模糊模式识别课件学习PPT

1、5.1 5.2 的基本方法的基本方法5.3 5.4 世界是模糊的世界是模糊的l 现实世界中有许多界限不分明甚至是很模糊的概念和问题。l 人类自然语言具有模糊性，使用了许多模糊的和不精确的概念。 人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。例如，个子高和低，天气热和冷What Is LostHistoryL. A. Zadeh(1921)扎德扎德 美国控制论专家，美国工程科学院院士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱性工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教育勋章。 1965年， L.A. Zadeh在信息与控制杂志第8期上发表模糊集模糊

2、集“Fuzzy Sets”的论文的论文, 开创了以精确数学方法研究模糊概念的模糊数学开创了以精确数学方法研究模糊概念的模糊数学领域，奠定了模糊数学的理论基础领域，奠定了模糊数学的理论基础。Lotfi Zadeh, at the University of California at Berkeley, first presented fuzzy logic in the mid-1960s. he introduced the idea of partial set membership.第一节第一节 模糊数学的基本概念模糊数学的基本概念1、集合及其特征函数：、集合及其特征函数：（1）集合：）

3、集合： 论域论域E中具有性质中具有性质P的元素组成的总体称为集合。的元素组成的总体称为集合。（2）集合的运算：）集合的运算： 集合的常用运算包括：交（集合的常用运算包括：交（）、并（）、并（）、补）、补（3）特征函数：）特征函数： （3）特征函数：）特征函数： 对于论域对于论域E上的集合上的集合A和元素和元素x，如有以下函数：，如有以下函数：l 特征函数表达了特征函数表达了元素元素x对集合对集合A的隶属程度的隶属程度l 可以用集合来表达各种概念的精确数学定义和各可以用集合来表达各种概念的精确数学定义和各种事物的性质种事物的性质 的特征函数的特征函数为集合为集合则称则称当当当当AxAxAxxAA

4、, 0, 12、模糊集合、模糊集合（1）概念的模糊性：）概念的模糊性： 许多概念集合具有模糊性，例如：许多概念集合具有模糊性，例如：成绩：好、差成绩：好、差身高：高、矮身高：高、矮年龄：年轻、年老年龄：年轻、年老头发：秃、不秃头发：秃、不秃模糊集合模糊集合l 模糊集也有它的元素，每个元素有属于该模糊集模糊集也有它的元素，每个元素有属于该模糊集的程度，从低至高一般用的程度，从低至高一般用 0 到到 1 之间的数表示。之间的数表示。u在经典的集合论中，所谓的二分条件规定每个元素只能属于或不属于某个集合（因此模糊集不是集合）；可以说，每个元素对每个集合的归属性（membership）都只能是 0 或

5、 1。l 而模糊集则拥有一个归属函数（而模糊集则拥有一个归属函数（membership function），其值允许取闭区间），其值允许取闭区间0,1（单位区间）（单位区间）中的任何实数，用来表示元素对该集的归属程度中的任何实数，用来表示元素对该集的归属程度。Fuzzy set (figure from Earl Cox)（2）隶属度函数：）隶属度函数： 如果一个集合的特征函数如果一个集合的特征函数A(x)不是不是0,1二值二值取值，而是在闭区间取值，而是在闭区间0，1中取值，则中取值，则A(x)是是表示一个对象表示一个对象x隶属于集合隶属于集合A的程度的函数，的程度的函数，称为称为隶属度函数

6、隶属度函数。l 隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模糊性。糊性。 AxAxxAxxAA当当在一定程度上属于在一定程度上属于当当当当, 0, 10, 1（3）模糊子集）模糊子集 设集合A是集合U的一个子集，如对于任意U中的元素x，用隶属度函数A(x)来表示x对A的隶属程度，则称A是U的一个模糊子集，记为：A=A(xi), xi 模糊子集可以用下式表示模糊子集可以用下式表示： x1,x2,xn 称为模糊子集称为模糊子集A的支持点的支持点nnAAAxxxxxxA2211例：在论域例：在论域U中确定一个模糊子集中确定一个模糊子集A，它表示，它表示“圆圆块块”

7、这一模糊概念。（如图）这一模糊概念。（如图）U =(a,b,c,d,e, f）(a)=1, (b)=0.9, (c)=0.4, (d)=0.2, (e)= (f)=010.90.40.2AabcdabcdefE(i) 论域无限时由隶属函数表出论域无限时由隶属函数表出;(ii) 论域有限时表出方法如下：论域有限时表出方法如下：模糊集的分解模糊集的分解3、模糊集合的、模糊集合的水平截集水平截集l 模糊子集模糊子集本身没有确定边界本身没有确定边界，其，其水平截集有确定水平截集有确定边界边界，并且不再是模糊集合，并且不再是模糊集合，而是一个确定集合而是一个确定集合。水水平平截截集集的的称称为为模模糊糊

8、子子集集，的的模模糊糊子子集集，则则对对任任意意为为设设AxxAxUAA)( 1 , 0l 用用水平集来划分模糊集水平集来划分模糊集A为有限个时，水平集为为有限个时，水平集为A为无限个时，水平集为为无限个时，水平集为例：关于例：关于“年青年青”的模糊集为的模糊集为 E=A50, A45, A40 ,A35, A30, A25E中模糊集：中模糊集：A=0/ A50+0.1 / A45 + 0.3/ A40 + 0.5/ A35 + 0.9/ A30 +1 / A25;AAEAA例：年龄的取值集合为 U=50岁,45岁, 40岁 ,35岁,30岁, 25岁模糊集“年青”可表示为： A=0/ 50岁

9、+0.1 / 45岁 + 0.3/40岁 + 0.5/ 35岁 + 0.9/ 30岁 +1/ 25岁A的不同的水平截集为： =0 ， A0 =50岁，45岁, 40岁 ,35岁,30岁, 25岁 =0.1， A0.1 =45岁, 40岁 ,35岁,30岁, 25岁 =0.2， A0.2 =40岁 ,35岁,30岁, 25岁 =0.3， A0.3 =40岁 ,35岁,30岁, 25岁 =0.5， A0.5 =35岁,30岁, 25岁 =0.7， A0.7 =30岁, 25岁 =0.9， A0.9 =30岁, 25岁 =1 ， A1 =25岁125355 . 060 =0.1水平集水平集: A=0

10、.1/A45 + 0.1/A40 + 0.1/A35 + 0.1/A30 +0.1/A25 =0.3水平集水平集: A=0.3/ A40 + 0.3/ A35 + 0.3/ A30 +0.3 / A25 =0.5水平集水平集:A=0.5/ A35 + 0.5/ A30 +0.5 / A25 不同的不同的有不同的模糊集有不同的模糊集A0.1 =A45, A40 ,A35, A30, A25A0.3 =A40 ,A35, A30, A25A0.5 =A35, A30, A25A0.9 =A30, A25一、并集、交集、补集一、并集、交集、补集l 设：A,B为E =（x）上的两个模糊集，则它们的并集

11、AB、交集AB、及A的补集 仍为模糊集，则它们的隶属函数为：并集并集:A B(x)max(A(x) ,B(x)交集交集: A B(x)min(A(x) ,B(x)补集补集: =1- B(x) , A(x) ,B(x) 分别为分别为A、B的的隶属函数隶属函数包含：包含：A B， A(x) y图形表示法：关系图图形表示法：关系图矩阵表示法：矩阵表示法：100110111010010110011011101001014321432143214321xxxxyyyyxxxxxxxxRXXRYX上上的的关关系系上上的的关关系系例：例：U张三，李四，王五张三，李四，王五， V数学，英语，政治数学，英语，政

12、治则关系则关系R（选课）可表示为：（选课）可表示为：101110011 张三 李四 王五数学英语政治（3）模糊关系）模糊关系 如关系如关系R是是UV的一个模糊子集，则称的一个模糊子集，则称R为为UV的一个模糊关系，其隶属度函数为的一个模糊关系，其隶属度函数为R(x,y)l 隶属度函数隶属度函数R(x,y)表示表示x,y具有关系具有关系R的程度的程度l 模糊关系是笛卡儿乘积集的一个子集，是有约束模糊关系是笛卡儿乘积集的一个子集，是有约束的的p例：例： u为身高为身高， v为体重为体重u= (1.4,1.5,1.6,1.7,1.8 ) （单位（单位m）v = (40, 50, 60, 70, 80

13、) （单位（单位kg）40506070801.410.80.2001.50.810.80.201.60.20.810.80.21.700.20.810.81.8000.20.81v模糊关系模糊关系“合乎标准合乎标准”表示为：表示为：（具有关系具有关系R的程的程度度）vu),( vuR也可记为：也可记为： 这样的矩阵（元素介于这样的矩阵（元素介于0，1之间）称为之间）称为模糊模糊矩阵矩阵，即，即模糊关系模糊关系。18 .02 .0008 .018 .02 .002 .08 .018 .02 .002 .08 .018 .0002 .08 .01R1、自反性自反性：对：对EE中的模糊关系中的模糊关

14、系 ， 为为 内的元素，若内的元素，若 成立，则成立，则 有自反有自反性。性。2、对称性对称性：若对：若对(x,y)EE都有都有则则 有对称性。矩阵对角线元素对称，有对称性。矩阵对角线元素对称，ij= ji。1000010000100001RRRRR1),(xxR成立),(),(xyyxRRR四、模糊关系的性质四、模糊关系的性质l 具有自反性对称性的模糊关系称为具有自反性对称性的模糊关系称为相似关系相似关系（或类似关系）（或类似关系）3、传递性、传递性 若矩阵若矩阵 中中 有有:l 具有自反性、对称性、传递性的模糊关系称为具有自反性、对称性、传递性的模糊关系称为等价关系等价关系。R),(yxR

15、222,RRRRRRR RR 其中为元素，为矩阵内的元素，称 具有传递性。l 设：设：l R与与S的最大最小关系表示为：的最大最小关系表示为：l 则则维模糊矩阵是维模糊矩阵是rmsSmnrRikij1,(1,2,., ;1,2,., )mikijjkitrsin kr SRTSRtTik记作的复合矩阵，对为五、复合矩阵五、复合矩阵8.001003.02.04.017.008.008.012.04.03.009.0S17.03.08.08.05.013.07.03.07.04.0SRT3 . 04 . 0108 . 012 . 005 . 03 . 07 . 0102 . 01 . 0Rl解：仿

16、矩阵相乘解：仿矩阵相乘相乘时取最小，相加时取最大相乘时取最小，相加时取最大。一、一、 统计法统计法例如: 确定 S=“几个”的隶属函数,10, 2 , 1X论域有人在武汉建材学院调查126人,统计数据如下:123456789102678124125 12411210810299131.4 隶属函数的确定隶属函数的确定1隶属隶属“几个几个”的隶属频率为的隶属频率为:将将0.2063视为视为1隶属隶属 S=“几个几个”的隶属度，的隶属度，S(1)=0.2063计算出所有的隶属频率即得计算出所有的隶属频率即得S 的隶属函的隶属函数近似为数近似为:2063. 01262610/1 . 09/78. 0

17、0.81/80.86/70.89/6 5/98. 04/99. 03/98. 02/62. 01/2 . 0Sl 对连续论域，适当选取一些分割点，用统计方对连续论域，适当选取一些分割点，用统计方法求得这些分点的隶属度，用光滑曲线连接，法求得这些分点的隶属度，用光滑曲线连接，即得隶属函数。即得隶属函数。l 例如例如: X=0,100，求，求Y=“年轻人年轻人”的隶属函数的隶属函数 将将X进行分割，假定进行分割，假定27是一个分点是一个分点; 调查调查106人，每人给出自己确定的年轻人区间人，每人给出自己确定的年轻人区间; 其中其中81个区间包含个区间包含27岁，因而岁，因而27岁对年轻人的岁对年

18、轻人的隶属频率为隶属频率为81/106=0.76；将其作为；将其作为Y(27)。 对每个分点同样处理，并用光滑曲线连接即得对每个分点同样处理，并用光滑曲线连接即得Y的隶属函数的隶属函数二、二、 利用已知隶属函数利用已知隶属函数,确定其中的参数确定其中的参数常见的隶属函数如下:1.梯形梯形偏小型bxbxaabxbaxxA01)(偏大型bxbxaabaxaxxA10)(Fuzzy Sets (figure from Klir &Yuan)中间型dxdxccdxdcxbbxaabaxaxxA010)(2. 正态形正态形偏小型axeaxxAax21)(梯形的一种特殊情形是三角形偏大型axeax

19、xAax211)(中间型2)(axexA3. 抛物形抛物形偏小型bxbxaabxbaxxAk01)(Membership functions (figure from Klir &Yuan)偏大型bxbxaabaxaxxAk10)(中间型dxdxccdxdcxbbxaabaxaxxAkk010)()0( k第二节第二节 模糊识别基本方法模糊识别基本方法l模糊模式识别：标本或待识别的事物具有模糊模式识别：标本或待识别的事物具有模糊性时，利用模糊数学方法处理模式识模糊性时，利用模糊数学方法处理模式识别问题别问题2.1 个体模糊模式识别个体模糊模式识别问题：问题：?, 00应相对属于哪个模式

20、应相对属于哪个模式问问是待识别对象是待识别对象xXx ,21个模式（标本）个模式（标本）个模糊集，代表个模糊集，代表上的上的是是nnXAAAn、隶属原则识别法（最大隶属度识别法）、隶属原则识别法（最大隶属度识别法）（1）形式一）形式一 l 设：设： A1, A2,. ,An是是U中的中的n个模糊子集，个模糊子集， x0为为U中的一个元素，若有隶属函数中的一个元素，若有隶属函数 i(xo) = max1(xo), 2(xo), . , n(xo) 则则xoAi关键是求隶属函数。若有了隶属函数关键是求隶属函数。若有了隶属函数 (x)，我们，我们把隶属函数作为判别函数使用即可。把隶属函数作为判别函数

21、使用即可。U中的每一个元素，代表了样本的一种取值情况，中的每一个元素，代表了样本的一种取值情况，而而Ai代表了不同的类别代表了不同的类别 例例1：体型判断这一分类问题中，设样本仅有一维特：体型判断这一分类问题中，设样本仅有一维特征，为体型指标，分别有征，为体型指标，分别有6种取值，取值域为种取值，取值域为U5,10,15,20,25,30 ，三种体型类别用模糊子集可以定义为：三种体型类别用模糊子集可以定义为：偏胖偏胖0/5+0.2 /10 + 0.4/15 + 0.6/20 + 0.8/25+ 1/30标准标准0.4/5+0.6/10 + 0.8/15 +1/20 + 0.6/25+ 0.4/

22、30偏瘦偏瘦1/5+0.8/10 + 0.6/15 + 0.4/20 + 0.2/25+ 0/30如果某人的体型指标为如果某人的体型指标为15，则根据最大隶属度原，则根据最大隶属度原则，可分到则，可分到“标准标准”这一类。这一类。（2）形式二）形式二 设设 A是是U中的中的1个模糊子集，个模糊子集， x1xn为为U中的中的n个个元素，若元素，若A的隶属度函数中，的隶属度函数中， (xk) =max(x1), (x2),. (xn) 则则A属于属于xk对应的类别对应的类别l U中的每一个元素对应了一个类别中的每一个元素对应了一个类别l A代表一个样本，其隶属度函数代表了这个样本代表一个样本，其隶

23、属度函数代表了这个样本属于不同类别的程度属于不同类别的程度l 此法不仅能得到样本的分类结果，还可以得到样此法不仅能得到样本的分类结果，还可以得到样本与各个类间的相似程度排序本与各个类间的相似程度排序例：设例：设U为为5种空中飞行目标的集合，种空中飞行目标的集合，U直升飞直升飞机，大型飞机，战斗机，飞鸟，气球机，大型飞机，战斗机，飞鸟，气球 ，根据对，根据对一个飞行物体的运动特征检测，得到其模糊子集一个飞行物体的运动特征检测，得到其模糊子集表达为：表达为：A0.7/直升飞机直升飞机+0.3 / 大型飞机大型飞机 + 0.1/ 战斗机战斗机 + 0.4/ 飞鸟飞鸟 + 0.8/ 气球气球根据最大隶

24、属度原则，可判断该飞行物体为根据最大隶属度原则，可判断该飞行物体为“气气球球”。 2.2 群体模糊模式识别群体模糊模式识别二、择近原则识别法二、择近原则识别法1. 贴近度贴近度 贴近度是两个模糊子集间互相靠近的程度，理贴近度是两个模糊子集间互相靠近的程度，理想的贴近度应当具有以下性质：想的贴近度应当具有以下性质：; 1),(1AA）（; 0),(),(2ABBA）（3( )( )( )ABCxUxxx（ ）若对任意有( )( )( )( ,)( ,)ABCxxxA CB C或则有( , ).A BAB则称为 、 的贴近度l定义：定义：:()()0,1,F XF X设若 满足：(1) ( , )

25、1, ( ,)0;A AX (2) ( , )( , );A BB A(3) ,( ,)( , )( ,),ABCA CA BB C时l 设A，B为U上的两个模糊子集，可以将它们之间的贴近度定义为： ”表示求最小。”表示求最小。”表示求最大，“”表示求最大，“符号“符号“UxBAUxBAxxxxBA)()()()(),(例：E=(a,b,c,d,e,f)6.0)6.01(8.021)(6.0)6.04.0()8.06.0()18.0()8.01()6.08.0()4.06.0(8.0)6.04.0()8.06.0()18.0()8.01()6.08.0()4.06.0(6.08.018.06.

26、04.04.06.08.018.06.0BABABAfedcbaBfedcbaA贴近度2. 择近原则识别法 设U上有n个模糊子集A1, A2,. ,An及另一模糊子集 B。若贴近度l 样本和类都用模糊子集来表示l 取值范围U中的每个元素代表了一个特征维度.),(max),(1类类则则最贴近最贴近与与则称则称iijnjiABABABAB例：某气象台对于当日气象条件的晨练指数预报分为三级，是用模糊集的方式，依据气温、风力、污染程度三个指标来决定的，具体隶属度关系见下表： 晨练指数级别对“标准气温”隶属度对“标准风力”隶属度对“有污染”的隶属度适宜晨练0.70.90.2可以晨练0.50.60.6不适

27、宜晨练0.40.50.8l 某天的气象条件用模糊集合来表达为： B=0.8/标准气温+0.7/标准风力+0.5/有污染请问：该天的晨练指数应该预报为哪一级？ l 解：用a来代表“标准气温”，b代表“标准风力”，c代表“有污染”，则该天的气象条件可表示为：B=0.8/a+0.7/b+0.5/c用A1表示“适宜晨练”，A2表示“可以晨练”，A3表示“不适宜晨练”，则各晨练指数级别可表示为：A10.7/a+0.9/b+0.2/cA20.5/a+0.6/b+0.6/cA30.4/a+0.5/b+0.8/c分别求B和A1、A2、A3的贴近度A10.7/a+0.9/b+0.2/c B=0.8/a+0.7/

28、b+0.5/c/V: (0.7+0.7+0.2)/(0.8+0.9+0.5) =0.727A20.5/a+0.6/b+0.6/c B=0.8/a+0.7/b+0.5/c/V: (0.5+0.6+0.5)/(0.8+0.7+0.6) =0.762A30.4/a+0.5/b+0.8/c B=0.8/a+0.7/b+0.5/c/V: (0.4+0.5+0.5)/(0.8+0.7+0.8) =0.608B和A2的贴近度最大，根据择近识别原则，BA2该天的晨练指数应该预报为“可以晨练”。第三节第三节 模糊聚类分析模糊聚类分析 1、基于模糊等价关系的聚类方法、基于模糊等价关系的聚类方法 （1）等价关系）等

29、价关系 设设R是是Ux上一个关系，若满足：上一个关系，若满足：（a）自反性：）自反性： (x,x) R（b）对称性：）对称性： 若若(xi，xj) R，则有，则有(xj，xi) R（c）传递性：若）传递性：若(xi，xj) R和和(xj，xk) R ，则，则有有(xi，xk) R 则称则称R是是U上一个等价关系。上一个等价关系。l 当当U上有一个等价关系上有一个等价关系R时，并不是时，并不是U中所有元中所有元素都有等价关系，而是素都有等价关系，而是U中的元素可以按等价关中的元素可以按等价关系分成若干类。系分成若干类。 （2）模糊等价关系）模糊等价关系 设设R是是Ux上一个模糊关系，若满足：上一

30、个模糊关系，若满足：（a）自反性：）自反性： R(x,x) 1（b）对称性：）对称性： R (xi，xj)R (xj，xi)（c）传递性：）传递性： 对于任意对于任意xj U，有有R (xi，xk) (R (xi，xj) R (xj，xk) 则称则称R是是U上一个模糊等价关系。上一个模糊等价关系。l不具有传递性的模糊关系称为模糊相似关系，可不具有传递性的模糊关系称为模糊相似关系，可通过求通过求R2，R4，R8来获得一个逼近模糊等价来获得一个逼近模糊等价关系的模糊关系。关系的模糊关系。（3）等价关系定理：）等价关系定理： 若若R是是U上的一个模糊等价关系。则对任意阈值上的一个模糊等价关系。则对任

31、意阈值(0 1)则水平截集则水平截集R也是也是U上的一个等价关上的一个等价关系。系。l 水平集：水平集： R = x | R(x)（4）基于模糊等价关系的聚类）基于模糊等价关系的聚类 利用等价关系定理，已知样本集利用等价关系定理，已知样本集X上的模糊等价上的模糊等价关系关系R，则可通过，则可通过R的不同的不同水平截集得到多种等水平截集得到多种等价类划分，也就实现了样本集在不同隶属度要求价类划分，也就实现了样本集在不同隶属度要求下的聚类。下的聚类。例：设例：设X x1、x2、x3、x4、 x5 ，有一个模糊，有一个模糊等价关系等价关系R为：为： 543215432116.05.04.05.06.

32、015.04.05.05.05.014.08.04.04.04.014.05.05.08.04.01xxxxxRxxxxx取取0.4，得到水平截集为：，得到水平截集为： 此时所有样本等价，属于一类；此时所有样本等价，属于一类； 11111111111111111111111114 . 0R取取0.5，得到水平截集为：，得到水平截集为： x聚为二类即聚为二类即x1,x3,x4, x5 x211101111011110100010111015.0R取取0.6，得到水平截集为：，得到水平截集为： 此时聚成三类，此时聚成三类，x1,x3、x4, x5 和和x2110001100000101000100

33、01016 . 0R取取0.8，得到水平截集为：，得到水平截集为： 此时聚成四类，此时聚成四类，x1,x3、x4、x5 和和x2 10000010000010100010001018.0R取取1，得到水平截集为：，得到水平截集为： 此时聚成五类，每个样本自成一类，此时聚成五类，每个样本自成一类，即 x1 x2 x3 x4 x5 10000010000010000010000011R2. 模糊聚类算法模糊聚类算法1. 设设x是要分类的对象全体，建立是要分类的对象全体，建立x上的模糊关系上的模糊关系R。它满足自反性、对称性，即：。它满足自反性、对称性，即：ii1，ij ji ，此模糊关系为相似关系

34、。，此模糊关系为相似关系。2. 把相似关系（相似矩阵）把相似关系（相似矩阵） 变成等价关系方法为变成等价关系方法为： 取取R的乘幂为的乘幂为R2，R4，R844822422kk,.RRRRRRRRRRRRR就是模糊等价关系。且则若在某一步有3. 选择适当选择适当值，取等价关系值，取等价关系R的的水平集，根据水平集，根据水平集确定样本的类别。水平集确定样本的类别。例：设例：设Xx1,x2,x5五个人的集合。五个人的集合。x1为父亲，为父亲，x2为儿子，为儿子，x3为女儿，为女儿，x4为叔叔，为叔叔，x5为母亲，为母亲，x上的模糊关系上的模糊关系 R表示他们间的相象关系。表示他们间的相象关系。R满

35、足自反性满足自反性ii1， 、对称性、对称性 ij ji，但是不但是不满足传递性。满足传递性。是相似关系，改造成等价关系是相似关系，改造成等价关系其中其中ij表示第表示第i个人个人xi与第与第j个人个人xj的面貌相似程度。的面貌相似程度。11 .09 .085.02 .01 .0102 .01 .09 .0018 .06 .085.02 .08 .018 .02 .01 .06 .08 .01R1x2x1x2x3x4x5x3x4x5x求模糊等价关系的算法求模糊等价关系的算法nnnjnninijiinjR.2121111211设设R为相似关系为相似关系222122212121211.2nnnjn

36、inijinjRRRRRRRRRRRR222122331ijijijRijijRijijRijk计算的算法如下：）若是第 行最大元素，则，否则转到 ），）若是第 列最大元素，则，否则转到 ），）置初值24,6),.5)5,min(,)6 .6?7)14)7max8ijikikijikijkjijkjijkikkjijkRkijbknknkkib）第 行上元素与比较 若转取下一元素 若转）第 列上相应元素，与比较 若则令，否则转 ）问若转否则令转取第 行下一元素与比较）结束。11.09.085.02.01.0102.01.09.0018.06.085.02.08.018.02.01.06.08.01R1x2x1x2x3x4x5x3x4x5x210.80.80.20.80.810.850.20.850.80.85