解三角形知识点及题型归纳总结

1、 变式2在 ABC中，角A, B,C所对边分别为a,b,c, A ,(1 p)c 2b.6求 C；(2)若 CBCA 1 0，求 a,b,c.变式3在ABC中，角A, B,C所对边分别为a,b, c,且cos A2咨AB5uuurAC3.(1)求 ABC的面积；(2) b c 6,求a的值.3a cosB ccosB.变式4在 ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且bcosCuuu uuur(1)求cosB的值；(2)若BA BC 2,且b 2衣，求a和c的值.题型4解三角形的实际应用 思路提示根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.例4

2、.47如图4-36所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从 A沿索道乘缆车到 B,然后从B沿直线步行到C,现有甲、乙两位游客从 A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为 50m/min,在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后，再从B处匀 速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为了 130m/min ,山路AC长为1260m,经测量，八12 八 3 cos A ,cosC 135(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过 3分钟，乙步行的速度应控制在什

3、么范围内？分析 (1)cosA,cosC的值可求得sinB的值，然后在ABC中利用正弦定理可得 AB的长度；(2)利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离；(3)利用正弦定理求出BC的长，再根据题意列不等式求解 .1235412 413 56365斛析 (1)在 ABC 中，因为 cos A 一 ,cos C 一.所以 sin A ,sin C .从而 135135sin B sin (A C) sin( A C) sin AcosC cos Asin C 一 一13 5-AC - 1260 4AB AC /口 ABsinC1040(m).由正弦定

4、理，得 sin B635sin C sin B65所以索道AB的长为1040m.100+50t) m,乙距离 A处130tm,所以(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d,此时甲行走了由余弦定理得22 一 2 一 一12d (100 50t)(130t)2 130t (100 50t)132,1040 r -35,旧 200(37t70t 50).由于0 t ，即0 t 8 ,故当t (min)时，甲、乙两游客距离最短13037_ AC1260 5BC AC /口 BCsin A500(m).(3)由正弦定理 ，得 sin B6313sin A sin B62514,1250 625,

5、(单位： m/min)4314乙从B出发时，甲已走了 50 (2 8 1) 550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为 vm/min,由题意得 3 500 710 3,解得1260 v v 5043所以为使两游客在 C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在范围内.评注解三角形应用题问题，关键是能根据实际问题的背景建立三角形的模型，再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特别注意结果要符合题意，并带上单位变式1为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位置，如图 4-37所示，在海岸上选取距离1km的两个观测点 C, D,在某天10： 00观察到该航船在 A处，此时测得 A

6、DC 30o, 2分钟后，该船行驶到B处，此时测得ACB 60o, BCD 45o ADB 60o,则船速为.(km/min).最有效训练题.在 ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,若角A, B,C依次成等差数歹U,且a 1,b J3,则SVABCA. 2B. C. 3 D -22. ABC 的三个内角 A,B,C 所对边分别为 a,b, c, asin Asin B b cos2 A J2a,则b a TOC o 1-5 h z A2,3B.2 2C.3D. 2c c c3.已知 ABC的二边长分力1J为 a,b,c,且面积S abc _(b c a ),则 A ().4A.15o

7、B.30oC.45oD.1200 4 .若 ABC的内角A, B,C所对边分别为a,b,c满足(a b)2 c2 4且C 60,则ab的值为(.42A.B.8 4 3C.1D.-335.在 ABC 中，sin2 A sin2 B sin2 C sin Bsin C ,则 A的取值范围是()A.。6B.一, )6D.一, )36.在锐角 ABC中，已知A B C,则cosB的取值范围为(7.在ABC中，若 A 120o,c 5, ABC的面积为5J3 ,则a .在 ABC中，角A, B,C所对边分别为a,b,c如果c J3a,B 30o,那么角C等于.已知 ABC的一个内角为120,并且三边长构成公差为 4的等差数列，则ABC的面积为a b.在 ABC中，角A, B,C所对边分别为a,b,c,若a csin A ,则a_b的最大值为 cuuu uur.在 ABC 中，已知 AB AC 2,S ABC 2.C(1)求 tan A 的值；(2)若 sin B 2cos Asin