控制工程实验-第10章

1、控制工程基础控制工程基础第十章 计算机控制系统 利用计算机代替常规的模拟控制器，使它成为控制系统的一个组成部分，这种有计算机参加控制的系统简称为计算机控制系统。 计算机控制系统是以自动控制理论与计算机技术为基础的，目前控制系统都在向基于计算机控制的方向发展。 计算机控制系统的控制规律是由计算机来实现的，它可以实现常规控制方法难以实现的更为复杂的控制规律，可以避免模拟电路实现的许多困难。本章介绍的内容：1、计算机控制系统发展过程及结构和组成2、面向计算机的数学模型：离散时间系统（输入输出及状态空间模型）3、离散时间系统的稳定性分析4、计算机控制系统的模拟化设计方法 - 数字PID控制器10.1

2、计算机控制系统概述本节要点：1、计算机控制系统的发展过程2、计算机控制系统的组成3、计算机内信号的处理和传递过程4、计算机控制系统理论计算机控制系统的发展过程 开创期1955年 直接数字控制期1962年 小型计算机控制期1967年 微型计算机控制期1972年 数字控制普遍应用期1980年 集散型控制期1990年计算机控制系统的分类 按功能分：数据采集系统，操作指导控制系统，监督控制系统，直接数字控制系统(DDC)等。 按控制规律分：程序控制，数字PID控制，有限拍控制，极点配置控制，复杂规律控制等。 按结构形式分：集中型计算机控制系统，分散型（或分布式）计算机控制系统等。 按控制方式分：开环控

3、制，闭环控制 计算机控制系统由数字控制器、执行器、被控对象、测量环节等组成。 数字控制器用计算机实现，一般由计算机核心硬件、控制算法（或称控制律，由计算机程序实现）、模-数(A/D)转换器、数-模(D/A)转换器组成。输出反馈计算机控制系统结构框图 采样时刻： 把实测信号转换成数字形式的时刻。 采样周期： 两次相邻采样之间的时间，记作 。最常用的是周期性采样。 表示参考输入信号（给定信号） 表示系统的反馈信号 表示偏差信号 表示控制信号)(tuc)(ty)(te)(tuT10.1.1 计算机内信号的处理和传递过程)()()(tytutec模拟偏差信号（模拟信号指时间、幅值均连续的信号）其他,

4、0, 2 , 1 , 0,),()(*kkTttete 是 经过采样后得到的离散模拟偏差信号（离散模拟信号又称采样信号，指时间离散、幅值连续的信号）)(te 是量化以后的数字偏差信号（数字信号指时间、幅值均离散的信号）。转换的精度取决于A/D转换器的位数。 从模拟信号变成数字信号由A/D转换器完成，A/D转换器送给计算机处理的是一个时间序列。 是计算机按一定控制算法计算出的数字控制信号。 是由 经过数-模转换变成的离散模拟控制信号。 是 经过保持器变成的模拟控制信号。 从数字信号变成模拟信号由D/A转换器完成。 计算机内信号的主要处理过程包括采样、量化、运算和保持。采样和量化由A/D转换器完成

5、，运算在计算机的CPU内进行，而计算机输出信号经D/A转换器通常在采样间隔内保持不变。)(kTe)(kTu)(*tu)(kTu)(tu)(*tu10.1.2 采样 采样：指每隔一定的时间间隔把连续信号抽样成采样信号的过程。 理想采样器：理想采样器是一种数学抽象。 单位脉冲序列：理想采样器图示0)()(kTkTtt采样示意图0)()(kTkTtt0)()()(kkTtkTete 采样信号 可以看成是 和 的乘积。在 时刻的脉冲冲量为 ，而 表示出脉冲发生的时刻。 理想采样器的工作过程是把输入的模拟信号变成一串脉冲。 采样周期应该满足采样定理，否则会发生混叠现象。 采样定理：采样后的离散信号能够恢

6、复原连续信号的条件是采样频率要高于信号中最高频率的2倍。 即如果连续信号 的傅里叶变换在 以外为零，则当采样角频率 大于 时，此信号完全可由其等周期采样点上的值唯一确定。 乃奎斯特频率:)(tT)(tekTt )(kTe)(kTt )(tf),(00s022sN)(*te连续信号 与采样信号 的频谱)(tf)(*tf10.1.3 量化 量化：把离散模拟信号转变成数字信号的过程。 量化精度取决于A/D转换器的位数 。当位数足够多时，转换可以达到足够高的精度。 量化单位：其中， 分别表示转换器输入的最大值和最小值。 量化误差：12minmaxnyy2minmax, yyn10.1.4 保持 保持：

7、把离散模拟信号转变成模拟信号的过程。 保持器：实现保持作用的电路。保持器起外推器的作用，根据过去时刻的离散值，外推出采样点之间的数值。 零阶保持器(Zero Order Holder，缩写为ZOH)：把 时刻的信号一直保持到 时刻前的瞬间，其外推公式为TtkTutkTu0, )()(kTTkT 零阶保持器的单位脉冲响应 零阶保持器的传递函数 零阶保持器的频率特性 零阶保持器的幅频特性和相频特性 零阶保持器具有低通特性和相位滞后特性。)( 1)( 1)(0TtttgsetgLsGTs1)()(00jejGTj1)(022sin)(0TTTjG2)(0TjG10.1.5 计算机控制系统理论 由于数

8、字信号所固有的时间上离散、幅值上量化的效应，从而使得计算机控制系统与连续控制系统在本质上有许多不相同的性质。 计算机控制系统中包含有数字环节，即是典型的数字控制系统，对时变非线性的数字环节进行严格的分析十分困难。若忽略数字信号的量化效应，则计算机控制系统可看成是采样控制系统。 建立一种表达法来研究采样控制系统。首先把执行器、被控对象用传递函数来表示，A/D 转换器表示成一个理想的采样器，D/A转换器表示为一个采样器后接零阶保持器的理想采样保持电路，计算机则表示成一个能把一种冲激调制信号变换成另一种冲激调制信号的系统，计算机中实现的算法用 表示。 经过上面的表述，计算机控制系统变成下图所示的采样

9、控制系统。)(zD 在采样控制系统中，如果将其中的连续环节离散化，则整个系统便成为纯粹的离散时间系统。 离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时 间信号。 计算机控制系统理论主要包括离散系统理论、采样系统理论及数字系统理论。离散系统理论是计算机控制系统的理论基础，主要指对离散时间系统进行分析和设计的各种方法研究，主要包括：差分方程，z 变换理论，离散系统的性能分析，离散状态空间理论，以 z 传递函数作为数学模型的离散化设计方法，基于 z 传递函数及离散状态空间模型的极点配置设计方法、最优化设计方法等。 10.2 线性离散系统的数学模型和分析方法 大多数计算机控制系统可以用线性离散时不变系统的数

10、学模型来描述。对于单输入单输出线性离散时不变系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。 本节要点：1、线性离散系统的数学模型 线性常系数差分方程2、线性差分方程的解法3、 z 变换的定义及性质4、连续时间信号离散化的方法5、脉冲传递函数的定义6、连续系统离散化的方法7、离散系统的脉冲传递函数10.2.1 线性离散系统的数学描述 单输入单输出线性离散时不变系统的输入输出关系可以用线性常系数差分方程描述 上述差

11、分方程为 阶差分方程。所谓线性离散系统，即表征离散系统特性的差分方程满足叠加原理。差分方程可写成紧缩算子形式： 其中， 是引入的后移算子 )()()()()()(101mTkTubTkTubkTubnTkTyaTkTyakTymn)()()()(11kTuqBkTyqAnnqaqaqA1111)(mmqbqbbqB1101)() 1()(1kykyqn 齐次差分方程：差分方程右端各阶差分项的系数均为零。表征线性离散系统在没有外界作用的情况下系统的自由运动，反映了系统本身的固有特性。 非齐次差分方程：差分方程右端各阶差分项的系数不全为零，即包含输入作用。10.2.2 线性差分方程的解法 线性差分

12、方程的解法主要有迭代法、古典法和变换法。1、迭代法 已知差分方程和输入序列，并且给出输出序列的初始值，就可以利用迭代关系逐步计算出所需要的输出序列。该方法便于计算机运算，但不能得到数学解析式。例：已知差分方程 输入序列为 ，初始条件 为 ，试用迭代法求解差分 方程。解：逐步以 代入差分方程，则有 利用迭代法可以得到任意 时刻的输 出序列 。 )(2)()2()(TkTukTuTkTykTy0, 00,)(kkkkTu, 3 , 2k, 7)3(, 4)2(, 0)(, 0)0(TyTyTyy0)()0(TyykT)(kTy2、古典法 线性常系数差分方程的全解由齐次方程 的通解 和非齐次方程的特

13、解 两部分组成，即 其中特解可用试探法求出，关键在于求出齐次方程的通解。 阶线性差分方程的特征方程为 设 为特征方程的根。根据特征根的不同情况，齐次方程的通解形式也不同。)(1kTy)(2kTy)()()(21kTykTykTy011nnnaqaqniqi, 2 , 1,0)()(1kTyqAn (1) 无重根时，即 ，则通解为 式中待定系数 ，由 的 个初始条件确定。jiqqji,nikiiknnkkqcqcqcqckTy1 22111)(nici, 2 , 1,n)(kTy(2) 全为重根时，即 ，则通解为 式中待定系数 ，由 的 个初始条件确定。nikiiknnkkqkcqkckqcqc

14、kTy1 111112111)(iqqi,1nici, 2 , 1,)(kTyn(3) 有 个重根，其余的不是重根，即则通解为 其中， 为待定系数。rjiqriqqji,1rrinrikiikiiqcqkckTy11111)(nici, 2 , 1,一般情况，假设 是特征方程的 重根，那么在通解中相应于 的部分将有 项，即 假设 阶差分方程的特征方程具有 个不同的根 ， 的阶数为 ， ，则差分方程的通解为 式中待定系数 ，由 的 个初始条件确定。nliqiqlljkijljkilkilkilqkAqAqkAqkA1 2211r), 2 , 1(riqiiqlnlrii1riljkijlijii

15、qkAkTy111)(), 2 , 1, 2 , 1(ljriAij)(kTyn从上面讨论中，可以归纳出解线性常系数差分方程的古典法如下：(1) 求齐次方程的通解 ；(2) 求非齐次方程的一个特解 ；(3) 利用 个初始条件或根据起始条件利用迭代法求出的初始条件确定通解中的 个待定系数。非齐次方程的特解反映了离散系统在外界作用下的强迫运动。 )(1kTy)(2kTynn例：考虑二阶差分方程 ，求差分方程的解。解：特征方程为 特征根为 齐次方程的通解为 设特解为 ，代入方程试探 kkTyTkTyTkTy3)(2)(3)2(0)()0(Tyy0)2)(1(232qqqq2, 121qqkcckTy

16、2)(211kckTy3)(2kkkkc3323331解得方程的全解为代入初始条件得 因而非齐次差分方程的解为0,321221)(kkTykk02320212121cccckkcckTy3212)(2121c3、变换法 在连续系统中引入拉氏变换使得求解繁杂的微、积分问题变成了简单的代数运算。在求解差分方程时，同样可以用变换法，引入 z 变换后，可以使求解差分方程变得简便。Zz10.2.3 z 变换 类似于连续时间函数的拉氏变换，对离散信号（是时间上不连续的“序列”）也有相应的z变换。z变换是离散系统分析与综合的重要工具，通过z变换在复数域内分析问题有时比直接在时域内分析更为简便，其主要局限性是

17、它只能提取采样时刻的幅值信息，不能提供采样间的波动信息。1、定义 在线性离散系统中，可以对采样信号作拉氏变换，采样信号表达式为 令 ，则 称为 的离散拉氏变换。一般称 为离散时间序列 的 z 变换。 是复变量 的函数。 0*)()()(kkTtkTytysTez)()()()(0*kTyZzkTysYzYkk)(zY)(*ty)(kTy)(zY 000*)()()()(kskTkstekTydtekTtkTytyL)(zYz典型信号的 z 变换（1）单位脉冲时间序列 则 延迟的单位脉冲时间序列 则0 00 1)(kkkT1)(kTZ 00 1)(其他nknTkTnznTkTZ)(（2）单位阶跃

18、时间序列 0 00 1)( 1kkkT0111)( 1 kkzzkTZ（3）单位斜坡时间序列 kTkTy)(2110)1 ()(zTzzkTkTyZkk（4）衰减指数序列kTekTy)(1011)(zezekTyZTkkkT（5）指数序列kakTy)(1011)(azzakTyZkkk2、z 变换的性质设(1) 线性性质z 变换是一种线性变换，即 )()()()()()(zYzXkTyZkTxZkTykTxZ)()(),()(kTYZzYkTxZzX(2) 滞后性质设 时，则滞后 步序列的 z 变换为 代表滞后（延迟）环节，表示把信号延迟 个采样周期。0kT0)(kTy)()(zYznTkTy

19、Znnznn(3) 超前性质超前 步序列的 z 变换为 代表超前环节，表示输出信号超前输入信号 个采样周期。nznn) 1() 1 ()0()()(1nzyyzyzzYznTkTyZnnn(4) 象函数尺度变化规则(5) 初值定理(6) 终值定理(7) 卷积定理 )()(zaYkTyaZbTbkT)(lim)0(zYyz)()1 (lim)(lim)(11zYzkTyyzk0)()()()(iiTkTyiTxkTykTx)()()()(zYzXkTykTxZ3、由连续时间信号的拉氏变换求相应 采样序列的z变换 已知连续时间信号 的拉氏变换为 ，对 取拉氏反变换得到 按采样周期 对 采样，得到相

20、应采样序列 ，对 取 z 变换，得到 。记作 )(ty)(sY)(sY)(tyT)(ty)(kTy)(kTy)(zY)()(sYZzY 与 关系示意图 )(sY)(zY(1) 部分分式法 如果已知某函数的拉式变换 ，先把它分解为一些基本的部分分式 然后再分别求出其相应的原函数 。对 离散化得 ，对 求 z 变换。由 z 变换的线性性质可得)(sYniisYsY1)()()(tyi)(tyi)(kTyi)(kTyiniizYzY1)()(例： 对 采样得 因此 assaKassKsY11)()()1 ()()(1ateaKsYLty)( 1 ()(akTekTaKkTy)(ty)(1()1 (1

21、)()(aTaTaTezzzeaKezzzzaKkTyZzY(2) 留数计算法由复变函数中留数定理可知，函数 除有限个极点 外，在某域G内是解析的，则 C为G内的一段封闭积分回路，应包含 的所有极点。 表示函数在极点 的留数。 等于 在 各极点处的留数之和。留数的计算方法因是否有重极点而异。iTSsscTszesYdszesYjzYi1111)(sRe11)(21)(iss )(sYnisi, 2 , 1,Reisss)(zY)1 ()(1zesYTs)(sY)(sY如果 在 处有 阶极点，则如果 在 处只有一阶极点，则如果 具有 个不同的极点 每个 的阶数为 （ 时为单极点），则111111

22、)()()!1(1lim11)(RezesYssdsdrzesYsTsrirrissTsssiiiiin)(sYiss ir1111)()(lim11)(RezesYsszesYsTsissTsssii)(sYiss )(sY), 2 , 1(nisiisir1irniTsrirrisszesYssdsdrzYiiii111111)()()!1(1lim)(例：已知某连续时间信号的拉氏变换为 试用留数法求相应采样序列的Z变换。解：)()(assKsY)(1()1 (111111)()(lim11)(lim)(11110aTaTaTaTasaTsezzazeKzezaKzeassKaszeass

23、KszY1, 2, 02121rrnass例：已知某连续时间信号的拉氏变换为 试用留数法求相应采样序列的Z变换。解：)(1)(2asssY)() 1() 1(11)(1)(lim11)(1)!12(1lim)(2222121220aTaTasaTsezazzazzaTzeassaszeasssdsdzY1, 2, 02121rrnass4、Z 反变换(1) 幂级数展开法（长除法）把 展开为 的幂级数， 的系数相应于在第 个采样时刻的时间函数的值。幂级数展开法只能得到离散时间序列的前若干项，得不到序列的数学解析式。)()(1zYZkTy01110110)()()()0()(kkknnnmmmzk

24、TyzkTyzTyyazazabzbzbzY)(zY1zkzkzk例：1)(1 1)(21kTyzzzzzY(2) 部分分式法 设 是 的有理分式，当其实根是互不相同的情形时，利用部分分式法求z反变换的步骤为： 展开 其中 把展开式乘以 ，得： 反演展开式，得： )(zYniiizzczzY1)(zzYzzcizzii)()(limniiizzzczY1)(znikiiniizckTykTy11)()(z例：0,) 1( 1 . 0)37(43. 0)(11 . 03743. 0)(111 . 037143. 0)(7432)(22kkTyzzzzzYzzzzYzzzzzYkk(3) 留数计算

25、法由留数定理，得:积分回路C应包含被积式中的所有极点。 是 的极点。 等于 的各极点留数之和。1)(kzzY)(kTy)( sRe)(21)(11kizzckzzYdzzzYjkTyiiz1)(kzzY如果 在 处有 阶极点，则如果 在 处只有一阶极点，则如果 具有 个不同的极点 每个 的阶数为 （ 时为单极点），则1111)()()!1(1lim)(RekrirrizzkzzzzYzzdzdrzzYsiiiii1)(kzzYizz ir), 2 , 1(niziizir1irnikrirrizzzzYzzdzdrkTyiiii1111)()()!1(1lim)(1)(kzzYizz 11)(

26、)(lim)(RekizzkzzzzYzzzzYsii1)(kzzYn例：求 的Z反变换。解：当 时， 当 时，)2() 1(1)(2zzzY1,2)2() 1(1)2(lim)2() 1(1) 1()!12(1lim)(11221221kkzzzzzzzzdzdkTykkzkz1, 2, 3, 0, 2, 1321321rrrnzzz1k0k0, 0)2() 1(1lim)2() 1(1)2(lim)2() 1(1) 1()!12(1lim)(1201221221kzzzzzzzzzzzzdzdkTyzzz1, 2, 2, 12121rrnzz5、用 z 变换求解差分方程 利用z变换中的滞后

27、和超前定理，以及已知函数的z变换，可以求解线性常系数差分方程的解。它把解差分方程变为以z为变量的代数运算问题。考虑差分方程：对差分方程两边作z变换： )()()()()()(101kTubTmTkTubmTkTubkTyaTnTkTyanTkTymn)()()()()()(101kTuZbTmTkTuZbmTkTuZbkTyZaTnTkTyZanTkTyZmn由超前定理，得： )()()()()0()()(1zPzYzzTiTyzTyzyzYziTkTyZiiiii1, )()()(0111azBzPazYazazniiinnnn)()()()()()()(11111zAzBzAzNazazz

28、BazazzPazYnnnnnnniiin)()()()()(11zAzBZzAzNZkTy例：用z变换求解差分方程解：对差分方程两边求z变换，得:)( 1)(, 2)0(),()(8 . 0)(kTkTuykTukTyTkTy5)8 . 0(3)(8 . 015158 . 012)8 . 0)(1(8 . 02)(1)(8 . 02)(111kkTyzzzzzzzzzYzzzYzzzY10.2.4 脉冲传递函数 在分析线性连续系统时，引入了传递函数的概念，它是线性连续时不变系统的主要数学模型和重要分析工具。同样，在线性离散系统中，引入脉冲传递函数的概念，它是线性离散时不变系统的主要数学模型和

29、重要分析工具。 1、定义 在初始静止的条件下，脉冲传递函数是系统输出脉冲序列的 z 变换 和输入脉冲序列的 z 变换 之比，即 )()()()()(zUzYkTuZkTyZzG)(zY)(zU用脉冲传递函数描述的线性离散系统 在连续系统中传递函数反映了系统的固有动态特性，仅取决于描述线性连续系统的微分方程。同样在离散系统中，脉冲传递函数也反映了系统的固有动态特性，仅取决于描述线性离散系统的差分方程。 对用如下线性常系数差分方程所代表的离散系统 )()()()()()(101kTubTmTkTubmTkTubkTyaTnTkTyanTkTymn当考虑初始条件为零时，两边取z变换得 系统的特征方程

30、为由特征方程可求出系统的极点，极点数目等于系统的阶数。由 可求出系统的零点。)()()(11110zAzBazazbzbzbzGnnnmmm0)(zA0)(zB例：求线性离散系统 的脉冲传递函数。解： )(5 . 1)()()2(2)3(kTuTkTuTkTyTkTyTkTyzzzzzG2325 . 1)(在线性连续系统中，系统的传递函数 等于单位脉冲响应函数 的拉氏变换。与连续系统类似，对于线性离散系统，系统的脉冲传递函数 等于单位脉冲响应 的 z 变换。即系统的脉冲传递函数和单位脉冲响应为一z变换对。)(sG)(kTh)()(thLsG)(zG)(th)()(kThZzG线性离散系统的脉冲

31、传递函数和单位脉冲响应2、连续系统的离散化 下面介绍两种由连续系统的传递函数 求其相应离散系统的脉冲传递函数 的方法。 (1) 冲激不变法基本思路：让 和 所代表的系统在采样点具有相同的单位脉冲响应。步骤：a.由 求出连续系统的单位脉冲响应 b.按采样周期 对 采样，得到 ，作为相应离散系统的单位脉冲响应；c.对 取z变换，得到离散系统的脉冲传递函数)(sG)(zG)(sG)(zG)(sG)(thT)(th)(kTh)()(1sGLth)(kTh)()()(1sGLZkThZzG这里用到了 与 是一对拉氏变换对， 与 是一对z变换对的关系。冲激不变法表述为)()()(1sGZsGLZzG)(t

32、h)(kTh利用冲激不变法离散化 示意图)(sG)(zG)(sG利用冲激不变法由 求 ，可以用部分分式法和留数计算法。例：已知某连续系统的传递函数为 试用冲激不变法求相应离散系统的脉 冲传递函数。解：连续系统的单位脉冲响应函数为 对 采样，得： 则离散系统的脉冲传递函数为)(sG)(zGasKsG)(atKesGLth)()(1)(thakTKekTh)(aTakTezKzKeZzG)(2) 带零阶保持器的离散化方法这就是控制信号经D/A变换器转换成模拟量控制被控对象的情形。下面求带零阶保持器的离散化系统的脉冲传递函数。 带零阶保持器的离散化方法示意图设系统的输入为单位阶跃时间序列则经过零阶保

33、持器后 )( 1)(kTkTussGLtyssGsYssUttu)()()()(1)()( 1)(1对 采样得 ，并取 z 变换得由于系统输入为单位阶跃时间序列，其 z 变换为因此带零阶保持器的离散系统的脉冲传递函数为)(ty)(kTyssGLZkTyZzY)()()(11)(zzzUssGLZzzUzYzGG)()1 ()()()(110带零阶保持器的离散化方法也可看作是用冲激不变法离散化传递函数为 的广义对象（带有零阶保持器的对象称为广义对象），即 称为广义对象的脉冲传递函数。 )(1)(0sGsesGGTs ssGZzsGseZsGGZzGGTs)()1 ()(1)()(100)(0zG

34、G用带零阶保持器的离散化方法求广义对象的脉冲传递函数的步骤为：1）求时间函数2）对离散时间序列作 z 变换3) 乘以 得 ssGL)(1ssGLZ)(1)1 (1 z)(0zGG3、系统的脉冲传递函数实际系统常常由一些子系统组成，子系统之间又以一定的方式相互联系着。最基本的联系形式有三种：串联、并联和反馈。首先介绍一些写法。 )()(sGZzG)()()()(2121zGGsGsGZzG（1）串联系统的脉冲传递函数)()()(21zGzGzG)()()()()(2121zGzGsGZsGZzG)()()()(2121zGGsGsGZzG（2）并联系统的脉冲传递函数)()()(21zGzGzG（

35、3）反馈系统的脉冲传递函数 )()(1)()()()(11)()()()()()()()()()()()()()()()(21121212111zUzGGzGzYzUzGGzEzGGzEzUsGsGZzEsUZsBsUZzEzGzEsGZzEzY)()(1)()()(1)()()()()()()()()()()()()()()()()(1321232112321211322122222zUGzGGGzGzYzGGGzUGzEzGGGzEzUGsGsGsGZzEsGsUZzEzGzEsGZzEzY闭环脉冲传递函数 或输出量的z变换 的推导步骤：1）在主通道上建立输出 与中间变量 的关系；2）在闭

36、环回路中建立中间变量 与输 入 或 的关系；3）消去中间变量 ，建立输出 与 或 的关系。)(zE)(zY)(zU)(zE)(zE)(zY)(zU)(sU)(sU)(zY)(zGc 线性离散系统的闭环脉冲传递函数 或输出量的z变换 的分子部分与主通道上的各个环节有关； 线性离散系统的闭环脉冲传递函数 或输出量的z变换 的分母部分与闭环回路中的各个环有关； 采样开关的位置对分子、分母部分都有影响，不仅闭环脉冲传递函数的形式不同，而且会有不能写出闭环脉冲传递函数的情况，只能写出输出量的z变换表达式。 )(zGc)(zY)(zY)(zGc10.2.5 利用脉冲传递函数分析离散 系统的瞬态响应（过渡过

37、程） 与连续系统的时域瞬态响应分析类似，可以用脉冲传递函数来分析离散系统的瞬态响应。当线性离散系统的结构和参数已知时，可求出对应的脉冲传递函数，在输入信号给定的情况下，可以得到输出量的z变换 。经z反变换，就可到系统输出的时间序列 。根据瞬态响应曲线，可以分析系统的动态特性如超调量、过渡时间等。也可以分析系统的稳态特性，如静态误差。)()(),()()(,)()()(1zYZkTyzUzGzYZUzYzG)(kTy)(zY10.3 离散状态空间模型 一个物理系统的数学模型可以用不同的方法来描述。线性离散系统可以用差分方程、脉冲传递函数或离散状态空间模型来表示。传递函数模型在经典控制理论中是常用

38、的，它只适用于线性时不变系统。状态空间模型是现代控制理论的基础，是一种时域模型，它适合于多输入多输出、时变和准线性系统的分析和设计。在引入状态变量和状态空间概念后，系统的数学模型就变成很规则的形式，为系统的理论分析和设计综合带来方便。本节要点：1、离散状态空间模型的概念2、离散状态方程的时域解3、系统的脉冲传递函数矩阵10.3.1 线性离散系统的状态空间模型复习：连续系统的状态空间模型)()()()()()(tDUtCXtYtBUtAXtX离散状态空间模型其中， 分别代表 维状态向量、 维输入向量和 维输出向量； ： 维的状态矩阵（系统矩阵） ： 维的输入矩阵（控制矩阵） ： 维的输出矩阵 ：

39、 维的传输矩阵（直传矩阵）)()()()( )()(kTDUkTCXkTYkTUkTXTkTX)(),(),(kTYkTUkTXnrnnrnCDnmrmm线性离散系统的状态空间模型图状态空间法把系统的特征用 四个矩阵表示，从而把系统的描述规范化了，为分析研究带来方便。 DC, 如果将离散状态空间模型看成是连续状态空间模型经过零阶保持器离散化得到，则离散系统与连续系统的状态矩阵和控制矩阵有如下关系式连续时间状态空间模型离散化框图ATeBdAT0e10.3.2 离散状态方程的时域解 称为线性离散系统的状态转移矩阵。)()0()(101iTUXkTXkiikkk)()( )()()0( )()()0

40、()(110111011110100000000000iTUkXiTUiTUXiTUiTUXkTXkkiikkkkkiikkiikkkkkkiikkiikkkk10.3.3 系统的脉冲传递函数矩阵对离散状态空间模型取 z 变换，得到离散状态模型的 z 域解：状态转移矩阵计算公式：系统的脉冲传递函数矩阵：离散系统的 z 特征方程：)(11zzIZk)()()()( )()0()()(11zDUzCXzYzUzIzXzIzXDzICzG1)()(0zI说明：1、状态变量表征系统本身的特征，状 态变量的选取不是唯一的。2、状态变量的个数等于系统的阶数。3、尽管系统的状态变量的选择不唯一， 但系统的

41、z 特征方程是不变的。4、表达同一线性系统的不同状态空间 模型之间存在着线性变换关系。 例：设离散系统的状态空间表达式为初始条件为零，求线性离散系统的脉冲传递函数矩阵及单位阶跃输入时的输出响应解：)(1011)()(10)(3 . 04 . 010) 1(kXkykukXkXzzzzzzzI4 . 013 . 0)5 . 0)(8 . 0(13 . 04 . 01)(11单位阶跃输入时，)5 . 0)(8 . 0()5 . 0)(8 . 0(1)()(1zzzzzzDzICzG1)(zzzU对上式作z反变换得)5 . 0(9 . 3)8 . 0(9 . 312) 1(9 . 313)5 . 0

42、(1310)8 . 0(1310)()()(zzzzzzzzzzzUzGzY0,)5 . 0(3910)8 . 0(1340310)5 . 0(1310)8 . 0(1310)(kkTykkkk10.4 线性离散系统的稳定性分析本节要点：1、s平面与z平面的映射关系2、线性离散系统稳定的充要条件3、线性离散系统的稳定性代数判据4、线性离散系统的性能分析10.4.1 s平面与z平面的映射关系s平面z平面极点：极点： 虚轴：单位圆上：右半平面：单位圆外：左半平面：单位圆内：sTez jsjrezTerT,0001 z1 z1 z s平面与z平面之间的映射关系是“多对一”的关系，即在 s 左半平面上

43、每个宽 的带子都映射到 z 平面上同一单位圆内。 是采样角频率 的周期函数，当s平面上 不变，角频率 由0变到无穷时， 的模不变，只是相角作周期性变化。设则 ，即 在复平面上是同一个点。T2, 2 , 1 , 0 ,212NNTjssTsTsee21zsszTsTsee21,10.4.2 线性离散系统稳定的充要条件线性离散系统稳定的充要条件是特征方程的全部根或闭环 z 传递函数的全部极点都分布在 z 平面上以原点为圆心的单位圆内。 说明：设闭环脉冲传递函数为 系统的特征方程为 )()()(*sUsYzUzYzGc）0)(*sU设特征根为 ，则系统稳定的充要条件是全部特征根都位于s左半平面。根据

44、 s-z 平面的映射关系，设 s 平面上左半平面的 映射到 z 平面上为 。则 是特征方程 的根。稳定系统的特征根必然分布在 z 平面上以原点为圆心的单位园内。nsss,21nsss,21nppp,21nppp,210)(zU线性离散系统的动态性能分析极点对应的单位脉冲响应序列线性离散系统的动态特性取决于闭环脉冲传递函数极点在 z 平面上分布的情况 单位圆内的极点对应的单位脉冲响应是衰减序列，而且极点越接近原点，输出衰减越快，系统的响应时间越快。反之，极点越接近于单位圆周，输出衰减越慢，系统过渡时间越长。 当极点分布在单位圆内左半平面时，虽然单位脉冲响应是衰减的，但是由于交替变号，过渡特性不好

45、。因此设计线性离散系统时，应该尽量选择极点在单位圆内的右半平面，而且尽量靠近原点。 单位圆上和单位圆外的极点对应的单位脉冲响应是等幅或发散序列。例：设线性离散系统的 z 特征方程为试判断系统的稳定性。解：由z 特征方程可求得特征根由于特征根全部位于 z 平面上以原 点为圆心的单位圆内，所以系统稳定。0)3 . 0)(56. 01 . 0)(63. 0(22zzzzz3 . 0, 8 . 0, 7 . 0,618. 05 . 05432, 1pppjp10.4.3 线性离散系统稳定性的代数判据 离散系统稳定的充分必要条件是特征方程的根全都位于z平面内以原点为圆心的单位圆内。当离散系统阶数比较低时

46、，可以直接求出特征根。但是当系统的阶数较高时就很难直接求出特征根。在工程上经常希望不经过解特征方程而能找到一些间接的方法，例如代数判据法(Schour-Cohn，Jury)，或通过双线性变换 把z平面问题变成s平面的问题，再用连续系统的稳定判据等。)1 ()1 (wwz朱里(Jury)代数判据如果已知一个系统的特征多项式Jury把它的系数排列成如下的算表：- 0011110aaaaaaaaaannnnnn nnnazazazA11010111101211111110nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa-其中，10111110aaaa10111aa00ainikkkkkikkkikiaaa

47、aaaaa,011, 1 , 0, 2 , 1,kinkaanmnJury稳定性判据：如果 ，方程 的根全部位于单位圆内的充分必要条件是：算表中所有奇数行的第一个元素都是正数。如果这些元素中有的为负数，则负元素的个数代表方程中含有在单位圆以外根的个数。 nnnazazazA11000a例：已知特征方程为求使二阶系统稳定的系数 的范围。 解：写出Jury算表为 0)(212azazzA222122211222121222212211)1 (111)1 ()1 (111aaaaaaaaaaaaaaaaa21,aa如果要求特征方程的根全在单位圆内，则必须满足： 即0)1(110121222222aa

48、aaa12122111aaaaa系数 和 使此二阶系统稳定的区间如下图所示。 2a1a10.5 计算机控制系统的 模拟化设计方法 计算机控制系统的的设计是指在给定系统性能指标的条件下，设计数字控制器，使系统达到要求的性能指标。计算机控制系统的设计方法包括：模拟化设计方法、离散化设计方法（最少拍设计）、基于输入输出模型的极点配置设计方法、基于状态空间模型的极点配置设计方法、最优化设计方法等。 所谓计算机控制系统的模拟化设计方法就是首先设计出符合技术要求的连续控制系统，再用离散时间控制器近似连续时间控制器。 本节要点：1、计算机控制系统模拟化设计的概念 及前提条件2、线性离散系统的误差特性分析3、

49、数字校正装置的近似设计方法4、对数频率特性法校正5、数字PID控制器 模拟化的设计方法就是首先按照连续控制系统的设计方法如对数频率特性法、根轨迹法等设计出符合技术要求的连续校正环节 ，再用相应的数字校正环节 去代替连续校正环节。 逼近 的程度取决于采样速率和离散化的方法。相应于连续控制系统中广泛应用的PID控制器，计算机控制系统中也有数字PID控制器。)(sD)(zD)(zD)(sD连续控制系统框图代替连续控制系统的采样控制系统框图将采样控制系统中的连续环节离散化得到的离散控制系统框图 模拟化设计的理论基础： 通常计算机的运算速度相对于控制对象是足够高的，经过运算不会降低精度，也不会产生大的滞

50、后。对于A/D和D/A，可以根据精度和信息带宽的要求，选择具有相应位数和适当转换速度的转换器，经过转换的信息不会带来大的误差和滞后。但当信息经过保持器时，会产生幅值衰减和相位滞后。 可以证明当系统的通频带 比采样角频率 低很多时，可以忽略零阶保持器的影响。ms 典型的计算机控制系统，尽管是一个离散系统，但只要合理选择计算机控制系统的元部件，选择足够高的采样频率，离散的计算机控制系统可以近似看成连续系统。 把计算机控制系统近似看成连续系统，计算机控制系统的设计就可以按照连续系统的设计方法，求出连续校正环节的传递函数后，对其离散化，由计算机实现数字控制规律。10.5.1 离散系统的误差特性分析考虑

51、单位反馈控制系统，其误差脉冲传递函数为误差为)()()(11)(0zUzGGzDzEc)()(11)(1)()()(0zGGzDzGzUzYzGcce 如果 z 特征方程 根全部位于以原点为圆心的单位圆内，则此闭环系统是稳定的。 系统的误差除与系统的结构、环节的参数有关外，还与系统的输入型式有关。 系统在各采样时刻的误差值，可以由 展开式的各项系数来确定。 利用 z 变换的终值定理可以分析系统在各种输入条件下的稳态误差。 0)()(10zGGzD)(zE离散控制系统的类型在连续控制系统中，根据开环传递函数中包含的积分环节的个数来定义系统的型次。 由于z平面内z=1的极点对应于s平面内s=0的极

52、点，因此，对于离散系统，可根据开环脉冲传递函数中包含 z=1 的极点数目来定义离散系统的型次，如将开环脉冲传递函数中含有 z=1 的极点数用 来表示，把 的系统分别称为0型、I型、II型、III型系统。, 3 , 2 , 1 , 0vv静态位置误差系数离散系统对单位阶跃输入的稳态误差为定义静态位置误差系数为静态位置误差系数可以根据开环脉冲传递函数直接求得。它反映了系统在单位阶跃输入时稳态误差的大小。用静态位置误差系数表示的单位阶跃输入下的稳态误差为pssKe11)()(11) 1(lim)(lim01zzzGGzDzkeezkss)()(1 lim01zGGzDKzp型及以上系统型系统IzGG

53、zDKzp,0),()(1 lim01型及以上系统型系统IKepss, 00,1单位阶跃输入时的稳态误差为静态速度误差系数离散系统对单位速度输入的稳态误差为定义静态速度误差系数为用静态速度误差系数表示的单位速度输入下的稳态误差为vssKTe 201) 1()()(11) 1(lim)(limzTzzGGzDzkeezkss)()() 1(lim)()(1)1(lim0101zGGzDzzGGzDzKzzv型及以上系统，型系统型系统IIIzGGzDzKzv),()() 1(lim0, 000型及以上系统型系统型系统IIIKTevss, 0,0,单位速度输入时的稳态误差为静态加速度误差系数离散系统对单位加速度输入的稳态误差为定义静态速度误差系数为用静态速度误差系数表示的单位速度输入下的稳态误差为assKTe2)()() 1(lim)()(1 ) 1(lim021021zGGzDzzGGzDzKzza2201) 1()()(11) 1(lim)(limzzTzGGzDzkeezkss型及以上系统，型系统型系统型和IIIIIzGGzDzIKza),()() 1(lim0, 0021型及以上系统型系统型系统型和IIIIIKTIeass, 0,0,2单位加速度输入时的稳态误差为 对闭环系统稳态误差的要求决定了 的结构形式。)(zD10.5.2 数字校正装置的近似设计方法 当采