桥隧选修6常用测量坐标系及其变换

1、常用测量坐标系及其变换常用测量坐标系及其变换梁建昌梁建昌主要内容主要内容一、坐标系统介绍二、坐标系转换一、坐标系统一、坐标系统（一）基本概念（一）基本概念1 1、大地基准、大地基准 大地基准是建立国家大地坐标系统和推算国家大地控制网中大地基准是建立国家大地坐标系统和推算国家大地控制网中各点大地坐标的基本依据各点大地坐标的基本依据(考椭球的大小、形状及其定位、定考椭球的大小、形状及其定位、定向参数向参数)，包括一组大地测量参数和一组起算数据。，包括一组大地测量参数和一组起算数据。 建立大地基准就是求定旋转椭球的参数及其定向建立大地基准就是求定旋转椭球的参数及其定向(椭球旋转椭球旋转轴平行于地球的

2、旋转轴起始子午面平行于地球的起始子午面轴平行于地球的旋转轴起始子午面平行于地球的起始子午面)和定位和定位(旋转椭转中心与地球中心的相对关系旋转椭转中心与地球中心的相对关系)。2 2、大地测量参考系统、大地测量参考系统 坐标参考系统：坐标参考系统：天球坐标系和地球坐标系。天球坐标系和地球坐标系。 天球坐标系天球坐标系用于研究天体和人造卫星的定位与运动。用于研究天体和人造卫星的定位与运动。 地球坐标系地球坐标系用于研究地球上物体的定位与运动，是以旋转椭用于研究地球上物体的定位与运动，是以旋转椭球为参照体建立的坐标系统，分为大地坐标系和空间直角坐标球为参照体建立的坐标系统，分为大地坐标系和空间直角坐

3、标系两种形式。系两种形式。以大地水准面为参照面的高程系统称为正高，以似大地水准面为参照面的高程系统称为正常高。正常高正常及正高正与大地高有如下关系： H=H正常+ H=H正+N 3 3、高程参考系统、高程参考系统4.4.大地测量参考框架大地测量参考框架大地测量参考框架大地测量参考框架是大地测量参考系统的具体实现，是通是大地测量参考系统的具体实现，是通过大地测量手段确定的固定在地面上的控制网（点）所构建的，过大地测量手段确定的固定在地面上的控制网（点）所构建的，分为分为坐标参考框架、高程参坐标参考框架、高程参 考框架、重力参考框架考框架、重力参考框架。 国家平面控制网国家平面控制网是全国进行测量

4、工作的平面位置的参考框是全国进行测量工作的平面位置的参考框架，国家平面控制网是按控制等级和施测精度分为一、二、三、架，国家平面控制网是按控制等级和施测精度分为一、二、三、四等网。目前提供使用的国家平面控四等网。目前提供使用的国家平面控制网含三角点、导线点共制网含三角点、导线点共154348154348个。个。国家高程控制网国家高程控制网是全国进行测量工作的高程参考框架，按是全国进行测量工作的高程参考框架，按控制等级和施测精度分为一、二、三、四等网，目前提供使用控制等级和施测精度分为一、二、三、四等网，目前提供使用的的19851985国家高程系统共有水准点成果国家高程系统共有水准点成果11404

5、1114041个，水准路线长度个，水准路线长度为为41661914166191公里公里 。 国家重力基本网是确定我国重力加速度数值的参考框架，目国家重力基本网是确定我国重力加速度数值的参考框架，目前提供使用的前提供使用的2000国家重力基本网包括国家重力基本网包括21个重力基准点和个重力基准点和126个重力基本点个重力基本点 。 “2000国家国家GPS控制网控制网”由国家测绘局布设的高精度由国家测绘局布设的高精度GPS A、B级网，总参布设的级网，总参布设的GPS 一、二级网，地震局、总参测一、二级网，地震局、总参测绘局、科学院、国家测绘局共建的中国地壳运动观测网组成，绘局、科学院、国家测绘

6、局共建的中国地壳运动观测网组成，该控制网整合了上述三个大型的有重要影响力的该控制网整合了上述三个大型的有重要影响力的GPS观测网观测网的成果，共的成果，共2609个点，通过联合处理将其归于一个坐标参个点，通过联合处理将其归于一个坐标参考框架，可满足现代测量技术对地心坐标的需求，是我国新考框架，可满足现代测量技术对地心坐标的需求，是我国新一代的地心坐标系统的基础框架。一代的地心坐标系统的基础框架。 平面直角坐标系 大地坐标坐标系 空间直角系 与地球固结在一起的坐标系（地球坐标系） 不与地球固结在一起的坐标系（天球坐标系）（二）坐标系统的种类和各自优势（二）坐标系统的种类和各自优势（三）大地坐标和

7、空间直角坐标（三）大地坐标和空间直角坐标1.大地坐标和空间直角坐标概念大地坐标和空间直角坐标概念（1）大地坐标和空间直角坐标的建立）大地坐标和空间直角坐标的建立1）大地坐标系）大地坐标系 P点的子午面点的子午面NPS与起始子午面与起始子午面NGS所构成的二面角叫做所构成的二面角叫做P点点大地大地经度经度，P点的法线点的法线Pn与赤道面的与赤道面的夹角夹角B叫叫P点的点的大地纬度大地纬度，P点的点的位置用位置用L、B表示表示 。P()()HHHHN正常正高程异常大地水准面差距 若若P点不在椭球面上，还要一个点不在椭球面上，还要一个参数：大地高参数：大地高H来表示点位。它来表示点位。它与正常高及正

8、高的关系为：与正常高及正高的关系为： 大地坐标系是大地测量的基本坐标系，具有如下的优点: (1)它是整个椭球体上统一的坐标系，是全世界公用的最方便的坐标系统。 经纬线是地形图的基本线，所以在测图及制图中应用这种坐标系。 (2)它与同一点的天文坐标(天文经纬度)比较，可以确定该点的垂线偏差的大小。2）空间直角坐标系）空间直角坐标系以椭球中心以椭球中心O为原点，为原点，起始子午面与赤道面交线为起始子午面与赤道面交线为X轴，轴，在赤道面上与在赤道面上与X轴正交的方向为轴正交的方向为Y轴，轴，椭球体的旋转轴为椭球体的旋转轴为Z轴，轴，构成右手坐标系构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，在该坐标系中，

9、P点的位置用点的位置用X、Y、Z表示表示 （2）极移）极移地轴相对于地球本身相对位置变化地轴相对于地球本身相对位置变化地球自转轴存在相对于地球体自身内部结构的相对位置变地球自转轴存在相对于地球体自身内部结构的相对位置变化，从而导致极点在地球表面上的位置随时间而变化，这种现化，从而导致极点在地球表面上的位置随时间而变化，这种现象称为象称为极移极移。某一观测瞬间地球极所在的位置称为某一观测瞬间地球极所在的位置称为瞬时极瞬时极，某段时间内，某段时间内地极的平均位置称为地极的平均位置称为平极平极。地球极点的变化，导致地面点的纬。地球极点的变化，导致地面点的纬度发生变化。度发生变化。国际天文联合会国际天

10、文联合会IAUIAU和和国际大地测量与地球物理联合国际大地测量与地球物理联合会会IUGGIUGG在在19671967年于意大利共同召开的第年于意大利共同召开的第3232次讨论会上，建次讨论会上，建议采用国际上议采用国际上5 5个纬度服务个纬度服务(ILS)(ILS)站以站以1900190019051905年的平均年的平均纬度所确定的平极作为基准点，通常称为纬度所确定的平极作为基准点，通常称为国际协议原点国际协议原点CIO(Conventional International Origin)CIO(Conventional International Origin)，它相对于，它相对于19001

11、90019051905年平均历元年平均历元1903.01903.0。（3）协议地球极、协议坐标系）协议地球极、协议坐标系国际极移服务国际极移服务IPMS( International Polar Motion IPMS( International Polar Motion Service)Service)和国际时间局和国际时间局BIHBIH等机构分别用不同的方法得到等机构分别用不同的方法得到地极原点，因而有不同的地极原点，因而有不同的CIO,CIO,属于属于BIHBIH的有的有BIH1968.0, BIH1968.0, BIH1979.0, BIH1984.0BIH1979.0, BIH19

12、84.0等。等。与与CIOCIO相应的地球赤道面称为平赤道面或协议赤道面。相应的地球赤道面称为平赤道面或协议赤道面。 以协议地极CIP为指向点的地球坐标系称为协议地球坐标系协议地球坐标系CTS( Conventional Terrestrial System)，以瞬时极为指向点的地球坐标系称为瞬时地球坐标系瞬时地球坐标系。在大地测量中采用的地心地固坐标系大多采用协议地极原点CIO为指向点，因而也是协议地球坐标系；一般情况下协议地球坐标系和地心地固坐标系代表相同的含义。 2.参心坐标系、地心坐标系参心坐标系、地心坐标系（1）参心坐标系）参心坐标系参心坐标系参心坐标系:以参考椭球为基准的坐标系以参

13、考椭球为基准的坐标系参心坐标系还是地心坐标系均可分为空间直角坐标系和大参心坐标系还是地心坐标系均可分为空间直角坐标系和大地坐标系两种地坐标系两种,都是都是地固坐标系。地固坐标系。建立（地球）参心坐标系，需选择椭球参数和参进行考椭球的定位与定向： 选择或求定椭球的几何参数（长短半径）；选择或求定椭球的几何参数（长短半径）； 确定椭球中心位置（定位）；确定椭球中心位置（定位）； 确定椭球短轴的指向（定向）；确定椭球短轴的指向（定向）； 建立大地原点。建立大地原点。 地心空间直角坐标系地心空间直角坐标系 原点原点O与地球质心重合，与地球质心重合，Z轴指向地球北极，轴指向地球北极，X轴指向格林轴指向格

14、林尼治平均子午面与尼治平均子午面与 地球赤道的交点，地球赤道的交点，Y轴垂直于轴垂直于XOZ平面构成平面构成右手坐标系。右手坐标系。地心大地坐标系地心大地坐标系 地球椭球的中心与地球质心地球椭球的中心与地球质心重合，椭球面与大地水准面在重合，椭球面与大地水准面在全球范围内最佳符合，椭球短全球范围内最佳符合，椭球短轴与地球自转轴重合（过地球轴与地球自转轴重合（过地球质心并指向北极）。质心并指向北极）。大地纬度、大地经度、大地高大地纬度、大地经度、大地高地球北极是地心地固坐标系的基准指向点，地球北极的变动将引起坐标轴地球北极是地心地固坐标系的基准指向点，地球北极的变动将引起坐标轴方向的变化。方向的

15、变化。（2）地心坐标系）地心坐标系 建国初期，为了迅速开展我国的测绘事业，鉴于当时的实际情建国初期，为了迅速开展我国的测绘事业，鉴于当时的实际情况，将我国一等锁与原苏联远东一等锁相连接，然后以连接处呼况，将我国一等锁与原苏联远东一等锁相连接，然后以连接处呼玛、吉拉宁、东宁基线网扩大边端点的原苏联玛、吉拉宁、东宁基线网扩大边端点的原苏联1942年普尔科沃坐年普尔科沃坐标系的坐标为起算数据，平差我国东北及东部区一等锁，这样传标系的坐标为起算数据，平差我国东北及东部区一等锁，这样传算过来的坐标系就定名为算过来的坐标系就定名为1954年北京坐标系。因此，年北京坐标系。因此，P54可归结可归结为：为：a

16、属参心大地坐标系；属参心大地坐标系；b采用克拉索夫斯基椭球的两个几何参数；采用克拉索夫斯基椭球的两个几何参数；c. 大地原点在原苏联的普尔科沃；大地原点在原苏联的普尔科沃；d采用多点定位法进行椭球定位；采用多点定位法进行椭球定位；e高程基准为高程基准为 1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面；年青岛验潮站求出的黄海平均海水面； f高程异常以原苏联高程异常以原苏联 1955年大地水准面重新平差结果为起年大地水准面重新平差结果为起 算数据。按我国天文水准路线推算而得算数据。按我国天文水准路线推算而得 。3.常用坐标系介绍常用坐标系介绍（1）1954年北京坐标系年北京坐标系 C80是为了进行全国天

17、文大地网整体平差而建立的是为了进行全国天文大地网整体平差而建立的。根据椭球根据椭球定位的基本原理，在建立定位的基本原理，在建立C80坐标系时有以下先决条件：坐标系时有以下先决条件：（1）大地原点在我国中部，具体地点是陕西省径阳县永乐镇；）大地原点在我国中部，具体地点是陕西省径阳县永乐镇；（2）C80坐标系是参心坐标系，椭球短轴坐标系是参心坐标系，椭球短轴Z轴平行于地球质心指轴平行于地球质心指向地极原点方向，大地起始子午面平行于格林尼治平均天文台子向地极原点方向，大地起始子午面平行于格林尼治平均天文台子午面；午面；X轴在大地起始子午面内与轴在大地起始子午面内与 Z轴垂直指向经度轴垂直指向经度 0

18、方向；方向；Y轴轴与与 Z、X轴成右手坐标系；轴成右手坐标系；（3）椭球参数采用）椭球参数采用IUG 1975年大会推荐的参数年大会推荐的参数因而可得因而可得C80椭球两个最常用的几何参数为：椭球两个最常用的几何参数为：长轴：长轴：63781405（m）；扁率：）；扁率：1：298.257 （4）多点定位；）多点定位；椭球定位时按我国范围内高程异常值平方和最椭球定位时按我国范围内高程异常值平方和最小为原则求解参数小为原则求解参数 （5）大地高程以）大地高程以1956年青岛验潮站求出的黄海平均水面为基准年青岛验潮站求出的黄海平均水面为基准 （2）1980年国家大地坐标系年国家大地坐标系 CGCS

19、2000（China Geodetic Coordinate System 2000） 国家2000大地坐标系是全球地心坐标系在我国的具体体现，其定义包括坐标系的原点、三个坐标轴的指向、尺度以及地球椭球的4个基本参数的定义。l 原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心；l Z轴由原点指向历元2000.0的地球参考极的方向，该历元的指向由国际时间局给定的历元为1984.0的初始指向推算；l X轴由原点指向格林尼治参考子午线与地球赤道面（历元2000.0）的交点；l Y轴与Z轴、X轴构成右手正交坐标系。l 采用广义相对论意义下的尺度。（3）2000国家大地坐标系国家大地坐标系2000国家大地坐标系

20、采用的地球椭球参数的数值为：n 长半轴 a6378137m n 扁率 f1/298.257222101 n 地心引力常数 GM3.9860044181014m3s-2n 自转角速度 7.29211510-5rads-1 我国自2008年7月1日起启用2000国家大地坐标系。短半径b(m)6356752.31414极曲率半径c (m)6399593.62586第一偏心率e 0.0818191910428第一偏心率平方e20.00669438002290第二偏心率 0.0820944381519第二偏心率平方 20.006739496775481/4子午圈的长度Q(m)10001965.7293椭

21、球平均半径R1(m) 6371008.77138相同表面积的球半径R2(m) 6371007.18092相同体积的球半径R3(m)6371000.78997椭球的正常位U0(m2s-2)62636851.7149动力形状因子J20.001082629832258球谐系数J4-0.00000237091126球谐系数J60.00000000608347球谐系数J8-0.00000000001427正常重力平均值（伽）9.7976432224纬度45度的正常重力值45（伽）9.8061977695 美国国防部美国国防部1984年世界大地年世界大地坐标系是一个协议地球参考坐标系是一个协议地球参考系系

22、CTS（Conventional Terrestrial System）,其原点其原点是地球的质心，是地球的质心，Z轴指向轴指向BIH1984.0定义的协议地球极定义的协议地球极CTP（Conventional Terrestrial Pole）方向，）方向，X轴轴指向指向BIH1984.0零度子午面和零度子午面和CTP赤道的交点，赤道的交点，Y轴和轴和Z、X轴构成右手坐标系。轴构成右手坐标系。WGS-84椭球采用国际大地测量与地球物理联合会第椭球采用国际大地测量与地球物理联合会第17届大届大会大地测量常数推荐值会大地测量常数推荐值 （4）WGS-84世界大地坐标系世界大地坐标系 自自1987

23、年年1月月10日之后，日之后，GPS卫星星历均采用卫星星历均采用WGS-84坐标坐标系统。因此系统。因此GPS网的测站坐标及测站之间的坐标差均属于网的测站坐标及测站之间的坐标差均属于WGS-84系统。为了求得系统。为了求得GPS测站点在地面坐标系（属于参测站点在地面坐标系（属于参心坐标系）中的坐标，就必须进行坐标系的转换。心坐标系）中的坐标，就必须进行坐标系的转换。 WGS-84椭球基准参数椭球基准参数4个基准参数：个基准参数：长半轴长半轴a=6378 137 m地球引力常数（含大气层）地球引力常数（含大气层）GM=3 986 005108m3s-2正常化二阶带球谐系数正常化二阶带球谐系数C2

24、.0=-484.166 8510-6地球自转角速度地球自转角速度=7 292 115 =7 292 115 10-11rad/s 20世纪世纪60年代以来，美国和原苏联等国家利用卫星观测等年代以来，美国和原苏联等国家利用卫星观测等资料，开展了建立地心坐标系的工作。美国国防部曾先后建资料，开展了建立地心坐标系的工作。美国国防部曾先后建立过世界大地坐标系立过世界大地坐标系(World Geodetic System，简称为，简称为WGS)WGS-60，WGS-66和和WGS-72，并于，并于1984年开始，年开始，经过多年修正和完善，建立起更为精确的地心坐标系统，称经过多年修正和完善，建立起更为精

25、确的地心坐标系统，称为为WGS-84。 l当测区面积小于当测区面积小于100km2时，可不进行方向和距离改正，时，可不进行方向和距离改正，直接把局部地球表面作为平面建立独立的平面直角坐标直接把局部地球表面作为平面建立独立的平面直角坐标系。系。l起算坐标和起算方位角最好能与国家网联测，如果联测起算坐标和起算方位角最好能与国家网联测，如果联测有困难可自行测定边长和方位，而起始点坐标可假定。有困难可自行测定边长和方位，而起始点坐标可假定。l这种假定平面直角坐标系只限于某种工程建筑施工之用。这种假定平面直角坐标系只限于某种工程建筑施工之用。（四）独立平面直角坐标（四）独立平面直角坐标2022-7-32

26、711 投影面投影面：用测区中心点用测区中心点 a 的切平面作为投影平面的切平面作为投影平面. 图图1-9） 图1-9 图1-1011 坐标系坐标系原点原点O: 一般选在测区的西南角，使测区内各点均处于第一象限，一般选在测区的西南角，使测区内各点均处于第一象限，坐标均为正值。坐标均为正值。 x轴轴:南北方向为纵轴，向北为正，向南为负；南北方向为纵轴，向北为正，向南为负； y轴轴: 东西方向为横轴，向东为正，向西为负。东西方向为横轴，向东为正，向西为负。 坐标系中坐标系中象限按顺时针方向编号象限按顺时针方向编号，x轴与轴与y轴互换轴互换。 在测量中常将点的平面直角坐标称为点的平面位置。在测量中常

27、将点的平面直角坐标称为点的平面位置。假定平面直角坐标系假定平面直角坐标系(地方独立坐标系地方独立坐标系)的特点：的特点：1) 投影面一般采用区域的平均高程面；投影面一般采用区域的平均高程面；2) 投影的中央子午线一般采用过位于区域中心附近的子投影的中央子午线一般采用过位于区域中心附近的子午线，或采用经度为整分或整度的子午线。午线，或采用经度为整分或整度的子午线。3)原点的坐标一般加上某个整数，使整个区域中的坐标原点的坐标一般加上某个整数，使整个区域中的坐标不出现负值，也有些城市如上海，其加常数为不出现负值，也有些城市如上海，其加常数为0。4)其高斯坐标所对应的椭球面应是与投影面相接近的区其高斯

28、坐标所对应的椭球面应是与投影面相接近的区域性椭球面，而不是国家参考椭球面。域性椭球面，而不是国家参考椭球面。（五）高斯平面直角坐标系（五）高斯平面直角坐标系1.什么是高斯平面直角坐标什么是高斯平面直角坐标高斯投影是高斯在18201830年间，为解决德国汉诺威地区大地测量投影问题而提出的一种投影方法。1912年起，德国学者克吕格(Kruger)将高斯投影公式加以整理和扩充并推导出了实用计算公式。 用一个空心椭圆柱横套在参考椭球外面，使椭圆柱与某一投影带的中央子午线相切；再将椭球面上这一带的图形按保角投影的原理投影到圆柱体面上；然后将圆柱体沿着过南北极的母线切开，展开成为平面；并在该平面上定义平面

29、直角坐标系。2.为什么要投影和分带为什么要投影和分带（控制测量对地图投影的要求）（控制测量对地图投影的要求） 1)1)采用等角投影（又称正形投影）采用等角投影（又称正形投影） 2)2)长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。引起的改正数。 3)3)能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体的、同样的计算公式和用表把各带联成整体 。在三角测量中大量的角度观测元素在投影前后保持在三角测量中大量的角度观测元素在投影前后保持不变，免除了大量投影计算工作不变，

30、免除了大量投影计算工作;可以保证在有限的范围内地图上的图形同椭球上原可以保证在有限的范围内地图上的图形同椭球上原形保持相似，识图、用图很大方便。形保持相似，识图、用图很大方便。31(统一统一)6带带:从首子午线(通过英国格林尼治天文台的子午线)起，每隔经度6划分为一带，自西向东将整个地球划分为60个带。带号从首子午线开始，用阿拉伯数字表示，编号为160。 中央子午线：位于各投影带中央的子午线，称为各带的中央子午线。则六度带中央子午线的经度依次为3,9,15,357。 任何六度带的中央子午线经度与带号关系为:L0=6N-3。 反之，已知地面任意点的经度L，要求计算该点所在的统一6带编号的公式为N

31、=INT(L/6)+1. 例如：某点经度为东经118 ，其带号为20，其所在六度带的中央子午线经度 L= 120 。 3带带: 自东经130开始每隔经差3划分一 带,将地球共分120个带，带宽3, 编号为1120;各带的中央子午线的经度L0依次为3,6,360。3.怎样投影和分带怎样投影和分带2022-7-3326，3投影带3带带带号k与中央子午线经度的关系 L03 n （1-2）。 我国经度:75135 6带带号:1323带 3带带号:2545带 不难看出，两者之间无重叠带号；3带的中央子午线经度有一半与6带中央子午线经度相同，另一半是6分带子午线经度。2022-7-333 l l x 轴轴

32、中央子午线经投影展开后是一条直线，其长度不变形。中央子午线经投影展开后是一条直线，其长度不变形。以此直线作为纵轴。以此直线作为纵轴。赤道以北为正，赤道以南为负；赤道以北为正，赤道以南为负； l l y 轴轴赤道经投影展开后是一条与中央子午线相正交的直线，赤道经投影展开后是一条与中央子午线相正交的直线，将它作为横轴。将它作为横轴。中央子午线以东为正，以西为负。中央子午线以东为正，以西为负。 l l 原点原点两轴线的交点作为两轴线的交点作为O点。点。 这样，这样，各带各带就构成了独立的平面直角坐标系，称为高斯就构成了独立的平面直角坐标系，称为高斯克吕克吕格平面直角坐标系。格平面直角坐标系。 高斯平

33、面直角坐标系的建立高斯平面直角坐标系的建立高斯投影结果高斯投影结果 (1)高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式高斯投影必须满足以下三个条件：高斯投影必须满足以下三个条件：中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后长度不变；中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。投影具有正形性质，即正形投影条件。4.高斯投影坐标正反算高斯投影坐标正反算第一类称高斯投影正算公式，亦即由（第一类称高斯投影正算公式，亦即由（B, L）求（）求（x、y）;第二类称高斯投影反算公式，亦即由（第二类称高斯投影反算公式，亦即由（x、y）求（）求（B, L）。）。由由中央子午线投影

34、后为直线中央子午线投影后为直线可知：可知：因为地球椭球体是一个旋转椭球体，所以中央子午线东因为地球椭球体是一个旋转椭球体，所以中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。西两侧的投影必然对称于中央子午线。 ),(),(21lqfylqfx为为l的偶函数，的偶函数，为为l的奇函数的奇函数即：即：(8-41)因高斯投影是分带投影，经差因高斯投影是分带投影，经差l一般不大于一般不大于3，l/1/20是一是一个微小量，所以可将上式展开为经差个微小量，所以可将上式展开为经差l的幂级数的幂级数 :1.1.高斯投影坐标正算一般公式高斯投影坐标正算一般公式上式分别对上式分别对q,l求偏导数求偏导数：由由，q

35、ylxlyqx,即正形投影条件即正形投影条件可知：可知：2.2.求一般公式中的各系数求一般公式中的各系数上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即可见：是一种递推公式，关键确定可见：是一种递推公式，关键确定由由中央子午线投影后长度不变中央子午线投影后长度不变可知：可知： 位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应该等于投应该等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长，即：影前从赤道量至该点的子午线弧长，即：式中式中X为自赤道量起的子午线弧长。为自赤道量起的子午线弧长。（1）求）求m0（2）求）求m

36、1（3）求）求m2（4）求）求m3、m4、 m5，3.3.高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式将各系数代入将各系数代入3223352455coscos(1)6cos(5 18)120NNyB lBtlNBttl23224424sincoscos(594)224NNxXBB lsimBBtl(1)略去略去2l5及及l6以上各项，得：以上各项，得：此式，在经差小于此式，在经差小于3.5时，精度为时，精度为0.1m(2)扩展到精度扩展到精度0.001m的公式：的公式：5222425532233)5814185(cos120)1 (cos6cosltttBNltBNlBNy 64256442234

37、22)5861(cossin720)495(cos24cossin2lttBBNltBsimBNlBBNXx 自赤道量起的到所求点的子午线弧长自赤道量起的到所求点的子午线弧长所求点的大地经度与所求点的大地经度与该点所在带的中央子该点所在带的中央子午线的大地经度之差午线的大地经度之差222tan,costBeB (2)高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式投影方程投影方程x坐标轴投影后为中央子午线坐标轴投影后为中央子午线,是投影的对称轴；是投影的对称轴； x坐标轴投影后长度不变；坐标轴投影后长度不变；投影具有正形性质。即高斯面上的角度投影到椭球面投影具有正形性质。即高斯面上的角度投影到椭球面上

38、后角度没有变形，仍然相等。上后角度没有变形，仍然相等。投影函数投影函数1 1、2 2应应满足以下三个条件：满足以下三个条件： 首先根据首先根据x计算纵坐标在椭球面上的垂足纬度计算纵坐标在椭球面上的垂足纬度Bf，接着按，接着按Bf计算计算(Bf-B)及经差及经差l,最后得到最后得到反算公式的推导方法的基本思想：反算公式的推导方法的基本思想：1.1.高斯投影坐标反算基本思想高斯投影坐标反算基本思想l借助等量纬度借助等量纬度2.2.高斯投影坐标反算基本公式高斯投影坐标反算基本公式cl 由于高斯投影区域不大，将由于高斯投影区域不大，将(q,l)展开为展开为y的幂级数。的幂级数。l 顾及到顾及到“X是投

39、影的对称轴是投影的对称轴”，q应是应是y的偶函数，的偶函数，l应是应是y的奇函数，因的奇函数，因此此3.3.（q-qq-qf f）、）、l l正形投影第三条件正形投影第三条件求偏导求偏导代入代入整理整理下面的目标是它下面的目标是它代入代入继续继续还剩着前面提到的还剩着前面提到的变换形式变换形式6. 6. 精度为精度为0.00010.0001的高斯投影坐标反算公式的高斯投影坐标反算公式将（将（8-85）、（）、（8-86）代入）代入(8-81)，得：，得：22242552233642542222328624285cos12021cos6cos459061720935242ffffffffffff

40、ffffffffffffffffftttBNytBNyBNylyttyNMtyttNMtyNMtBB垂足纬度。垂足纬度。其值由子午线其值由子午线弧长计算公式反弧长计算公式反算求得算求得(3)高斯投影坐标正反算公式的几何解释高斯投影坐标正反算公式的几何解释当当B=0时，时，x=X=0，y则随则随l的变化而变化。的变化而变化。 可见：赤道投影为一直线且为可见：赤道投影为一直线且为y轴。轴。当当l=0时时,则则y=0,x=X 。 可见：中央子午线投影亦为直线，且为可见：中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。子午线长度相等。两轴的交点为坐标

41、原点。当当l=常数时，随着常数时，随着B值增加，值增加，x值增大，值增大，y值减小；且当用值减小；且当用-B代替代替B时，时，y值不变，而值不变，而x值数值相等符号相反。值数值相等符号相反。 可见：经线是凹向中央子午线的曲线，收敛于两极。且对称可见：经线是凹向中央子午线的曲线，收敛于两极。且对称与中央子午线和赤道。与中央子午线和赤道。当当B=常数时，随着的常数时，随着的l增加，增加，x值和值和y值都增大；又当用值都增大；又当用-l代替代替l时，时，x值不变，而值不变，而y值数值相等符号相反。值数值相等符号相反。 可见：纬线是凸向赤道的曲线，中央子午线是投影对称轴。可见：纬线是凸向赤道的曲线，中

42、央子午线是投影对称轴。满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。变形愈大。1）位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带的控制，为了能在同一带内进行平差计算，计算前，必须先进行起始坐标统一化换算。(1)换带的原因换带的原因 一个带的平面坐标换算到相邻带的平面坐标，简一个带的平面坐标换算到相邻带的平面坐标，简称为称为“邻带换算邻带换算”。5.高斯投影坐标换带高斯投影坐标换带2)在分界子午线附近测图时，往往需要用到另一带的三角点

43、作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中；为实现两相邻带地形图的拼接和使用，在于45( 或37.5)重叠地区的平面控制点需要具有相邻带的坐标值。3)当大比例尺(1:0 000或更大)测图时,特别是在工程测量中，要求采用3带、1. 5带或任意带，而国家控制点通常只有6带坐标,这时就产生了6带同3带(或1. 5“带、任意带)之间的相互坐标换算问题。(2)应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算平面坐标平面坐标大地坐标大地坐标平面坐标平面坐标实质：实质：把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标: 利用高斯投影的正反算公式，可以进行

44、不同投影带坐标利用高斯投影的正反算公式，可以进行不同投影带坐标的换带计算。的换带计算。这种方法,理论上最简明严密，精度最高，通用性最强。不仅适用于6-6带，3-3带以及6-3带互相之间的邻带坐标换算，且适用于任意带之间的坐标换算。虽计算量稍大，但由于计算机的普及和本法的通用性及计算的高精度，它自然便成为坐标邻带换算中最基本的方法。反算公式反算公式正算公式正算公式 4. 由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x，y。算步骤：算步骤：1. 根据高斯投影坐标 x, y，反算得纬度B和经度差l；2. 由中央子午线的经度L0, 求得经度 L = L0 +l；3. 根据换带后新的中央子午线经度L0 ，计算

45、相应的经差;算例算例在中央子午线在中央子午线 的的带中，有某一点的平面直角坐标带中，有某一点的平面直角坐标 ， ，现要求计算该点在中央子午线，现要求计算该点在中央子午线 的第的第带的平面直角坐标。带的平面直角坐标。 123I0L15728374.726 mx m193.2101981y129II0L计算步骤：计算步骤： 根据根据 , ,利用高斯反算公计算换算利用高斯反算公计算换算, ,，得到，得到: : ， 。 采用已求得的采用已求得的, ,，顾及第，顾及第带的中央子午线带的中央子午线 ，求得，利用高斯正算公式计算第求得，利用高斯正算公式计算第带的直角坐带的直角坐标标 , , 。 为了检核计算

46、的正确性，要求每步都应进行往返计算为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算1x1y1B1L4902.4383511 B2136.13201261 L129II0L486.46752 lII5728164.378xmII205079.963ym 1B1L二、坐标转换二、坐标转换1.平面坐标转换平面坐标转换 两个平面直角坐标系之 间的相似转换一般都包含四个原始转换参数 ，即两个平移参数 (x ，y)，一个旋转参数 和一个尺度参数 m。常见的转换过程有两个：先旋 转、再 平移 、最后 统一 尺度 ； 先平 移、再 旋转 、最后统一尺度。数学模型：令：得：例：曲线测量中两个切线坐标系的坐标统一换

47、算例：曲线测量中两个切线坐标系的坐标统一换算 一个曲线有两个切线坐标系，要在一个置镜点用极坐标法一个曲线有两个切线坐标系，要在一个置镜点用极坐标法测设整个曲线，需要将另半个曲线在测设整个曲线，需要将另半个曲线在HZ点切线坐标系下的点切线坐标系下的x、y的坐标转换为的坐标转换为ZH 坐标系下的坐标坐标系下的坐标x、y 。 yxTTyx cossinsincossincos )(12coscoscossin(1)sinXNBLYNBLZNeBcosxNB2(1)sinyNeBcos ,sin ,XxL YxL Zy当当P P点位于椭球面上时：点位于椭球面上时：2.大地坐标和空间直角坐标转换大地坐标

48、和空间直角坐标转换当当P P点不在椭球面上时：点不在椭球面上时：LarctgYXZBNeYXctgBYXBNeZtgBcossin222222或NBYXHeNBZHcos)1(sin222BHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sincos)(coscos)(2（1）欧勒角）欧勒角对于二维直角坐标，如图所对于二维直角坐标，如图所示，有：示，有：2121cossinsincosxxyy2.空间直角坐标间的转换空间直角坐标间的转换 在三维空间直角坐标系中，具有相同原点的两坐标系间的变在三维空间直角坐标系中，具有相同原点的两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成。如换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成。如图所示，设旋转次序为：图所示，设旋转次序为：为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧