，两边同乘以积分后，由正交性可知当 n 0 、m = 0 时，初始条件变为：当 n = 0 、m 0 时，初始条件变为：两边同乘以 积分后，由正交性可知两边同乘以 积分后，由正交性可知当 n = m = 0 时，由初始条件直接可知：利用 d 函数的性质将以上四种情况合并为：纯粹由外力引起的两端固定

9、弦的受迫振动，弦的初始位移和初速度均为零。定解问题为：14.5 两端固定弦的受迫振动边界条件初始条件非齐次方程的分离变量法处理方法本征函数展开法方程齐次化法适用于非齐次项 f(x, t) 的形式简单，通常为单变量函数 g(x) 或 g(t) 。方程齐次化法：边界条件保持齐次，而将方程齐次化。先求出非齐次方程的一个特解 v(x, t) ，即设代入原方程有可知，w(x, t) 是相应齐次方程的解：使用分离变量法前提条件：w(0, t) = 0 ，w(l, t) = 0 。即 v(x, t) 同时满足非齐次方程和齐次边界条件。对于 w(x, t) 的定解问题：w(x, t) 的一般解为： U(x,

10、t) 的一般解为： 代入初始条件有： 即由正交性定出系数：方程齐次化法的适用范围： 非齐次方程齐次化时，必须保持原有的边界条件不变 非齐次项 f(x, t) 的形式较简单 初始条件可以是非齐次的 例题解求定解问题：非齐次项为 f(x) ，设 U(x, t) = v(x) + w(x, t)边界条件初始条件v(x) 是方程的特解：且 v(0) = 0 ，v (x) = 0 ，可求出 v(x)而 w(x, t) 则满足定解问题：按照齐次方程定解问题的分离变量法求解步骤即可求出 w(x, t) 的一般解，最后：关于 U(x, t) 的非齐次方程的定解问题关于 w(x, t) 的齐次方程的定解问题 例

11、题解长为 p ，两端固定的弦，在单位质量上受力 sinx 的作用下由静止状态从水平位置开始做小振动，求其横振动的定解问题。边界条件初始条件令 U (x, t) = v (x) + w (x, t) ，代入定解问题定解问题为：视 v(x) 为原方程的特解：则 w(x, t) 满足的定解问题为： v(0) = 0 ， B = 0 v(p) = 0 ， 即 A = 0由分离变量法可得 w (x, t) = X (x)T(t) ，代入 w (x, t) 的定解问题将 w (x, t) 的一般解代入 w (x, t) 的初始条件因而有所以 例题解求解定解问题：其中 a、A0、w 均为已知常数。边界条件初

12、始条件令 U (x, t) = v (x, t) + w (x, t) ，代入定解问题视 v(x, t) 为原方程的特解，考虑到非齐次项，取特解 v(x, t) 不可以为 v(t) ，必须保证边界条件的齐次性不改变。将 代入原方程：则特解 v(x, t) 为：而 w(x, t) 满足的定解问题为：按照齐次方程的分离变量法可求出：由初始条件定出：由正交性知：即 n 为奇数时 Cn 不为零，所以： 例题解长为 p ，两端固定的弦，在单位质量上受力 sint 的作用下由静止状态从水平位置开始做小振动，求其横振动的定解问题。边界条件初始条件令 U (x, t) = v (x) + w (x, t) ，

13、代入定解问题定解问题为：视 v(x, t) 为原方程的特解，考虑到非齐次项，取特解 v(x, t) 不可以为 v(t) ，必须保证边界条件的齐次性不改变。代入原方程：则特解 v(x, t) 为：而 w(x, t) 满足的定解问题为：按照齐次方程的分离变量法可求出：由初始条件定出：由正交性知：即 n 为偶数时，Cn 为零， n 为奇数时，本征函数展开法：按相应齐次问题本征函数作展开非齐次方程的分离变量法处理方法本征函数展开法方程齐次化法当方程的非齐次项 f(x, t) 形式复杂，很难求出特解 v(x, t) 时，寻找一组完备的本征函数 Xn(x), n = 1, 2, 3, ，将 U(x, t)

14、 和 f(x, t) 均按本征函数展开只要求出 Tn(t)，就可知 U(x, t) 了求解思路非齐次偏微分方程定解问题非齐次常微分方程定解问题引入本征函数展开的试探解纯粹由外力引起的两端固定弦的受迫振动，弦的初始位移和初速度均为零。定解问题为：边界条件初始条件其中 a 和 f(x, t) 已知。先求出相应齐次方程定解问题的本征函数 Xn(x), n = 1, 2, 3, 边界条件初始条件按照本征函数作展开，并代入原方程设由本征函数的展开性可知 f(x, t) 已知的展开系数 gn(t) ：代入原方程，得：又知：则结合正交性可知：将 代入初始条件：非齐次常微分方程定解问题采用积分变换法求解，对方

15、程两边同时做 L再求反演，由卷积定理可知：所以：求解非齐次常微分方程定解问题 例题解长为 l ，两端固定的弦，在单位长度上受横向力 g(x) sinwx 的作用下做小振动，已知弦的初始位移 和 速度分别为j (x) 和 f (x) ，求其横振动的规律。边界条件初始条件令 U (x, t) = v (x , t) + w (x, t) ，代入定解问题定解问题定解问题为：即定解问题定解问题定解问题的特解为：将 v(x, t) 按本征函数寨开，令将非齐次项按本征函数展开由正交性可知则定解问题的方程化为：由正交性可知相应的初始条件为：定解问题对定解问题的方程两边作拉式变换：由卷积定理可知为突出非齐次边

16、界条件的处理，假定方程和初始条件是齐次的14.6 非齐次边界条件的齐次化边界条件初始条件仍以一维波动方程为例处理方法：非齐次边界条件定解问题齐次边界条件非齐次偏微分方程定解问题寻找一个特解边界条件的齐次化 例题解求定解问题：边界条件初始条件考虑到非齐次边界条件的具体形式，令 v (x, t) = C1 x + C2 ，由边界条件知令 ，代入原定解问题边界条件初始条件则 w (x, t) 满足的定解问题为：边界条件初始条件将 w (x, t) 和方程的非齐次项按本征函数展开：将w (x, t) 和非齐次项的展开式代入 w (x, t) 满足的定解问题，有由正交性可知， w (x, t) 满足的定

17、解问题化简为了 Tn(t) 的定解问题：采用积分变换法求解，做拉普拉斯变换，得方程和边界条件同时齐次化 例题解求定解问题：一端固定另一端作周期运动的弦的振动问题边界条件初始条件设 U (x, t) = v (x , t) + w (x, t) ，代入定解问题视 v(x, t) 为原方程的特解，考虑到非齐次项，取边界条件初始条件将 v(x, t) 代入原方程和边界条件：可知 w(x, t) 所满足的定解问题为：边界条件初始条件 即 当 时，方程 为 方程的通解为 由边界条件 ， 知 即 因此， 不是本征值。 当 时，常微分方程的通解是 由边界条件 ， 知 ， 相应的本征函数为 取 分离变量，将

18、w(x, t) = X(x) T(t) 代入 w(x, t)的方程将 代入方程 得 可知 w(x, t) 的一般解为： 由 w(x, t) 的初始条件知： 例题解有一长为 l ，侧面绝热而初始温度为零度的均匀细杆，它的一端保持温度始终为零度，而另一端温度随时间直线上升，求杆的温度分布。边界条件初始条件令 U (x, t) = v (x , t) + w (x, t) ，代入定解问题设杆长方向为 x 轴，x = l 端保持温度始终为零度， x = 0 端温度随时间直线上升，比例系数为常数 c ，则定解问题为：视 v(x, t) 为原方程的特解，考虑到非齐次边界条件，取将 v(x, t) 代入原定解问题的边界条件，得可