归纳法和类比法

1、小学数学解题的思想方法小学数学解题的思想方法 类比推理类比推理 归纳法归纳法 类比推理类比推理 “我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的它应该是最不容忽视的”。 德国天文学家开普德国天文学家开普勒勒 即使在数学里，发现真理的主要工具也是类比。即使在数学里，发现真理的主要工具也是类比。 法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯 类比似乎在一切数学发现中有作用，而且在某类比似乎在一切数学发现中有作用，而且在某些发现中有它最大的作用，它是数学活动中些发现中有它

2、最大的作用，它是数学活动中“伟大伟大的引路人的引路人”。 匈牙利数学家波利亚匈牙利数学家波利亚 类比法是根据两个或两类不同的对象，在某些类比法是根据两个或两类不同的对象，在某些方面（如特征、属性、关系等）的类同之处，猜测方面（如特征、属性、关系等）的类同之处，猜测这两个对象在其他方面也可能有类同之处，并作出这两个对象在其他方面也可能有类同之处，并作出某种判断的推理方法。某种判断的推理方法。 其基本模式为：其基本模式为：A具有性质具有性质 F1， F2， F3， Fn，P具有性质具有性质 F1， F2， F3， Fn，具有性质具有性质 一、类比法的概念一、类比法的概念 如，根据算术中分数的基本性

3、质：如，根据算术中分数的基本性质：“分数的分分数的分子和分母同乘以或除以不为零的同一个数，分数的子和分母同乘以或除以不为零的同一个数，分数的值不变值不变”。用类比的方法可以推测代数式中分式的。用类比的方法可以推测代数式中分式的性质：性质：“分式的分子和分母同乘以或除以不为零的分式的分子和分母同乘以或除以不为零的同一个代数式，分式的值不变同一个代数式，分式的值不变”。 又如，对照平面中的梯形和立体中的四棱台，又如，对照平面中的梯形和立体中的四棱台，可以发现，梯形的一维元素（边、线段）之间的关可以发现，梯形的一维元素（边、线段）之间的关系与四棱台的二维元素（面）之间的关系有许多共系与四棱台的二维元

4、素（面）之间的关系有许多共同的地方，但二者的高例外。同的地方，但二者的高例外。3 32 20 01 1)SSS(HV 四棱台四棱台,)ba(hS2 2 梯梯 二、类比法的应用二、类比法的应用232319191 1191915151 1151511111 111117 71 17 73 31 16 65 5 计算计算例例 在小学数学解题中在小学数学解题中,类比也有着相当广泛的应用类比也有着相当广泛的应用,具体过程正如波利亚所说的那样具体过程正如波利亚所说的那样“选择一个类似的、选择一个类似的、较容易的问题去解决它，以便它可以作为一个模式。较容易的问题去解决它，以便它可以作为一个模式。然后利用这个

5、刚刚建立起来的模式，以达到原来问然后利用这个刚刚建立起来的模式，以达到原来问题的解决。题的解决。”6 65 51 15 54 41 14 43 31 13 32 21 12 21 11 1 如如 例1、有一盒糖果，只发给小班朋友，平均每人可得20颗；只发给大班朋友，平均每人可得30颗，现在要把糖果发给大班和小班小朋友，平均每人可得几颗？ 例2、李老师为课外兴趣小组买书，他带的钱正好可买15本语文书或24本数学书，如果李老师先买了10本语文书后，剩下的买数学书，还可以买几本数学书？ 例例4 4、一批布如果用来做上装可以做、一批布如果用来做上装可以做180180件；如果用件；如果用来做裤子可以做来

6、做裤子可以做220220件。如果用来做套装，可以做件。如果用来做套装，可以做多少套？多少套？三、几种常用的类比形式三、几种常用的类比形式1、平面与空间的类比、平面与空间的类比2、数与形的类比、数与形的类比3、解题方法上的类比、解题方法上的类比 对照平面中的梯形和立体中的四棱台，可以发对照平面中的梯形和立体中的四棱台，可以发现，梯形的一维元素（边、线段）之间的关系与四现，梯形的一维元素（边、线段）之间的关系与四棱台的二维元素（面）之间的关系有许多共同的地棱台的二维元素（面）之间的关系有许多共同的地方，但二者的高例外。方，但二者的高例外。3 32 20 01 1)SSS(HV 四棱台四棱台,)ba

7、(hS2 2 梯梯1、平面与空间的类比、平面与空间的类比的的极极小小值值。求求函函数数，均均为为正正数数，已已知知例例2 22 22 22 27 75 5b)xc(axycba ABcMXDC显然显然C,D,M三点共线时有极小值。三点共线时有极小值。ba2、数与形的类比、数与形的类比成成等等差差数数列列。则则若若例例z ,y,x,)zy)(yx()xz(0 04 48 85 52 2 ,acb)a(cbxax类类似似的的根根的的判判别别式式一一元元二二次次方方程程仔仔细细观观察察条条件件发发现现它它与与0 04 40 00 02 22 2 有有等等根根的的条条件件。的的二二次次方方程程看看作作

8、是是关关于于于于是是联联想想到到将将已已知知条条件件0 02 2 )zy(t )xz(t )yx(:tzxy,yxzy 2 21 1 即即 不难发现不难发现,方程左边各项系数之和为方程左边各项系数之和为0,故知方程有故知方程有两个等根两个等根,均为均为1,于是可利用韦达定理于是可利用韦达定理,其两根之积为其两根之积为: 故故x,y,z成等差数列。成等差数列。3、解题方法上的类比、解题方法上的类比 四、正确认识类比法所做出的结论四、正确认识类比法所做出的结论 类比方法是数学发现中一个十分重要的方法。类比方法是数学发现中一个十分重要的方法。但它作为一种合理推理的形式所得的结论也只能但它作为一种合理

9、推理的形式所得的结论也只能是猜想。即类比会引向发现也会导致错误。我们是猜想。即类比会引向发现也会导致错误。我们要从积极的方面去认识它的作用：其思想方法能要从积极的方面去认识它的作用：其思想方法能促使我们思考，启发与诱导我们去探讨问题。促使我们思考，启发与诱导我们去探讨问题。 归纳法归纳法 引例引例1:为了研究多面体的结构为了研究多面体的结构,可以进行这样的观察和可以进行这样的观察和实验实验:计算以下四面体、六面体、八面体、六棱锥、五棱计算以下四面体、六面体、八面体、六棱锥、五棱柱及四棱台的顶点数（柱及四棱台的顶点数（V），棱数（），棱数（E）及面数（）及面数（F），并），并将结果排列起来。将结

10、果排列起来。VEF四面体四面体六面体六面体八面体八面体六棱锥六棱锥五棱柱五棱柱四棱台四棱台464812661287127101578126 仔细分析一下这些数据，仔细分析一下这些数据，不难发现如下的关系：不难发现如下的关系： V+F-E=2笛卡儿笛卡儿-欧拉多面体定理欧拉多面体定理一、一、 归纳法的概念归纳法的概念 归纳法，是指通过特别分析引出普遍的结论归纳法，是指通过特别分析引出普遍的结论的推理方法。和类比一样，它在数学发现中也具的推理方法。和类比一样，它在数学发现中也具有十分重要的作用。有十分重要的作用。 在科学认识活动中，归纳法可以理解为用来在科学认识活动中，归纳法可以理解为用来概括由观

11、察和实验获得的事实，确立科学认识基概括由观察和实验获得的事实，确立科学认识基础的客观性，从而探索事物的规律性。即归纳常础的客观性，从而探索事物的规律性。即归纳常常建立在有目的、有计划的观察和实验基础上。常建立在有目的、有计划的观察和实验基础上。 归纳法也是一种或然性推理，其猜想或论断归纳法也是一种或然性推理，其猜想或论断尽管是符合情理的，但不一定是正确的，还需要尽管是符合情理的，但不一定是正确的，还需要有严格的证明。有严格的证明。二、二、 归纳法的类型归纳法的类型 归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法两种。归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法两种。 所谓完全归纳法，是根据某类事物中每一个所谓完

12、全归纳法，是根据某类事物中每一个对象的情况或每一个子类的情况，而作出关于该对象的情况或每一个子类的情况，而作出关于该类事物的一般性结论的推理。如果它的前提是真类事物的一般性结论的推理。如果它的前提是真的，那么它的结论也一定是真的。的，那么它的结论也一定是真的。 所谓不完全归纳法，是根据对某类事物中的所谓不完全归纳法，是根据对某类事物中的一部分对象的情况，而作出关于该类事物的一般一部分对象的情况，而作出关于该类事物的一般性结论的推理。性结论的推理。 三、归纳法与数学归纳法之间的关系三、归纳法与数学归纳法之间的关系 1、由于数学归纳法所证明的结论是完全可靠的，、由于数学归纳法所证明的结论是完全可靠

13、的，因此，和归纳法不同，数学归纳法属于论证的范畴，因此，和归纳法不同，数学归纳法属于论证的范畴，而不是猜测的方法。而不是猜测的方法。 2、数学归纳法与归纳法之间也存在着相互依赖、数学归纳法与归纳法之间也存在着相互依赖、相互渗透的辨证关系。相互渗透的辨证关系。 数学归纳法所证明的结论往往是由归纳法所得数学归纳法所证明的结论往往是由归纳法所得出的猜测，而归纳法所得出的猜测有些要用数学归出的猜测，而归纳法所得出的猜测有些要用数学归纳法来加以证明。因此，数学归纳法是归纳法的自纳法来加以证明。因此，数学归纳法是归纳法的自然发展。而且，更为重要的是，归纳的过程往往为然发展。而且，更为重要的是，归纳的过程往

14、往为应用数学归纳法去证明相应的结论打下了基础；反应用数学归纳法去证明相应的结论打下了基础；反之，证明的过程则加深了对原来猜测的理解。之，证明的过程则加深了对原来猜测的理解。引例引例2：观察如下几个等式：观察如下几个等式：10=3+7，20=13+7，30=13+176=3+3， 8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7再如：再如： 能否有论断：能否有论断：“任何一个大于任何一个大于4的偶数都的偶数都 是两个奇质数之和是两个奇质数之和”。哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 1966年，数学家陈景润证明了年，数学家陈景润证明了“每一个充分每一个充分大的偶数都能够表示为一个质数及一个不超过二大的偶数都能够表示为一个质数及一个不超过二个质数的乘积之和个质数的乘积之和”。200320032576 例例1、 的末位数字是几？的末位数字是几？:sn,nn项项的的和和出出前前的的情情况况着着手手分分析析，计计算算先先从从4 43 32 21 1 ,s,s ,s7 73 33