不等式的性质与一元二次不等式的解法讲义全

1、. .PAGE8 / NUMPAGES83.13.2 不等式的性质与一元二次不等式的解法一、不等关系与不等式1、不等式的定义：用不等号（“”，“”，“”，“”，“”）表示不等关系的式子。用“”，“”连接的不等式叫严格不等式，用“”，“”连接的不等式叫非严格不等式。2、实数的特征和实数大小的比较 （1）、特征：（1）任意实数的平方不小于0：即：R，则20；（2）任意两个实数都可以比较大小。3、实数比较大小的方法：（1）若b0b；（2）b0b；（3）b0b（2）当0，b0；若1b；若1b；若1b做差比较法法的一般步骤： （1）作差；（2）变形，常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是将“差“化成

2、“积”的形式，配方是将“差”化为一个或几个完全平方的“和”，也可两种手段并用；（3）定号，就是确定是大于0，还是等于0，或是小于0(与具体的值无关)（4） 得出结论。4、不等式的性质（1）、对称性：bb （2）、传递性：b，bc c（3）、可加性：b，cR cbc（4）、可乘性：b，c0cbc 或b，c0cbc（5）、同向不等式相加：cbd（6）、cbd0 （7）、nbn（8）、（9）、例1：设、是任意实数，且，则下列结论一定成立的是( )A：c B：cC：22D：22解析：D例2：已知b，dc，那么下列结论一定成立的是( )A：B：C：D：解析： C变式练习1：若、R，b，则下列不等式成立的

3、是( )A：B：2b2C：D：cbc解析：C变式练习2：如果0，则下列各不等式中：；3b3；lg(21)lg(21)；sinsin。一定成立的是_(请把正确的答案序号全部填写在横线上)解析变式练习2：已知函数f(x)（0 x1）的图象为一段圆弧（如右图），若0 x1x21，则（ ）A： B：C： D：解析：构造点A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2），则线段OA、OB的斜率是kOA=.由图形可以看出kOAkOB，即.答案：C例3：设0，且1，则四个数、2、22中最小的数是() A： B：C：2D：22解析由0ab与ab1，知0aeq f(1,2)，a2a，故只需比较a2b2与a的大小即可.

4、由0aeq f(1,2)，知a2b2aa2(1a)2a2a23a1(2a1)(a1)0，故a最小.答案B例4：设，则、的大小关系是（ ）A：B：C：D：解析：C ，变式练习1：设，则、的大小关系是（ ）A：B：C：D：解析：1，0，1 B变式练习2：设，cos3，则、的大小关系是（ ）A：B：C：D：解析：A变式练习3：设(2)，(xR)，则（ ）A：B：C：D：解析：A变式练习4：设，则下列各式正确的是( )A：B：C：D：解析：a=sin15+cos15=sin60,b=sin16+cos16=sin61,所以ab,排除C、D又ab,因为ab=sin60sin61=sin61b,故B正确.

5、二、一元二次不等式的解法（一）一元二次不等式的解法：二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主要结论与三者之间的关系如下：从函数的观点来看，一元二次不等式x2bxc0(a0)，就是二次函数yx2bxc(0)的图象在x轴上方部分的点横坐标x的集合；一元二次不等式x2bxc0(0)，就是二次函数yx2bxc(0)的图象在x轴下方部分的点横坐标x的集合。解一元二次不等式的步骤是：（1）把不等式化成a0的形式。（2）判定与0的关系。（3）求出相应方程的根。（4）根据函数图象写出不等式的解集。二次函数的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R口决：化正、求根、大于取两边（小于取

6、中间）例5：不等式x23x40的解集为_。(用区间表示)解析：(4,1)变式练习1：不等式2x2x10的解集为_。解析：eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1)变式练习2：设Ax(2x)(x3)0，Bxx23x40，则AB（ ）A：(1，2) B：(2，4) C：(3，4) D：(1，4)解析：A变式练习3：已知函数f(x)，则不等式f(x)1的解集是_。解析4,2不等式f(x)1eq blcrc (avs4alco1(x0，,f(1,2)x11)或eq blcrc (avs4alco1(x0，,x121，)解得4x0或00时，x2x2，00，,6k24k80，)解得0keq f(8,9)，综上，0keq f(8,9).变式练习1：已知关于x的不等式(4)x2(2)x10的解集是空集，则实数的取值围_。解a2时，原不等式10无解当eq blcrc (avs4alco1(a240，,a224a2410)2aeq f(6,5).由知2a0在区间(1,4)有解等价于a(x24x2)max，令g(x)x24x2，x(1,4)，g(x)g(4)2，a2.16、若关于x不等式对于一切实数xR都成立，则关于