大学物理 第14章 振动

1、第十四章第十四章 振动振动物理学（下册）物理学（下册）14.114.1 简谐振动简谐振动14.1.1 简谐振动动力学方程简谐振动动力学方程xkf0222xdtxd固有角频率固有角频率(4)mk( 弧度弧度/秒秒)(2)fv0f22dtxdmmaf0f0cos()xAt简谐振动表达式简谐振动表达式:v平衡位置022xmkdtxdf0v0vf0v(1)(3)(5)114.1.2谐振动的特征量谐振动的特征量1、振幅振幅 A2、周期周期 T3、频率频率 Tv122Tv4、相位、相位0()t0t时时00t为初相位为初相位0cos()xAtxO0sin()dxAtdt t+T状态不变状态不变0cos()A

2、tT)(sin0TtA2T/2T2(1)描述振动系统描述振动系统形象状态形象状态的物理量的物理量)cos(0tAx)sin(0tAdtdx)(0txv02223A00A0A0-A0A(2)描述振动系统状态的变化趋势描述振动系统状态的变化趋势(3)描述频率相同的两振动系统的描述频率相同的两振动系统的振动步调振动步调322020vxA000tgx v由初始条件由初始条件00vx 和00cosxA00sinA 解方程组可得解方程组可得14.1.3 简谐运动的速度、加速度及简谐振动曲线简谐运动的速度、加速度及简谐振动曲线22dtxda dtdxv)sin(0tA)2cos(0tA)cos(02tA)c

3、os(02tA)cos(0tAxAmv2Aam速度超前位移速度超前位移/2相位相位加速度超前位移加速度超前位移相位相位4otAxcos6xto0 xyAvv0)cos(otAxAA 以角速度以角速度逆时针转逆时针转在在x轴上的投影：轴上的投影：)(ot 直观地表达了直观地表达了 直观地表达振动状态直观地表达振动状态x、vxotx (cm)0.25-0.50 t (s)2求：振动方程求：振动方程（振动表达式）（振动表达式）解解：由图可知由图可知cmA5 .0sT22()rad sT初始条件：初始条件：)(25. 0cos5 . 0cos000cmAx5 . 0cos030)3cos(5 . 0t

4、x对吗？对吗？初始条件初始条件v000sin0A0sin030)3cos(5 . 0tx练习题练习题(cm)0 xAA/2/3-/3Av06例：质量为例：质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k 的弹簧组成的弹簧谐振子，的弹簧组成的弹簧谐振子， t = 0时，质点过平衡位置且向正方向运动。时，质点过平衡位置且向正方向运动。求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的最短时间最短时间0ttt6776k mxo解：设解：设 t 时刻到达末态时刻到达末态由已知画出由已知画出t = 0 时刻的旋矢图时刻的旋矢图再画出末态的旋矢图再画出末态的旋矢图由题意选蓝实线

5、所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为 得得80t0系统机械能守恒系统机械能守恒222121xkmEEEPKv2020)cos(21)sin(21tAktAm2222121kAAm)(mk14.1.5 谐振动的能量谐振动的能量)sin(0tAdtdx)cos(0tAx9 简谐运动实例简谐运动实例1、水平弹簧振子、水平弹簧振子0222xdtxdmk2、单摆的运动、单摆的运动 很小时很小时222sindtdmlmgl022lgdtdlg令令解得解得)cos(tAx-AAkmT22固有周期固有周期glT2sinmgcosmgmgmT10cos()ot 3 3 竖直弹簧

6、振子竖直弹簧振子mg自然自然平衡平衡任意任意x0 xxkmgmafmgxxkfmakx 由以上三式可得由以上三式可得即即220d xkxdtm与水平弹簧振子相同，只改变平衡位置与水平弹簧振子相同，只改变平衡位置f12简谐振动的判据简谐振动的判据1. 动力学判据动力学判据受正比而反向的恢复力作用受正比而反向的恢复力作用xkf即即022xmkdtxd2. 能量判据能量判据振动系统机械能守恒振动系统机械能守恒0 xmkdtdv0 xmkdtdxdxdv0 kxdxmvdv积分积分恒量222121xkmv3. 运动学判据运动学判据)cos(tAx相对平衡位置的位移随时间按正、余弦相对平衡位置的位移随时

7、间按正、余弦规律变化规律变化（一次积分）（一次积分）（二次积分）（二次积分）13无阻尼自由振荡，电容板上电量为q， 振荡电流i，总能量常量222121Licq0dtdiLidtdqcq22,dtqddtdidtdqi0122qLcdtqd-谐振动微分方程求导由于LC+_iq例：14频率频率电磁振荡：电磁振荡：tqdtdqitqqsincos00LC11）发射高电磁能）发射高电磁能-使电路开放使电路开放2）能量）能量 4 减小减小 L和和C，提高，提高 电路变化如图电路变化如图 所示所示从振荡电路过渡到振荡偶极子从振荡电路过渡到振荡偶极子LC+(a)_(b)LC+_(c)LC+_+qql(d)1

8、514.2 14.2 阻尼振动阻尼振动二、阻尼振动二、阻尼振动粘性阻力粘性阻力RFv22dtxdmdtdxkx022xmkmdtdxdtxd或或有有022022xdtdxdtxdtex02202特征方程特征方程将试探将试探 解解代入上式代入上式令令mk /0m/2一、无阻尼振动一、无阻尼振动例：水平弹簧谐振子例：水平弹簧谐振子02022xdtxdmk0)cos(00tAx16022022xdtdxdtxdtex022022020/202) 1(00( )cos()tx tA et220特征方程特征方程特征根特征根试探试探 解解阻尼度阻尼度 - 表征阻尼大小的常量表征阻尼大小的常量1）当当时时,

9、方程的解为方程的解为式中式中mk /0m/2RFv欠阻尼运动（阻尼小）欠阻尼运动（阻尼小）阻尼因数阻尼因数tx欠阻尼欠阻尼220isincosieisincosieicos2iiee172）过阻尼运动（阻尼较大）过阻尼运动（阻尼较大）当当解为解为无周期，非振动。无周期，非振动。3）临界阻尼运动）临界阻尼运动当当在在振幅衰减到原来的振幅衰减到原来的2021ttecectx)(2)(1202202)(2021tetcctx)()(211%371e或或图图 时间时间,tx临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼18定态解定态解暂态解暂态解周期性驱动力周期性驱动力式中式中cosdfHpt22cosdx

10、d xkxHptmdtdt22022cosd xdxxhptdtdtm2mk0Hhm0( )cos()cos()tx tA etApt14.3 14.3 受迫振动受迫振动 一、受迫振动一、受迫振动19得定态解振幅得定态解振幅:相位相位:222220()4hApp2202parctgp( )cos()x tApt令定态解令定态解定态解定态解暂态解暂态解txdtdxdtxddcos220220( )cos()cos()tx tA etApt代入原方代入原方程程与初始条件无关A和20二二 位移共振位移共振当当由由时时, A 达最大达最大, 称位移共振称位移共振rp0dAdp2202p振幅振幅:相位相

11、位:222220()4hApp2202parctgp2202hA 210r很小时，很小时，x1A2AA12O1x2x14.4 简谐振动的合成简谐振动的合成111cos()xAt222cos()xAt12cos()xxxAtx221212212cos()AAAA A11221122sinsintgcoscosAAAA14.4.1 同方向、同频率两个简谐振动的合成同方向、同频率两个简谐振动的合成 22212k21(21)k2121AAAAA21AAA21AAA21其它值12cos()xxxAt221212212cos()AAAA A( 同相同相 )( 反相反相 )同一直线上的同一直线上的n个个同频

12、率的简谐运动的合成同频率的简谐运动的合成taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax) 1(cosntaxn)cos(tAx23)2sin(2nRA)2sin(2Ra两式相除两式相除)2sin()2sin(naA)cos(tAxaRACOxPM)(21nCOM1()2COP21nCOMCOP24例、若一个质点同时参与两个同方向同频率的简谐运动。已知一例、若一个质点同时参与两个同方向同频率的简谐运动。已知一个分振动的表达式为：个分振动的表达式为：x x1 1=Acos=Acos( (t+5t+5/6)/6)，而合振动的表达式，而合振动的表达式为：为：x=Acosx=Acos(t+(t+/

13、2)/2)。试求另一分振动的表达式。试求另一分振动的表达式。解法一、（解析法）解法一、（解析法）因为某时刻合振动的位移等于该时刻两个分振动位移之和。因为某时刻合振动的位移等于该时刻两个分振动位移之和。即：即：12xxx215cos()cos()26xxxAtAt22 sin()sin()36At 所以：所以：252sin()cos()36AtAt解法二、（旋转矢量法）解法二、（旋转矢量法）AA1A25/620画出画出t=0t=0时刻合振动的振幅矢量时刻合振动的振幅矢量A A和分振和分振动的振幅矢量动的振幅矢量A A1 1，如图所示。由矢量运，如图所示。由矢量运算法则可以得到另外一个分振动的振幅

14、算法则可以得到另外一个分振动的振幅矢量矢量A A2 2。因为：因为：1AAA2AA2 06所以得到：所以得到：由图可以得到：由图可以得到：所以可以写出另外一个振动的表达式：所以可以写出另外一个振动的表达式：2cos()6xAt26例、有三个同方向，同频率的简谐振动，振动方程分别为：例、有三个同方向，同频率的简谐振动，振动方程分别为：12320.05cos();0.05cos();0.05cos()33xtxtxt试求合振动方程。试求合振动方程。OxA1A2A3A/32/3解：方法一（旋转矢量法）解：方法一（旋转矢量法）取坐标取坐标OxOx，每一振动相位差为，每一振动相位差为/3/3，三，三个分

15、振动以及合振动的旋转矢量位置，个分振动以及合振动的旋转矢量位置，如图可以表示出来。如图可以表示出来。由图可以求出合振动的振幅为：由图可以求出合振动的振幅为：22112233112233221(coscoscos)(sinsinsin)22(cos0coscos)(sinsin)33330.05 1 30.1AAAAAAAA27合振动的初始位相为：合振动的初始位相为：11122331122331sinsinsintansss3tan13AAAA coA coA co0.1cos()3xt所以，合振动的振动方程为：所以，合振动的振动方程为：方法二、（解析法）方法二、（解析法）直接利用三角函数的计算

16、，可以求出合振动方程为：直接利用三角函数的计算，可以求出合振动方程为：12320.05cos() 0.05cos() 0.05cos()330.05cos() 0.1cos()cos()3330.05cos() 0.05cos()0.1cos()333xxxxtttttttt2811cosxAt22cosxAt21xxx1212()()2coscos22ttA1212()当当准谐振动准谐振动tAtA21coscos（振幅相同（振幅相同 初相为零）初相为零）合成振幅合成振幅12()2 cos2AAt频率都较大但两者相差很小的两个同方向简谐振动，频率都较大但两者相差很小的两个同方向简谐振动，合成时

17、所产生的这种合振幅时而加强时而减弱的现象合成时所产生的这种合振幅时而加强时而减弱的现象拍拍:14.4.2 同方向不同频率的简谐运动的合成同方向不同频率的简谐运动的合成29801v902v0.05s0.1s0.15s0.2sttt24302A30121212222bT121212bbvT拍的周期拍的周期合成振幅合成振幅12()2 cos2AAt21xxx1221()()2coscos()22ttAtAtA21coscos加强与减弱之间的时间间隔单位时间加强或减弱的次数3111cos()xAt22cos()yAt221222212sincos2AAxyAyAx质点沿逆时针方向运动质点沿逆时针方向运动质点沿顺时针方向运动质点沿顺时针方向运动002或12令*14.4.3 相互垂直的简谐运动的合成相互垂直的简谐运动的合成 3221222212AyAx正椭圆正椭圆AAA21222Ayx变成圆变成圆当当则则(2)2A12A2222A221222212sincos2AAxyAyAx33021AyAx21AyAx讨论讨论直线运动直线运动(1)cos(tmAx)cos(0tnAym4m4mm45m23m47m2m2m431:1 1:21:3 2:3 3:4 mn :00 34画图画图：用旋