讨论函数在一点P沿某一方向变化率问题PPT课件

1、.),()sin,cos(lim0tyxftytxflft 沿沿着着x轴轴负负向向、y轴轴负负向向的的方方向向导导数数是是 yxff ,.的的方方向向导导数数沿沿方方向向数数在在点点存存在在，则则称称这这极极限限为为函函若若lPtyxftytxft),()sin,cos(lim0 记为第1页/共14页证明证明由于函数可微，则增量可表示为)(),(),(),(),( oyyxfxyxfyxfyyxxfyx 现取,sin,cos tytx 得到第2页/共14页)(sincoslim0ttoyfxft 方向导数tyxftytxft),()sin,cos(lim0 .sincos yfxf lf第3页

2、/共14页,),()cos,cos,cos(lim0tzyxftztytxflft 推广可得三元函数的方向导数推广可得三元函数的方向导数 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向沿任意方向 L的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有.coscoscos zfyfxflf 第4页/共14页二、Gradient?:最最快快沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度函函数数在在点点问问题题P yfxf,第5页/共14页 sincosyfxflf eyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf lf 有有最最大大值值.由方向导数公式知由

3、方向导数公式知.),(的的夹夹角角与与是是其其中中lyxgradf 第6页/共14页 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22| ),(| yfxfyxgradf.结论结论 而函数在该点沿任一方向而函数在该点沿任一方向 l 的的方向导数方向导数为梯为梯度在该方向上的投影度在该方向上的投影.第7页/共14页.),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其

4、模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数第8页/共14页Sol.)2 , 1()2 ,(),()0 , 1()0, 1(22)0, 1( yyxeeyzxzgradz所求方向导数所求方向导数lz )21(2211 .22 Eg.1 求函数求函数yxez2 在点在点)0 , 1(P处沿从点处沿从点 )0 , 1(P到点到点)1, 2( Q的方向的方向导数的方向的方向导数. )21,21( lelegradz )0 , 1(第9页/共14页Eg.2 求函数求函数 在点在点 P(1, 1, 1) 沿向量沿向量zyxu2)3 , 1,2( l的方向导数的方向导数 .Plu 146 )314(

5、141 Sol. )3 , 1,2(141 le)1 , 1 , 2(),2()1 , 1 , 1()1 , 1 , 1(22 yxzxxyzgradulegradu )1 , 1 , 1(第10页/共14页1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）小结.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf第11页/共14页备用题备用题 1. 函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92第12页/共14页指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d2. 函函数数)ln(22zyxu解解: 31,32,32le则则Axu) 1ln( x