振动分析基础学习教案

1、会计学1振动分析振动分析(fnx)基础基础第一页，共121页。第2页/共121页第二页，共121页。第3页/共121页第三页，共121页。第4页/共121页第四页，共121页。 自由度与广义坐标自由度与广义坐标 自由度数自由度数: 完全确定系统运动所需的独立坐标完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。数目称为自由度数。 刚体在空间有刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动和个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；绕三个方向的转动，如飞机、轮船； 质点在空间有质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球；如高尔夫球； 质点在平面有质点在平面

2、有2个自由度：两个个自由度：两个(lin )方向方向的移动，加上约束则成为单自由度。的移动，加上约束则成为单自由度。第5页/共121页第五页，共121页。单自由度无阻尼自由振动方程单自由度无阻尼自由振动方程第6页/共121页第六页，共121页。第7页/共121页第七页，共121页。xt0An2/nT系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系进行振动的方式都毫无关系 n：不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关过的激励和考察开始

3、时刻系统所处的状态有关 ,A：无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。为振动频率的简谐振动，并且永无休止。 n单自由度无阻尼单自由度无阻尼(zn)自由振动自由振动第8页/共121页第八页，共121页。第9页/共121页第九页，共121页。第10页/共121页第十页，共121页。第11页/共121页第十一页，共121页。第12页/共121页第十二页，共121页。绳中的最大张力等于静张力与因振动绳中的最大张力等于静张力与因振动(zhndng)(zhndng)引起的动张力之和引起的动张力之和 ：动张力几

4、乎是静张力的一半 动张力表达式： 为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度 分析2 第13页/共121页第十三页，共121页。第14页/共121页第十四页，共121页。第15页/共121页第十五页，共121页。第16页/共121页第十六页，共121页。例：例： 重物落下，与简支梁做完全重物落下，与简支梁做完全(wnqun)非弹非弹性碰撞性碰撞梁长梁长 L，抗弯刚度，抗弯刚度(n d) EI求：求：梁的自由振动频率梁的自由振动频率(pnl)和最大挠度和最大挠度mh0l/2l/2第17页/共121页第十七页，共121页。解：解：由材料力学由材料力学(ci lio l xu) ：自由振动自由

5、振动(zhndng)频频率为率为 ： 取平衡位置取平衡位置以梁承受以梁承受(chngshu)重物时的静平衡位置重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标为坐标原点建立坐标系系静变形静变形mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置第18页/共121页第十八页，共121页。撞击撞击(zhungj)时刻为零时刻，则时刻为零时刻，则 t=0 时，时，有：有： 则自由振动则自由振动(zhndng)振振幅为幅为 ：梁的最大扰度：梁的最大扰度： mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置第19页/共121页第十九页，共121页。例：圆盘例：圆盘(yun pn)转动转动圆盘圆盘(yun pn)转动惯转动惯量量 I在圆盘

6、的静平衡位置上任意选一根半在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为径作为(zuwi)角位移的起点位置角位移的起点位置扭振固有频率扭振固有频率为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩产生单位转角所需的力矩)/(radmN kkI由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：第20页/共121页第二十页，共121页。由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学的数学(shxu)描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统

7、的有关结论称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的义的 。Ik /0 kI0mx静平衡位静平衡位置置弹簧原长位置弹簧原长位置k第21页/共121页第二十一页，共121页。从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状现为系统的质量或转动

8、惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态态(zhungti)(zhungti)的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。刚度增加，则固有频率增大。 第22页/共121页第二十二页，共121页。第23页/共121页第二十三页，共121页。第24页/共121页第二十四页，共121页。第25页/共121页第二十五页，共121页。第26页/共121页第二十六页，共121页。第27页/共121页第二十七页，共121页。

9、第28页/共121页第二十八页，共121页。第29页/共121页第二十九页，共121页。能量能量(nngling)(nngling)法法对于对于(duy)不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。率。无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能(dngnng) T 和势和势能能 V 之和保持不变之和保持不变 ，即：，即：或：或：固有频率计算固有频率计算第30页/共121页第三

10、十页，共121页。第31页/共121页第三十一页，共121页。第32页/共121页第三十二页，共121页。第33页/共121页第三十三页，共121页。RCO第34页/共121页第三十四页，共121页。RCO第35页/共121页第三十五页，共121页。RCO第36页/共121页第三十六页，共121页。RCO第37页/共121页第三十七页，共121页。RCO第38页/共121页第三十八页，共121页。RCO第39页/共121页第三十九页，共121页。例：如图所示是一个例：如图所示是一个(y )倒置的倒置的摆摆 摆球质量摆球质量(zhling) m刚杆质量刚杆质量(zhling)忽略忽略 每个弹簧的

11、刚度每个弹簧的刚度 2k求求:(1) 倒摆作微幅振动时的固有频率倒摆作微幅振动时的固有频率lmak/2k/2第40页/共121页第四十页，共121页。解法解法(ji f)1：广义坐标广义坐标动能动能(dngnng)势能势能(shnng)平衡位置平衡位置1零平衡位置零平衡位置1lmak/2k/2第41页/共121页第四十一页，共121页。解法解法(ji f)2：平衡位置平衡位置2动能动能(dngnng)2222121mlIT势能势能(shnng)零平衡位置零平衡位置2lmak/2k/2第42页/共121页第四十二页，共121页。例：均质圆柱例：均质圆柱质量质量(zhling)m，半径，半径R与地

12、面纯滚动与地面纯滚动在在A、B点挂有弹簧点挂有弹簧确定确定(qudng)系统微振动的固有频系统微振动的固有频率率k1abRk1k2k2AB第43页/共121页第四十三页，共121页。解：解：k1abRk1k2k2AB广义坐标：圆柱微转角广义坐标：圆柱微转角圆柱做一般圆柱做一般(ybn)运动，由运动，由柯希尼定理，动能：柯希尼定理，动能：C点为运动点为运动(yndng)瞬心瞬心势能势能(shnng)：CA点速度：点速度：B点速度：点速度：第44页/共121页第四十四页，共121页。解：解：k1abRk1k2k2AB动能动能(dngnng)：22)23(21mRT 势能势能(shnng)：C222

13、221)(2(21)(2(21bRkaRkU第45页/共121页第四十五页，共121页。l瑞利法利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限算出的固有频率是实际值的上限(shngxin)。这种简化方法在许。这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频量

14、因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。率明显偏高。mkx0第46页/共121页第四十六页，共121页。例如：弹簧质量例如：弹簧质量(zhling)系统系统设弹簧设弹簧(tnhung)的的动能动能: 系统系统(xtng)最大动最大动能：能： 系统最大势能：系统最大势能： 若忽略若忽略 ，则，则 增大增大 弹簧等效质量弹簧等效质量 mtmkx0第47页/共121页第四十七页，共121页。第48页/共121页第四十八页，共121页。单自由单自由(zyu)度系统自由度系统自由(zyu)振动振动第49页/共121页第四十九页，共121页。拉格朗日方程拉格朗日方程(fngchn

15、g) 本章是将达朗伯原理和虚位移原理结合(jih)起来推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动，两者都是用来解决非自由质点系的动力学问题，它是用分析的方法解决动力学问题的出发点，因此它是分析力学的基础。对于解决复杂的非自由质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要比用动力学普遍方程简便得多。第50页/共121页第五十页，共121页。达朗伯原理达朗伯原理 设由设由n个质点组成的质点系，在质点系运动的任一瞬时，任一质点个质点组成的质点系，在质点系运动的任一瞬时，任一质点 上作用上作用(zuyng)的主动力的主动力

16、，约束反力，约束反力 及其及其惯性力惯性力 三者构成形式上的平衡力系三者构成形式上的平衡力系第51页/共121页第五十一页，共121页。第52页/共121页第五十二页，共121页。第53页/共121页第五十三页，共121页。第54页/共121页第五十四页，共121页。第55页/共121页第五十五页，共121页。 （4）对拉格朗日方程）对拉格朗日方程(fngchng)的评价的评价 拉氏方程的特点拉氏方程的特点(tdin)（优点）：（优点）： 是一个二阶微分方程是一个二阶微分方程(wi fn fn chn)组，方程个数与体系的组，方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数

17、作广义坐标，自由度相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。方程形式不变。 方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。越少，问题也就越简单。 拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力

18、学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。 拉氏方程的价值拉氏方程的价值 拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律，描述了力学拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法，不仅在力系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想学范畴有重要的理论意义

19、和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧。和数学技巧。第56页/共121页第五十六页，共121页。l等效(dn xio)质量和等效(dn xio)刚度方法方法(fngf)1：选定广义位移选定广义位移(wiy)坐标后，将系统得动能、势能写成如下形坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：式： 当当 、 分别取最大值时：分别取最大值时：x x则可得出：则可得出： Ke：简化系统的等效刚度：简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量：简化系统的等效质量 这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等分别相等 第57页/共121页第

20、五十七页，共121页。等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要(xyo)在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量上的等效质量 第58页/共121页第五十八页，共121页。动能动能(dngnng)势能势能(shnng)220mlmglka 零平衡位置零平衡位置1lmak/2k/2第59页/共121页第五十九页，共121页。k1abRk1k2k2AB动能动能(dngnng)势能势能(shnng)第60页/共121页第六十页，共121页。l阻尼自由(zyu)振动前面的自由振动都没有考虑

21、运动中阻力的影响，实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼。尽管已经提出前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼。尽管已经提出(t ch)了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。最常用的一种阻尼力学最常用的一种阻尼力学(l xu)模型是粘性阻尼。在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受

22、到粘性阻尼。模型是粘性阻尼。在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动第61页/共121页第六十一页，共121页。固有频率固有频率相对阻尼系数相对阻尼系数相对阻尼系数相对阻尼系数第62页/共121页第六十二页，共121页。第63页/共121页第六十三页，共121页。有阻尼系统的固有圆频率或减幅振动圆频率第64页/共121页第六十四页，共121页。ntAeTdA2A1由此可见，由于阻尼的影响，使系统的固有频率( yu pn l)减小，振动周期增大，振动不再是简谐振动。第65页/共121页第六十五页，共121页。欠阻尼是一种欠阻尼是一

23、种(y zhn)振幅逐渐衰减的振动振幅逐渐衰减的振动tAe0tAe0dTt)(txAA0第66页/共121页第六十六页，共121页。评价阻尼对振幅评价阻尼对振幅(zhnf)衰减快慢的衰减快慢的影响影响与与 t 无关，任意两个无关，任意两个(lin )相邻振幅之比均为相邻振幅之比均为 衰减振动的频率为衰减振动的频率为 ，振幅，振幅(zhnf)衰减的快慢取决于衰减的快慢取决于 n ，这两个重，这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部 减幅系数减幅系数单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动定义为相邻两个振幅的比值：定义为相邻两个振幅的比值： tA

24、e0tAe0dTt)(txAA0实际中常采用实际中常采用对数衰减率对数衰减率 ：第67页/共121页第六十七页，共121页。11非周期蠕动，没有振动发生非周期蠕动，没有振动发生 kmc2临界阻尼系数临界阻尼系数crc第68页/共121页第六十八页，共121页。tx(t)2 . 014 . 1临界也是按指数临界也是按指数(zhsh)规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些 三种阻尼情况比较：三种阻尼情况比较：111欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼是一种振幅逐渐衰减欠阻尼是一种振幅逐渐衰减(shui jin)的振动的振动过阻尼是一种按指数过阻尼

25、是一种按指数(zhsh)规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 第69页/共121页第六十九页，共121页。小结小结(xioji)：动力学方程动力学方程(fngchng)1欠阻尼欠阻尼1过阻尼过阻尼1临界阻尼临界阻尼按指数按指数(zhsh)规律衰减的非周期规律衰减的非周期蠕动蠕动 kmccr2按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快 振幅衰减振动振幅衰减振动第70页/共121页第七十页，共121页。例：阻尼例：阻尼(zn)缓冲缓冲器器静载荷静载荷 P 去除后质量去除后质量(zhling)块越过平衡位置得最大位移为初始位移

26、的块越过平衡位置得最大位移为初始位移的 10 求：求：缓冲器的相对阻尼系数缓冲器的相对阻尼系数 单自由度系统单自由度系统(xtng)自由振动自由振动kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置第71页/共121页第七十一页，共121页。解：解：由题知由题知 设设)sincos()(00000txxtxetxdddt求导求导 ：设在时刻设在时刻(shk) t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为： 即经过即经过(jnggu)半个周期后出现第一个振幅半个周期后出现第一个振幅 x1单自由单自由(zyu)度系统自由度系统自由(zyu)振动振动kcx0 x0Pm平衡

27、位置平衡位置第72页/共121页第七十二页，共121页。由题知由题知 解得：解得：21010011)(exextxxt单自由单自由(zyu)度系统自由度系统自由(zyu)振动振动第73页/共121页第七十三页，共121页。例：例：单自由单自由(zyu)度系统自由度系统自由(zyu)振动振动刚杆质量刚杆质量(zhling)不计不计求：求：（1）写出运动）写出运动(yndng)微分方程微分方程（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率）临界阻尼系数，阻尼固有频率小球质量小球质量 mlakcmb第74页/共121页第七十四页，共121页。解：解：单自由单自由(zyu)度系统自由度系统自由(zyu)振动振动阻尼

28、阻尼(zn)固有固有频率：频率：无阻尼无阻尼(zn)固有频率固有频率：m广义坐标广义坐标力矩平衡：力矩平衡：受力分析受力分析acbklm 02200 xxx 0kxxcxm lakcmb第75页/共121页第七十五页，共121页。km0e第76页/共121页第七十六页，共121页。第77页/共121页第七十七页，共121页。第78页/共121页第七十八页，共121页。幅频特性曲幅频特性曲线线第79页/共121页第七十九页，共121页。第80页/共121页第八十页，共121页。第81页/共121页第八十一页，共121页。第82页/共121页第八十二页，共121页。第83页/共121页第八十三页，共121页。