博弈论与信息经济学混合均衡

1、博弈论与信息经济学第2章 完全但不完美信息静态博弈-2混合战略纳什均衡主要内容 占优战略均衡、重复剔除的占优均衡 纳什均衡 库诺特寡头竞争模型 混合战略纳什均衡 纳什均衡的存在性和多重性 聚点均衡和相关均衡纯战略纳什均衡 纳什均衡定义为一个满足所有参与人的效用最大化要求的战略组合，即(s1*，.，si*, .，sn*)是一个纳什均衡，当且仅当对于所有的i，si* argmax ui(si，s-i*)。 根据这一定义，有些博弈不存在纳什均衡。社会福利博弈 参与人：政府和一个流浪汉 博弈规则：流浪汉有两个战略: 寻找工作或游荡；政府也有两个战略: 救济或不救济。政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试

2、图寻找工作，否则，前者不予帮助；而流浪汉只有在得不到政府救济时才会寻找工作。政府和流浪汉同时选择各自的战略或行动。 表1.12给出了这个博弈的支付矩阵。 既没有占优战略组合，也没有纯战略纳什战略组合。纯战略与混合战略 纯战略(pure strategy)：如果一个战略规定参与人在每一个给定的信息情况下只选择一种特定的行动，我们称该战略为纯战略，si: i ai。 混合战略(mixed strategy)：如果一个战略规定参与人在每一个给定信息情况下以某种概率分布随机地选择不同的行动，我们称该战略为混合战略，si: i m(ai)，其中m0, Ai m(ai)dai=1。 在博弈的战略式表述中，

3、混合战略可以定义为在纯战略空间上的概率分布。在静态博弈里，纯战略等价于特定的行动，混合战略是不同行动之间的随机选择(randomization)战略。 混合战略 定义: 在n个参与人博弈的战略式表述G = S1, ., Sn；u1, ., un中，假定参与人i有K个纯战略: Si = si1, ., siK，那么，概率分布i = (i1，., iK)称为i的一个混合战略，这里ik =(sik)是i选择Sik的概率，对于所有的k = 1，., K，0ik 1，1Kik = 1。 纯战略可以理解为混合战略的特例，比如说，纯战略si1等价于混合战略i = (1，0，.，0)，即选择纯战略si1的概率

4、为1，选择任何其他纯战略的概率为0。 混合战略空间 i代表i的混合战略空间(ii), i = 1i，2i，。 = (1，., i, ., n)代表混合战略组合(mixed strategy profile)，其中i为i的一个混合战略, = 1ni代表混合战略组合空间() = 1，2，。笛卡尔积 笛卡尔积(Cartesian product)是一种用给定的集合构造新集合的方法，用n元组的集合来定义。 设A1, A2, , An是n个任意集合， A1, A2, , An的卡氏积定义为所有由第一个元素a1取自A1，第二个元素a2取自A2，第n个元素an取自An的序列n元组(a1, a2, , an)

5、构成的集合，记为A1A2An或Ai，i = 1, 2, , n。 Ren Descartes(1596-1650)是法国数学家、哲学家、物理学家、生理学家、心理学家、天文学家，解析几何的创始人。集合与n元组 一些对象组成的全体就是一个集合，这些对象称为集合的元素。N，Z，R分别表示由自然数，整数和实数组成的集合，表示不含任何元素的空集。当一个对象a是集合A的元素时，记为aA。集合的表示方法是把元素放在花括号中。 集合中的元素是无次序的，而元素间的次序常常是非常重要的。由若干个元素组成的有序结构，称为n元组，如(a1, a2, , an)是由n个元素a1, a2, , an组成，其中a1是第一个

6、元素， a2是第二个元素，an是第n个元素。混合战略的期望效用混合战略的期望效用 与混合战略相伴随的是支付的不确定性，因为一个参与人并不知道其他参与人的实际战略选择。 我们用i() =i(i, -i)表示参与人i的期望效用函数(其中，-i = (1，., i-1, i+1, ., n)是除i之外所有其他参与人的混合战略组合)，i可以定义为： n i(i,-i) = (j(sj)ui(s) sS j=1 两人博弈 假定参与人1有K个纯战略，参与人2有J个纯战略，即S1 = s11, ., s1K，S2 = s21, ., s2J。 如果参与人1相信参与人2的混合战略为2 = (21，., 2J)

7、，那么，参与人1选择纯战略s1k的期望效用为： J 1(s1k,2) = 2ju1(s1k, s2j) j=1 两人博弈 参与人1选择混合战略1 = (11，., 1K)的期望效用为 K J 1(1, 2) = 1k 2ju1(s1k,s2j) k=1 j=1 K J = 1k2ju1(s1k,s2j) k=1 j=1 这里，1k2j是参与人1选择s1k且参与人2选择s2j的概率，即纯战略组合(s1k, s2j)发生的联合概率。 两人博弈 如果参与人1选择1= (11，.,1K)，参与人2选择2 = (21，.,2J)，参与人2的期望效用为: J K 2(1, 2) = 2j 1ku2(s1k

8、,s2j) j=1 k=1 K J = 1k2ju2(s1k,s2j) k=1 j=1两人博弈的混合战略纳什均衡 在两人博弈里，混合战略纳什均衡是两个参与人的最优混合战略的组合，这里，最优混合战略是指使期望效用函数最大化的混合战略(给定对方的混合战略)。换言之，如果* = (1*, 2*)是一个纳什均衡，它必须满足: 1(1*, 2*)1(1, 2*)，11 2(1*, 2*)2(1*, 2)，22混合战略纳什均衡 定义: 在n个参与人博弈的战略式表述G = S1, ., Sn；u1, ., un中，混合战略组合* = (1*,.,i* .,n*)是一个纳什均衡，如果对于所有的i = 1，2，

9、., n, i(i*, -i*)i(i, -i*)， ii 每个参与人的期望效用是自己的混合概率的线性函数 这一点意味着，如果i = (i1，., iK)是相对于给定-i的一个最优混合战略，那么，对于所有的ik 0，下面的期望效用不等式成立: i(sik,-i)i(sik,-i), sikSi 就是说，如果i = (i1，., iK)是相对于给定-i的一个最优混合战略，并且如果这个混合战略规定i以严格正的概率选择纯战略sik，那么，sik本身一定是相对于-i的一个最优战略。 ik 0 ?, 即混合战略规定以非严格正的概率选择sik。若ik等于0，则上式严格不等式成立，sik不进入混合战略；若i

10、k不等于0，则上式的等式成立，sik进入混合战略。两人博弈 在两人博弈情况下，如果1是相对于2 = (21，.,2J)的最优战略，1k 0，则意味着: J J 2ju1(s1k ,s2j)2ju1(s1k,s2j),s1kS1 j=1 j=1 其中，若1k等于0，则上式严格不等式成立，s1k不进入混合战略；若1k不等于0，则上式的等式成立，s1k进入混合战略。无差异性 进一步，因为所有以正的概率进入最优混合战略的纯战略都是最优战略，它们的期望效用是相同的，参与人在所有这些纯战略之间一定是无差异的。就是说，如果i1 0, ., iK 0，那么， i(si1,-i)=i(si2,-i)=.=i(s

11、iK,-i) 反过来，若参与人有几个纯战略是最优的，它们的期望效用是相同的，那么，任何以正的概率选择其中一些或所有这些纯战略的混合战略也是最优的。混合战略纳什均衡 根据上述道理，纳什均衡也可以表述如下: 定义: * = (1*,.,i* .,n*)是一个纳什均衡，如果对于所有的参与人i， i(i*, -i*)i(sik, -i*)， sikSi 若ik等于0，则上式严格不等式成立，sik不进入混合战略；若ik不等于0，则上式的等式成立，sik进入混合战略。混合战略严格占优纯战略如果选择Defense，行参与人可以保证获得支付1。但是，如果采取混合战略（0.5North, 0.5South, 0

12、Defense），如果列参与人以N的概率选择North，以（1-N）的概率选择South，行参与人的支付是2。所以，不论列参与人的反应如何，行参与人选择混合战略的期望支付大于选择纯战略Defense的支付。 混合战略严格占优纯战略博弈如何判断哪个纯战略不进入混合战略？如何判断哪个纯战略不进入混合战略？D是是Row的最劣战略。的最劣战略。因为参与人1选择D和参与人2选择R的概率都是0，所以两个参与人只在两种纯战略间进行混合。社会福利博弈的混合战略纳什均衡 假定政府的混合战略为G = (，1)，即政府以的概率选择救济，以(1)的概率选择不救济，流浪汉的混合战略为L = (,1 -)，即流浪汉以的概

13、率选择寻找工作，以(1-)的概率选择游荡。那么，政府的期望效用函数为: G(G,L)=3+(-1)(1-) +(1-)-1+ 0(1-) =(4 - 1) - (1 ) =(5 - 1) -支付最大化法 对上述效用函数求微分，得到政府最优化的一阶条件为: dG/d = 5 1 = 0 因此， * = 0.2 就是说，在混合战略均衡下，流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，以0.8的概率选择游荡。支付等值法 假定最优混合战略是存在的？给定流浪汉选择混合战略(, 1)，政府选择纯战略救济(即=1)的期望效用为: G(1,) = 3 + (-1)(1 -) = 4 - 1 选择纯战略不救济(即=1)的期

14、望效用为: G(0,) = -1 + 0(1 - ) = - 如果一个混合战略( 0，1)是政府的最优选择，那一定意味着政府在救济与不救济之间是无差异的，即: G(1,) = 4 1 = - =G(0,)支付等值法 上述等式意味着* = 0.2。 就是说，如果 0.2，政府将选择救济；只有当= 0.2时，政府才会选择混合战略( 0，1)或任何纯战略。 解政府的最优化问题，得到流浪汉的均衡混合战略（0.2，0.8）。支付最大化法 为了找出政府的均衡混合战略，我们需要求解流浪汉的最优化问题。给定G = (，1 ), L = (, 1 -)，流浪汉的期望效用函数为: L(G,L)=2+1(1-) +

15、(1-)3+0(1-) =(+1)+3(1) = -(2-1)+3 最优化的一阶条件为 dL/d= -（21）= 0 因此，* = 0.5 支付最大化法 如果0.5，流浪汉的最优选择是游荡；只有当=0.5时，流浪汉才会选择混合战略( 0，1)或任何纯战略。 纳什均衡要求每个参与人的混合战略是给定对方的混合战略下的最优选择。因此，在社会福利博弈中，*=0.5，*=0.2是唯一的纳什均衡。 就是说，在均衡情况下，政府以0.5的概率选择救济，以0.5的概率选择不救济；流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，以0.8的概率选择游荡。 0.2以及 0.5都不构成纳什均衡 假定政府认为流浪汉选择寻找工作的概率严

16、格小于0.2，那么，政府的唯一最优的选择是纯战略不救济；但如果政府以1的概率选择不救济，流浪汉的最优选择是寻找工作，这又将导致政府选择救济的战略，因此 0.2也不构成纳什均衡。同样可以验证 0.5的情形。在支付结果矩阵中，哪种结果更有可能出现？非对称博弈，均衡结果不对称反应对应 上述混合战略均衡也可以用几何图形来表示。当参与人可以选择混合战略时，他选择任何一个纯战略的概率在0与l之间是连续的（因而是无限的），因为这些纯战略的期望效用是相等的。 现在，我们可以使用反应对应(reaction correspondence)的概念来描述一个参与人对应于其他参与人混合战略的最优选择。社会福利博弈的反应

17、对应及均衡 政府和流浪汉的反应对应分别为， 政府：= 0， if 0.2 流浪汉：= 1， if 0.5 在图1.5中，我们画出政府和流浪汉的反应曲线。两条反应曲线的交叉点就是纳什均衡点。=0=1=0=1反应对应与反应函数 反应对应允许一个参与人有多个（甚至无穷多个）战略是其他参与人给定战略的最优选择。 库诺特寡头竞争模型 反应函数(reaction function)表示的是一个参与人只有一个特定的战略是其他参与人给定战略的最优选择。映射(mapping) 映射(mapping)是把一个集合中的元素与另一个集合中的元素联系起来的一种规则。 设A和B是任意非空集合，假定有一个从A到B的联系f，

18、对A中的每一个元素，B中至多有一个元素与之建立这种联系，或者说，对于每个aA，都存在唯一的bB，使得序偶a, bf，这种联系规则称为一个从A到B的映射，记为 f：AB，元素a与b的联系记为f(a)=b。 f的定义域就是A本身，不能是A的真子集；f的值域只要求是B的子集。映射或函数 就映射或函数而言，对于A中的每个元素，有且仅有一条射线由此出发，对应B中唯一的元素（不许一对多）； 而B中的元素，在A中可能没有元素或可能有多个元素与之对应（允许多对一）。ABfABfABf满，但不单多对一单，但不满一对一，B中有元素在A中没有元素与之对应双，既单又满一对一，B中所有元素在A中都有元素与之对应函数、映

19、射与对应 映射是通常数集上函数的推广，对于映射来说，A和B中的元素可以不是数值。 对于函数来说，集合A和B中的元素（也称为点）通常都是数值，在这种情况下，如果f把A中的每一点映射到B中的恰好一点， f称为函数。 函数和映射只把每一点映射到一点，可以一对一或多对一，称为点-点映射或单值映射。 对应是函数和映射概念的一般化，把一个集合A中每一点映射到另外一个集合B中的一点或多点（一对多），称为点-集映射或集值映射。数值对应 给定集合ARN，对应f：ARK是为每一xA指定一个集合f(x)RK的规则。 对于每一xA，如果f(x)由恰好一个元素构成，f(.)可看作通常意义上的函数。 对应的定义允许f(x

20、)=，通常，我们只考虑对于每一xA，f(x)的对应。 对于某种集合YRK，如果对于每一xA，有f(x)Y，用f：AY来表示。数值对应猜谜博弈的纳什均衡 每个参与人的均衡混合战略是以0.5的概率随机地选择任意一个纯战略。 对称博弈：均衡结果对称混合战略严格占优纯战略博弈如何判断哪个纯战略不进入混合战略？如何判断哪个纯战略不进入混合战略？D是是Row的最劣战略。的最劣战略。混合战略组合混合战略组合(1/2N, 1/2S)R, (1/2N, 1/2S)C)是唯一的纳什均衡。是唯一的纳什均衡。因为参与人1选择D和参与人2选择R的概率都是0，所以两个参与人只在两种纯战略间进行混合，混合战略均衡为(3/7

21、U，4/7M)，(3/7L, 4/7M)。判断混合战略是否存在的方法 当混合概率计算为大于1或小于0时，可以认为或者建模者犯了计算错误，或者博弈没有混合战略均衡。 如果不能确定均衡是否是混合的，可以用这种方法证明博弈没有混合战略均衡。疑问 在均衡的情况下，一个参与人选择不同纯战略的概率分布不是由他自己的支付决定的，而是由他的对手的支付决定的。 进一步，每个参与人在所有构成均衡的纯战略之间是无差异的，均衡均衡却要求每个参与人以特定的概率选择纯战略。 既然参与人在构成混合战略的不同纯战略之间是无差异的，他为什么不选择一个特定的纯战略而要以特定的概率随机地选择不同的纯战略呢? 解释-1-战略不确定性

22、 如果一个参与人采取混合战略，他的对手就不能准确地猜出他实际上会选择的纯战略，尽管在均衡点，每个参与人都知道其他参与人选择不同战略的概率分布，参与人选择混合战略的目的是给其他参与人造成不确定性。 事实上，正是因为他在几个(或全部)战略之间是无差异的，他的行为才难以预测，混合战略均衡才会存在。如果他严格偏好于某个特定的纯战略，他的行为就会被其他参与人准确地猜透，就不会有混合战略均衡出现。 解释-2-群体论 流浪汉不是一个，而是一个群体，他们具有相同的趣味和支付函数，政府必须以相同的方式对待每一个流浪汉。 在混合战略均衡中，一个流浪汉以20%的概率选择去工作，以80%概率选择去流浪。 所以，在流浪

23、汉群体中，有20%的流浪汉选择去工作，80%的流浪汉选择去流浪，政府只知道这个比例，但不知道每一个流浪汉的实际偏好。实际上，对流浪汉来说，这是一个纯战略均衡。解释-3 海萨尼(Harsanyi，1973)对混合战略的解释是，混合战略均衡等价于不完全信息下的纯战略均衡。 在前例中，假定有两类特征的流浪汉，一类选择寻找工作，另一类选择游荡；每个流浪汉都知道自己的特征，但政府并不知道流浪汉的准确特征，只知道一个流浪汉有20%的概率属于第一类，有80%的概率属于第二类。 在这种情况下，政府在选择自己的战略时似乎面临的是一位选择混合战略的流浪汉。纯战略均衡与混合战略均衡同时存在 前面我们讨论的是不存在纯

24、战略纳什均衡但存在混合战略纳什均衡的博弈。 有些博弈既存在纯战略均衡，也存在混合战略均衡。所谓的“性别战”就是这样一个博弈。 性别战说的是，一男一女约会，或者去看足球比赛，或者看芭蕾舞演出。男的偏好足球赛，女的偏好芭蕾舞，但他们都宁愿在一起而不愿分开。表1.15给出支付矩阵。 对称博弈：不对称的纯战略均衡结果，对称的混合战略均衡结果纯战略均衡与混合战略均衡同时存在 这个博弈有两个纯战略纳什均衡：(足球，足球)，(芭蕾，芭蕾)。事实上，这个博弈还有一个混合战略纳什均衡，这就是: 男的以2/3的概率选择足球赛，以1/3的概率选择芭蕾舞；女的以1/3的概率选择足球赛，以2/3的概率选择芭蕾舞。 类似

25、性别战这种存在两个纯战略纳什均衡和一个混合战略纳什均衡的博弈的例子还有斗鸡博弈等。 房地产开发博弈在低需求时，也有两个纯战略纳什均衡和一个混合战略纳什均衡。对称博弈：不对称的纯战略均衡结果，对称的混合战略均衡结果奇数定理，oddness theorem 威尔逊(Wilson，1971)证明，几乎所有有限博弈都有有限奇数个纳什均衡。 这一点意味着，一般来说，如果一个博弈有两个纯战略纳什均衡，那么，一定存在第三个混合战略纳什均衡。 0， 0-10， 00， -10-8， -8建模者困境列参与人行参与人抵赖坦白抵赖坦白警察没有证据，甚至不能拘留小偷。有一个弱占优均衡，同时是强纳什均衡；有一个弱纳什均

26、衡，却是一个帕累托占优均衡；有没有混合战略均衡？库诺特(Cournot)寡头竞争模型 在库诺特模型里，有两个参与人，分别称为企业1和企业2，每个企业的战略是选择产量，支付是利润，利润是两个企业产量的函数。 在这个例子中，参与人的战略是连续变量，因而是无限博弈。 我们用qi0,)代表第i个企业的产量，Ci(qi)代表成本函数，P = P(q1 + q2)代表逆需求函数(P是价格，Q(P)是原需求函数)。 两个企业的利润函数为: i(q1, q2) = qiP(q1 + q2) - Ci(qi), i = 1, 2 寡头竞争模型 (q1*，q2*)是纳什均衡产量意味着: q1*argmax1(q1

27、，q2*)=q1P(q1+q2*)C1(q1) q2*argmax2(q1*，q2)=q2P(q1*+q2)C2(q2) 找出纳什均衡的一个办法是对每个企业的利润函数求一阶导数并令其等于零 d1/dq1=P(q1+q2)+q1P(q1+q2)C1(q1)=0 d2/dq2=P(q1+q2)+q2P(q1+q2)C2(q2)=0寡头竞争模型 上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数(reaction function) q1 = R1(q2) q2 = R2(q1) 反应函数意味着每个企业的最优战略(产量)是另一个企业产量的函数。两个反应函数的交叉点就是纳什均衡q* =(q1*，q2*)，如图1.

28、1所示。寡头垄断产量完全竞争产量纳什均衡的多重性 我们说，只有纳什均衡是一致性预期，任何非纳什均衡都不可能成为一致性预期。不过，事实上，许多博弈都存在多个纳什均衡，有些博弈甚至有无穷多个纳什均衡。 考虑两个人分一块蛋糕，每个人独立地提出自己要求的份额。设x1为第一个人要求的份额，x2为第二个人要求的份额，如果x1+x21，每个人得到自已要求的份额；否则，谁也得不到什么。 在这个博弈中，任何满足x1+x2=1的(x1，x2)都是纳什均衡，因而这个博弈有无穷多个纳什均衡，如图1.9所示(注意，x1+x21不是纳什均衡)。预测的困境 博弈分析的目的是预测参与人的合理行为方式。纳什均衡是参与人如何博弈

29、的一致性预测: 如果所有参与人预测一个特定的纳什均衡将出现，那么，没有人有积极性选择非纳什均衡的战略，这个纳什均衡就会实际出现。 但当一个博弈有多个纳什均衡时，要所有参与人预测同一个纳什均衡会出现是非常困难的。在这种情况下，尽管所有参与人都预测纳什均衡会出现，但如果不同参与人预测的不是同一个纳什均衡，实际出现的就不是纳什均衡，而是非纳什均衡。 非合作博弈理论的核心问题 说纳什均衡是一致性预测并不意味着纳什均衡一定是一个好的预测。正如我们已经看到的，一个非常普遍的现象是一个博弈可能有多个纳什均衡，如何预测哪一个纳什均衡实际上会出现？ 因此，非合作博弈理论的核心问题可表述为：假如一个博弈有若干个均

30、衡，理性的参与者究竟应该 (或愿意)选择其中的哪一个?聚点均衡 当一个博弈有多个纳什均衡时，博弈论并没有一般的理论证明纳什均衡结果一定会出现。 然而，如萨林(Schelling，1960)指出的，在现实生活中，参与人可能使用某些被博弈模型抽象掉的信息来达到一个“聚点”(focal point)均衡。这些信息可能与社会文化习惯、参与人过去博弈的历史等有关。 Thomas Schelling1960年的The Strategy of Conflict是博弈论的经典著作，他考察了诸如威胁、承诺、人质和代表团等战略问题。或许，他最为有名的是协调博弈。协调博弈-“提名博弈” 在下面的博弈中，如果你选择的

31、战略与尽可能多的其他人选择的战略相同，你就会赢得一定奖励。 在以下数字中选一个: 100, 14, 15, 16, 17, 18. 在以下数字中选一个: 7, 100, 13, 261, 99, 666. 选择正面或背面。 选择背面或正面。 选择晚上上课的时间。历史与边界 上面的各个博弈，虽然有许多纳什均衡，但是，在或大或小的程度上，它们也有更为可能的纳什均衡。某些战略组合是聚点: 出于心理上的原因，特别令人心服的纳什均衡。 说明什么样的战略组合是聚点是很难的，这取决于具体的情景。在重复博弈中，过去的历史常常可以提供聚点；边界是一种特别的聚点。历史与边界 如果两人分一块蛋糕，他们很可能同意50:50；但是，如果上一次的比例是60:40, 那么这一次这就是一个聚点。 如果俄罗斯选择把军队部署在离中国边界1寸或100公里的地方，中国不会有什么反应；但是，如果俄罗斯选择把军队部署在其边界1寸或100公里以外的地方，中国就会宣布进入战争状态。