大学画法几何投影变换概要

1、V1X1 a1 b12a2 b2投 影 变 换 大学画法几何投影变换概要 4-1 概 述 第4章 投影变换 当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面的倾角。 当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影面就不具备上述特性。 投影变换就是讲直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的度量和定位问题。大学画法几何投影变换概要aabb 两点之间距离aabbcc三角形实形aabbccdd 直线与平面的交点abcdabcd 两平面夹角解决问题大学画法几何投影变换概要一、换面法原理及规律二、六个基本问题三、应用举例

2、42 换面法 换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。大学画法几何投影变换概要（一）、换面法的基本概念a1c1b1V1X1X1 换面法空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V/H 体系变为V1/H 体系c1b1a1bcabacX一、换面法原理及规律大学画法几何投影变换概要新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：1新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。2新投影面必须垂直于一个不变投影面。（二）、新投影面的选择原则大学画法几何投影变

3、换概要1点的一次变换（变换V面）X1V1a1（三）、点的投影变换规律大学画法几何投影变换概要a1X1 V1a1X1HV1 V1a1点的投影变换有什么规律？大学画法几何投影变换概要 点的投影变换规律（1） 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2） 点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到旧轴的距离。大学画法几何投影变换概要练习：41 求点A和B在新投影体系V1/H中的投影。a1b1大学画法几何投影变换概要H1X1 2点的一次变换（变换H面）X1H1Va1a1大学画法几何投影变换概要a23 点的两次变换X2H2V12X2a2大学画法几何投影变换概要二、六个基本问题 （一） 把一般位置直

4、线变为投影面平行线 1次 （二） 把投影面平行线变为投影面垂直线 1次 （三） 把一般位置直线变为投影面垂直线 2次 （四） 把一般位置平面变为投影面垂直面 1次 （五） 把投影面垂直面变为投影面平行面 1次 （六） 把一般位置平面变为投影面平行面 2次线面 把线面转换成特殊位置，不但可以解决线面求实形、倾角问题，而且也是解决各种应用问题的基础！大学画法几何投影变换概要V1X1（一） 把一般位置直线变为投影面平行线 a1 b1a1b1 X1V1H求对哪个投影面的倾角就平行那个投影作图大学画法几何投影变换概要练习：42 用换面法求线段CD的实长和对V面的倾角VHcd11CD实长HV1X1求对哪个

5、投影面的倾角就平行那个投影作图大学画法几何投影变换概要X1H1Va1 b1（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线 bb1X1a1b1大学画法几何投影变换概要 （三） 把一般位置直线变为投影面垂直线V1X1 a1 b12a2 b2大学画法几何投影变换概要把一般位置直线变为投影面垂直线X2H2V1a2 b2X1HV1a1b1大学画法几何投影变换概要练习：42 用换面法把线段CD转换成投影面的垂直线。VHcd11CD实长HV1X1X2H1V2d2(c2)大学画法几何投影变换概要a cXVHbb ac（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面c ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1

6、c1d1求对哪个投影面的倾角就做这个投影面的平行线，并紧邻这个投影面作图大学画法几何投影变换概要练习：48 用换面法求ABC对H面的倾角aaa111X1求对哪个投影面的倾角就做这个投影面的平行线，并紧邻这个投影面作图大学画法几何投影变换概要（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面 V1c1b1a1X1X1V1c1b1a1大学画法几何投影变换概要a1c1b1X1c大学画法几何投影变换概要 d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1（六） 把一般位置平面变为投影面平行面 实形大学画法几何投影变换概要三、应用举例（一）距离问题（二）角度问题（三）综合问题 把线面转换成特殊位置解决一

7、些实际度量和位置问题：大学画法几何投影变换概要4 求点S到平面ABC的距离 6 求两平行平面间的距离 5 求直线与平面间的距离1 求点C到直线AB的距离 3 求两直线AB与CD的公垂线 2 求两平行线间的距离（一）距离问题 把线面转换成垂直于投影面 即可解决距离问题！角度到直线的距离把直线转换成投影面的垂直线换面2次到平面的距离把平面转换成投影面的垂直面换面1次大学画法几何投影变换概要c2c1b1a1X2H1V2H1X1Vkkk1b2 k2a2距离例题1 求点C到直线AB的距离及垂足大学画法几何投影变换概要例题2 求两平行线的距离H2V1Xlb2 (a2)d2 (c2)d1a1b1c1V1HX

8、1大学画法几何投影变换概要211121 1222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c121b例题3 求两直线AB与CD的公垂线 。 大学画法几何投影变换概要k1X1H1Vb1a1c1 d1s1例题4 求点S到平面ABC的距离距离垂足？kkVHX大学画法几何投影变换概要3.两平面的夹角（使交线投影面，换面2次） 2.直线与平面的夹角 3次 （二）角度问题1.两直线的夹角（即求平面的实形，换面2次）综合 求两直线的夹角就是求由它们构成的平面实形（投影面平行面），当有平面时先把面转换成线（投影面垂直面）。 大学画法几何投影变换概要例题5 求ABC的实形VX1H1c2b2a2a1(b1

9、)c1H2V1X2大学画法几何投影变换概要例题6 直线AB与平面CDE的夹角H3V2X3X2V2H1X1VH1b3e3c3c2d3a3e1b1e2b2c1a1d1a2d2ff通过变换使AB与投影面平行，CDE与投影面垂直。三次变换。空间分析大学画法几何投影变换概要例题6 直线AB与平面CDE的夹角大学画法几何投影变换概要H2V1X2Hv1X1cdbadacbd1c1a1d2b1c2a2 b2VHX例7 求平面ABC和ABD的两面角。空间及投影分析： 由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。 当两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成

10、直线，直线间的夹角为所求。.大学画法几何投影变换概要（三）综合问题例8 求平面ABC与直线DE的交点 例9 求平面ABC与平面DEF的交线例11 E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影 例10 E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e例12 过C点作直线CD与AB相交成60角例13 在直线AB上找一点K,使K点到直线CD的距离等于L将其中一个面转换成投影面的垂直面换面1次 主要是实形（含角度）和距离问题的逆向应用：例14例16例15例17 过K点作一直线与交叉两直线AB、CD相交例18大学画法几何投影变换概要归纳总结: 作业：4-1、2、4、7、8、9、10、 11、12、13

11、、14、15、161、掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。2、掌握用换面法求线段实长、平面实形及其对投影面倾角的基本作图方法。（即六个基本问题）3、掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。（距离、角度及其综合应用问题）大学画法几何投影变换概要点线面小结 内容单一几何元素 从属关系 并列关系 点点的投影规律 直线三类七种线的投影特性直角法求一般线实长、倾角直线上的点的投影特性直线直线直线直线直线 直线直线直线 平面三类七种面的投影特性平面上的点和线的作图方法直线平面平面平面换面法求线段实长求平面实形投影面倾角 距离问题 夹角问题 相交问题投影特性求交点（线）判别可见性综合

12、应用基本问题大学画法几何投影变换概要再见 大学画法几何投影变换概要（3）3（1） 例题8 求平面ABC与直线DE的交点a1fVH1X1b1c1d1e1kk1f 作X1轴垂直于a f k2121434作图步骤：1.在三角形平面ABC上作正平线AF ；2.作X1轴垂直于a f ；3. 求三角形平面ABC和DE在垂直于AF的新投影面上的投影a1b1c1和d1e1； 4.求三角形平面ABC和DE的交点在新投影面上的投影k1，再求出k和k；5.利用重影点的特点判别可见性。大学画法几何投影变换概要 例题9 求平面ABC与平面DEF的交线HX1V1e1f1d1b1c1 a11mnmn1m1nc作X1轴垂直于

13、a 11大学画法几何投影变换概要eN ddX1VH1k1e1例题10 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。b1a1c1d1大学画法几何投影变换概要V1x1HLLaVxHkkbbacck1b1c1a1例16已知三角形ABC的H面投影和BC边的V面投影，点K到ABC平面的距离为定长L。试补全ABC平面的V面投影。变换思路：新投影面实距P作图步骤：1.设新轴垂直于bc；2.作图得b1c1 k1；3.以k1为圆心，L为半径作圆；4.过b1c1作圆的切线，a1必在此线上；5.返回。大学画法几何投影变换概要例题11 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 d db1 a1c

14、1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2大学画法几何投影变换概要空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。例12 过C点作直线CD与AB相交成60角。 dX1HP1X1P1P2ab a c bXVHc作 图：c2c1a1b1a2d2db2 几个解？两个解！ 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。思考：如何解？解法相同！60D点的投影如何返回？.大学画法几何投影变换概要m1VH1a1b1m1X2V2H160反映实形c2c1cc例14已知直线AB及线外一点M,试在直线上找一点C，使直线MC与直线AB的夹角为60。大学画法几何投影变换概要例15已知等腰三角形ABC的腰AB的两面投影，并知底边在直线BM上，完成等腰三角形ABC的投影mmbbaaDCMABm1c1a1b1ccd1XHV1大学画法几何投影变换概要xabddcabcL1xHV1x2V1H21a1bb22ac22d（）1d1ck1kk2kL例13