第二章符号计算

1、1 第二章第二章 符号计算符号计算解算数学表达式、方程时，不是在离散解算数学表达式、方程时，不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式和数学定理，通过推理和演绎，获等式和数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果。得解析结果。符号计算建立在数值完全准确表达和推符号计算建立在数值完全准确表达和推演严格解析的基础之上，因此所得结果演严格解析的基础之上，因此所得结果是完全准确的。是完全准确的。3 例：例： syms a b c x eq=a*x2+b*x+c; solve(eq) ans = -(b + (b2 - 4*a*c)(1/2)/(2*a) -(b -

2、(b2 - 4*a*c)(1/2)/(2*a) 运算对象可以是没赋值的符号变量运算对象可以是没赋值的符号变量 可以获得任意精度的解可以获得任意精度的解 符号运算的特点符号运算的特点5 数值运算中必须先对变量赋值数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。然后才能参与运算。 符号运算无须事先对符号变量符号运算无须事先对符号变量赋值赋值，运算结果以标准的符号形式，运算结果以标准的符号形式表达。表达。6 数值计算是先给出求解区间上的离散点，然后在数值计算是先给出求解区间上的离散点，然后在离散点上计算结果，计算的结果在该点上是准确的。离散点上计算结果，计算的结果在该点上是准确的。但是在处理导数，极限

3、等问题时遇到问题。但是在处理导数，极限等问题时遇到问题。 符号计算建立在公式化简，恒等式代换，数学定符号计算建立在公式化简，恒等式代换，数学定理运用上，最终求出来符号解理运用上，最终求出来符号解(可以是公式也可以是可以是公式也可以是数值数值), ,求出的结果准确可信。求出的结果准确可信。2.1 符号对象和符号表达式符号对象和符号表达式 基本符号对象：符号数字，基本符号变量（自由符基本符号对象：符号数字，基本符号变量（自由符号变量和符号参数）。号变量和符号参数）。 数值计算规定：数值表达式所用的变量必须事先被数值计算规定：数值表达式所用的变量必须事先被赋过值，否则该表达式无法计算。赋过值，否则该

4、表达式无法计算。 Symbolic Math Toolbox 沿用数值计算的这种模式，沿用数值计算的这种模式，规定规定：在进行符号计算时，首先要定义基本的符号：在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象，然后利用这些基本符号对象去构成新的表达对象，然后利用这些基本符号对象去构成新的表达式，进而从事所需的符号运算。式，进而从事所需的符号运算。8生成符号对象的基本规则生成符号对象的基本规则: 任何基本符号对象都必须借助专门的任何基本符号对象都必须借助专门的符号符号函数命令函数命令sym或或syms定义。定义。 任何包含符号对象的表达式或方程，将继任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号对象的属性

5、。换句话说，在运算中，承符号对象的属性。换句话说，在运算中，凡是由包含符号对象的表达式所生成的衍凡是由包含符号对象的表达式所生成的衍生对象也都是符号对象。生对象也都是符号对象。2.1.1 符号对象的创建和衍生符号对象的创建和衍生定义格式如下定义格式如下: sym(Num) %创建一个符号数字创建一个符号数字Num sc=sym(Num) %创建一个符号常数创建一个符号常数sc，该常数值准，该常数值准 %确等于确等于Num说明说明: 其中其中Num代表一个具体的数字。当且仅当代表一个具体的数字。当且仅当Num为整为整数、有理数（如数、有理数（如321/1000）、预定义常数（如）、预定义常数（如

6、pi）时，）时，才得保证才得保证sym指令创建的符号数字（或符号表达式）指令创建的符号数字（或符号表达式）是完全准确的。是完全准确的。 Num应杜绝使用应杜绝使用“十进制小数（如十进制小数（如0.321）”、“科学法科学法记述数（如记述数（如321e-3）”,以便确保创建的符号数、符号以便确保创建的符号数、符号表达式精准。表达式精准。 符号数字符号数字10 Num必须处于必须处于英文状态下英文状态下的单引号内。的单引号内。 数值常量作为函数命令数值常量作为函数命令sym( )的输入参量，的输入参量，就建立了一个符号常量，看上去的一个数就建立了一个符号常量，看上去的一个数值量，但它已是一个符号对

7、象。值量，但它已是一个符号对象。 例:创建一个符号数值常数，该数值准确的等于0.3。 sa=sym(3/10)%正确 sa1=sym(0.3)%错误 sa2=sym(3e-1) %错误 定义基本符号变量的指令：定义基本符号变量的指令：sym, syms sym的常用使用格式：的常用使用格式：para = sym(para) 定义单个复数域符号变量定义单个复数域符号变量parapara = sym(para,Flag) 定义单个定义单个Flag指定域符号变指定域符号变 量量para 基本符号变量基本符号变量12 syms的常用使用格式：的常用使用格式：syms para 定义单个复数域符号变量定

8、义单个复数域符号变量para syms para Flag 定义单个定义单个Flag指定域符号变量指定域符号变量parasyms(para1, para2, paraN ) 定义多个复数域定义多个复数域 符号变量符号变量para1, para2, paraN syms para1 para2 paraN上述格式的简洁形式上述格式的简洁形式syms para1 para2 paraN Flag定义多个复数定义多个复数Flag指指 定域符号变量定域符号变量para1, para2, paraN 基本符号变量基本符号变量13 positive: 正实数域，表示那些符号对象取正实数域，表示那些符号对象

9、取 正实数；正实数； real:实数域，表示那些符号对象限定为实数；实数域，表示那些符号对象限定为实数；Flag: 代表数域的限定性假设代表数域的限定性假设14符号表达式符号表达式15符号表达式符号表达式 由符号数字、符号变量、符号函数用运算符或一些预由符号数字、符号变量、符号函数用运算符或一些预定义函数连接而成的符号对象。定义函数连接而成的符号对象。syms u v w z a5 %定义符号参数和变量定义符号参数和变量f=sym(3); %定义符号常数定义符号常数Eq=sin(f)*u*z2+v*z+f*w-a5; %构成符号表达式构成符号表达式 syms n x t w c;f1= log

10、(t)2*tclassf1=class(f1)f2=sym(a*x2+b*x+c) %创建创建”元元”符号表达式符号表达式classf2=class(f2)16符号矩阵符号矩阵 矩阵元素是符号对象的称作符号矩阵。矩阵元素是符号对象的称作符号矩阵。符号矩阵的创建符号矩阵的创建 数值矩阵数值矩阵A=1,2;3,4 A=a,b;c,d 不识别不识别1.用用matlab函数函数sym创建矩阵创建矩阵命令格式：命令格式：A=sym( ) 符号矩阵内容同数值矩阵符号矩阵内容同数值矩阵 需用需用sym指令定义指令定义 用用 标识标识17例如：例如：A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) A =

11、 a, 2*b 3*a, 0 这就完成了一个符号矩阵的创建。这就完成了一个符号矩阵的创建。注意：符号矩阵显示每一行的两端都有方注意：符号矩阵显示每一行的两端都有方 括号，这是与括号，这是与 matlab数值矩阵的数值矩阵的 一个区别。一个区别。182.先创建符号变量，再创建符号矩阵先创建符号变量，再创建符号矩阵 例如：例如：syms a b c dm2=a,b;c,dclass2=class(m2)19syms和和sym区别之一区别之一 syms可以同时定义多个符号变量，可以同时定义多个符号变量，sym一一次定义一个符号变量；次定义一个符号变量； sym可以创建符号数字、符号常数、元符号可以创

12、建符号数字、符号常数、元符号表达式，表达式，syms不能创建符号数字、符号常不能创建符号数字、符号常数和元符号表达式；数和元符号表达式；syms和和sym的区别的区别20 syms是定义符号变量，不能将数值数字转换是定义符号变量，不能将数值数字转换为符号数字，为符号数字，sym是将数字、字符、（字符是将数字、字符、（字符串）或者表达式转换为符号对象。串）或者表达式转换为符号对象。 比如：比如：syms x y %定了符号变量定了符号变量x、y，以后，以后x、y就可以直接使用了，有他们参与运算出来的结果也就可以直接使用了，有他们参与运算出来的结果也是符号变量。是符号变量。 当然上面的也可以当然上

13、面的也可以x=sym(x), y=sym(y) 。sym(a+b) %将将a+b转化为符号表达式转化为符号表达式syms和和sym区别之二区别之二21符号表达式中自由符号变量的确定符号表达式中自由符号变量的确定 基本符号变量可分为：自由符号变量和符号参数。基本符号变量可分为：自由符号变量和符号参数。 确定自由符号变量的规则：在专门指定变量名的符确定自由符号变量的规则：在专门指定变量名的符号运算中，解题一定围绕指定变量名进行号运算中，解题一定围绕指定变量名进行。在没在没有指定变量名的符号运算中，有指定变量名的符号运算中，MATLAB将按照与将按照与小写字母小写字母x的的ASCII码距离自动识别出

14、自由符号变码距离自动识别出自由符号变量。解题通常是围绕自由符号变量进行的，解得的量。解题通常是围绕自由符号变量进行的，解得的结果通常是结果通常是“用符号参数构成的表达式表述自由符用符号参数构成的表达式表述自由符号变量号变量”。22符号表达式中自由符号变量的确定符号表达式中自由符号变量的确定 为符号操作和计算的需要，为符号操作和计算的需要，MATLAB提供一个提供一个symvar指令，可实现对表达式中所有自由符号变量指令，可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数目的自由符号变量的自动认定。或指定数目的自由符号变量的自动认定。 a*x2+b*x+c=0 一共一共4个参数，围绕谁求解？个参数，围绕谁

15、求解？symvar(expression) 列出表达式中所有基本符号变量列出表达式中所有基本符号变量symvar(expression,n) 从表达式中确认出靠从表达式中确认出靠x最近的最近的n个个 自由符号变量。自由符号变量。23 注意注意： expression可以是符号表达式或符号矩阵。此时，可以是符号表达式或符号矩阵。此时，该指令对自由变量的确认是对整个矩阵进行的，该指令对自由变量的确认是对整个矩阵进行的，而不是对矩阵元素逐个进行的。而不是对矩阵元素逐个进行的。 在在MATLAB符号计算中，符号计算中，x是首选符号变量，其是首选符号变量，其后的次序排列规则：与后的次序排列规则：与x的的

16、ASCII码值之差的绝对码值之差的绝对值小的字母优先；差绝对值相同时，值小的字母优先；差绝对值相同时，ASCII码值大码值大的字母优先。的字母优先。 注意字母的大小写。在此认为大写字母离小写注意字母的大小写。在此认为大写字母离小写x的的距离总大于所有小写字母离距离总大于所有小写字母离x的距离。的距离。 自动识别符号变量时，字母的优先次序为自动识别符号变量时，字母的优先次序为x,y,w,z,v等。等。24例例2.1-22.1-2（P44P44）例例2.1-32.1-32.1.2 符号计算中的算符符号计算中的算符 基本运算符基本运算符 算符算符“+”、“-”、“ * ”、“ ”、“ / ”、“ ”

17、： 分别表示分别表示“符合矩阵运算法则符合矩阵运算法则”的加、减、乘、的加、减、乘、左除、右除、求幂运算。左除、右除、求幂运算。 算符算符 “.* ”、“. ”、“./ ”、“. ”：分别表示：分别表示“数组对应元素间数组对应元素间”的乘、左除、右除、求幂的乘、左除、右除、求幂运算。运算。 算符算符“ ”、“ . ” ：分别实现矩阵的共轭转置、：分别实现矩阵的共轭转置、非共轭转置。非共轭转置。2.1.3 符号计算中的基本函数符号计算中的基本函数 借助于重载技术，把具有相同函数计算功能借助于重载技术，把具有相同函数计算功能的文件采用同一个函数名加以保存，从形式的文件采用同一个函数名加以保存，从形

18、式上看，数值运算函数和符号计算的函数没有上看，数值运算函数和符号计算的函数没有什么区别。什么区别。 符号计算函数库分符号计算函数库分3个层次个层次(基本函数、经典基本函数、经典特殊函数和符号计算特殊函数和符号计算MuPAD库函数库函数)，我们，我们掌握基本函数即可。掌握基本函数即可。 需要注意函数对数据类型的要求，比如需要注意函数对数据类型的要求，比如plot不能用符号类参数。不能用符号类参数。272.1.4 符号对象的识别符号对象的识别 class(var) isa(var,Obj) whos问题：问题：a=1;b=2;c=3;d=4;Mn=a,b;c,dMc=a,b;c,d %Mc是符号矩

19、阵吗？是符号矩阵吗？Ms=sym(Mc)%Ms是什么类型？是什么类型？察看例程察看例程2.1-5（P46）数值、符号、字符是数值、符号、字符是MATLAB中的三种不同的数据中的三种不同的数据类型。类型。2.2 符号数字及表达式操作符号数字及表达式操作 2.2.1.双精度数字与符号数字之间的转换双精度数字与符号数字之间的转换 sym(Num, r)或或sym(Num) 双精度数字双精度数字Num的的“有理分数有理分数” 表达的符号数字表达的符号数字 sym(Num, d) 数值类数字数值类数字Num的的“十进制浮点十进制浮点”近似近似 表达符号数字表达符号数字 在符号运算中，在符号运算中，“双精

20、度数字双精度数字”都会自动地按都会自动地按sym(Num, r)格式转换为符号数字。格式转换为符号数字。 注意注意 sym(Num)和和sym(Num)的区别：的区别： Num是字符串数字。当是字符串数字。当Num用作符号计算函数的输入量用作符号计算函数的输入量时，它体现数字的理论真值。时，它体现数字的理论真值。 Num是字面表示数字。在是字面表示数字。在MATLAB环境中，实际上是以双环境中，实际上是以双精度（精度（16位相对精度）的近似方式保存的。当位相对精度）的近似方式保存的。当Num用作符用作符号计算函数的输入量时，它体现数字理论数字的双精度近似。号计算函数的输入量时，它体现数字理论数

21、字的双精度近似。 MATLAB为每种数据类型提供了各自特定的生成为每种数据类型提供了各自特定的生成指令和操作指令。指令和操作指令。 为实现不同数据类型的交互，为实现不同数据类型的交互，MATLAB提供了一提供了一系列的转换指令。系列的转换指令。 数值型数值型符号结果符号结果符号常数符号常数 符号量（表达式）符号量（表达式）数值数值字符串（表达式）字符串（表达式）ASCII码码vpavpadoubledoublesymcharsymdoublecharstr2num str2double sscanfint2str num2str mat2str sprintf30 double(Num_sym

22、) ： 把符号数字把符号数字Num_sym转换为双精度数字转换为双精度数字 double(Num) ： 把字符串数字把字符串数字Num转换为字符的转换为字符的ASCII码值码值数组。数组。v将数值矩阵转化为符号矩阵将数值矩阵转化为符号矩阵 函数调用格式：函数调用格式：sym(A)A=1/3,2.5;1/0.7,2/5A = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000sym(A)ans = 1/3, 5/210/7, 2/5 符号矩阵与数值矩阵的转换符号矩阵与数值矩阵的转换v将符号矩阵转化为数值矩阵将符号矩阵转化为数值矩阵函数调用格式：函数调用格式： double(A)A = sym

23、(1/3, 5/2;10/7, 2/5)double(A)ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.400033“变精度变精度”算法：算法：digits 显示当前环境下符号数字显示当前环境下符号数字“十进制浮点十进制浮点” 表示的有效数字位数表示的有效数字位数digits(n) 设定符号数字设定符号数字“十进制浮点十进制浮点”表示的有表示的有 效数字位数效数字位数xs=vpa(x) 据表达式据表达式x得到得到digits指定精度下的符号指定精度下的符号 数字数字xsxs=vpa(x,n) 据表达式据表达式x得到得到n位有效数字的符号数位有效数字的符号数 字字xs 2.2.2 符

24、号数字的任意精度表达形式符号数字的任意精度表达形式34xs=vpa(x,n)指令只在运行的当时起作用。指令只在运行的当时起作用。x可为符号对象，也可为数值对象，但指令可为符号对象，也可为数值对象，但指令运行后所得结果运行后所得结果xs一定是符号数字。一定是符号数字。变精度函数变精度函数vpa(x) 的运算精度受它之前运的运算精度受它之前运行的行的digits(n)控制。控制。MATLAB对对digits指令指令的默认精度设置为的默认精度设置为32位。位。注意事项：注意事项：例例2.2-1（P57） 2.2.3 符号表达式符号表达式的操作的操作 符号运算中有许多操作指令。符号运算中有许多操作指令

25、。collect（合并同类项）（合并同类项）expand（对指定项展开）（对指定项展开）factor（进行因式或因子分解）（进行因式或因子分解）simplify（恒等式简化）（恒等式简化）pretty（习惯方式显示）（习惯方式显示）36 其中最常用的是其中最常用的是simple(EXPR)：运用包括：运用包括simplify在内的各种指令把在内的各种指令把EXPR转换成最简短形式。转换成最简短形式。 注注：EXPR可以是符号表达式或矩阵。在这种情况可以是符号表达式或矩阵。在这种情况下，这些指令将对该矩阵的元素逐个进行操作。下，这些指令将对该矩阵的元素逐个进行操作。syms xf=(1/x3+6

26、/x2+12/x+8)(1/3)g1=simple(f)g1=(2*x + 1)3/x3)(1/3)。：简化例3238126122 . 2xxxf37382.2.4 表达式中的表达式中的置换操作置换操作 公因子法简化表达式公因子法简化表达式 通用置换指令通用置换指令 39 符号计算结果显得烦冗的一个重要原因是：有符号计算结果显得烦冗的一个重要原因是：有些子表达式会多次出现在不同地方。些子表达式会多次出现在不同地方。 RS=subexpr(S, w)或或RS,w=subexpr(S, w) 从从S中自动提取公因子，记它为中自动提取公因子，记它为w，并把采用，并把采用w重写的重写的S赋给赋给RS。

27、 把复杂表达式中所含的多个相同子表达式用一把复杂表达式中所含的多个相同子表达式用一个符号代替，使表达简洁。个符号代替，使表达简洁。 置换原则：只有比较长的子表达式才被置换。置换原则：只有比较长的子表达式才被置换。公因子法简化表达式公因子法简化表达式 40 syms x f=(x+1)2+(x+1)3 f =(x + 1)2 + (x + 1)3 RS=subexpr(f, w) w = x + 1 RS =w3 + w2【例2.2-3】（1）和（2）（P59）对符号矩阵进行特征向量分解。 42 通用置换指令通用置换指令RES=subs(ES,old,new)用用new置换置换ES中的中的old

28、后产生后产生RES ，重写，重写ES为为RES。RES=subs(ES, new) 用用new置换置换ES中的自由变量中的自由变量后产生后产生RES ，重写，重写ES为为RES。【例2.2-4】（1）-（7）（P61）2.3 符号微积分符号微积分 符号极限符号极限 极限是微积分的基础。在极限是微积分的基础。在MATLAB中，极限的求解中，极限的求解由由limit函数实现。函数实现。 limit(f,v,a) 计算符号表达式计算符号表达式f在在va条件下的极限条件下的极限 limit(f, a) 计算符号表达式计算符号表达式f中默认自变量趋向于中默认自变量趋向于a条件下条件下 的极限的极限 li

29、mit(f)计算符号表达式计算符号表达式f在默认自变量趋向于在默认自变量趋向于0时的极限时的极限 limit(f,v,a,right)和和limit(f,v,a,left) 计算符号表达式计算符号表达式 F在在va条件下的右极限和左极限条件下的右极限和左极限 例例2.3-1（P63）符号微分符号微分 求导数、高阶导数、偏导数是数学分析的重要求导数、高阶导数、偏导数是数学分析的重要内容。由机器实现求导的内容。由机器实现求导的MATLAB指令如下：指令如下： dfdvn=diff(f,v,n) 注意：注意： f是矩阵时，求极限和求导对元素逐个进行，但自变是矩阵时，求极限和求导对元素逐个进行，但自变

30、量定义在整个矩阵上。量定义在整个矩阵上。 v缺省时，自变量会自动由缺省时，自变量会自动由symvar确认；确认；n缺省时，缺省时，默认默认n=1。 注意注意：在数值计算中，指令：在数值计算中，指令diff是用来求差分的。是用来求差分的。 例例2.3-2；（；（P64） nndvvfd)(TaylorTaylor级数展开级数展开 序列序列/级数的符号求和级数的符号求和 通式求和通式求和 问题问题 s=symsum(f,v,a,b)求通式求通式f在指定变量在指定变量v取遍取遍a,b中中 所有整数时的和。所有整数时的和。 注意：注意： f是数组时，求和对元素逐个进行，但自变量定义是数组时，求和对元素

31、逐个进行，但自变量定义 在整个数组上。在整个数组上。 v确省时，确省时，f中的自变量由中的自变量由symvar 自动辨认；自动辨认；b可可 以取有限整数，也可以取无穷大。以取有限整数，也可以取无穷大。 a,b可同时缺省，此时默认求和的自变量区间为可同时缺省，此时默认求和的自变量区间为 0,v-1。 例例2.3-8（1）和（和（2）（）（P68）bavvf)(符号积分符号积分 与数值积分相比，符号积分指令简单，适应与数值积分相比，符号积分指令简单，适应性强，但可能占用机器时间很长。性强，但可能占用机器时间很长。 intf=int(f,v) 给出给出f对指定变量对指定变量v的（不带积分的（不带积分

32、常数的）不定积分常数的）不定积分 intf=int(f,v,a,b)给出给出f对指定变量对指定变量v的定积分的定积分 其中其中a，b分别是积分的下、上限，允许它们分别是积分的下、上限，允许它们取任何值或符号表达式。取任何值或符号表达式。 当当f是函数数组时，积分将对数组元素逐个是函数数组时，积分将对数组元素逐个进行。进行。 v缺省时，积分对缺省时，积分对symvar确认的变量进行。确认的变量进行。 其中其中a，b分别是积分的下、上限，允许它们分别是积分的下、上限，允许它们取任何值或符号表达式。取任何值或符号表达式。 例例2.3-9；（P69） 例例2.3-11（P70）2.4 微分方程的符号解

33、法微分方程的符号解法 求微分方程符号解的一般指令求微分方程符号解的一般指令S=dsolve(eq1, eq2, ,eqn,cond1,cond2,condn,v)S=dsolve(eq1,eq2,eqn,cond1,cond2,condn,v) 输入量包括微分方程，初始条件，指定独立变量。输入量包括微分方程，初始条件，指定独立变量。 微分方程是必不可少的内容，其余视需要而定，微分方程是必不可少的内容，其余视需要而定， 可有可无。可有可无。 输入量以字符串形式编写。输入量以字符串形式编写。如果不指定如果不指定v，则默认，则默认 以以t为自变量为自变量(独立变量独立变量)。 规定：当规定：当y是是

34、“因变量因变量”时，用时，用“Dny”表示表示“y的的n阶导数阶导数”。当。当t为独立变量时，为独立变量时，Dy表示表示dy/dt。其中的其中的D表示微分表示微分，D2、D3表示二阶、三阶导表示二阶、三阶导数数。任何。任何D后面跟的是因变量。后面跟的是因变量。 方程方程d2y/dx2=0表示为表示为D2y=0; 可以给定可以给定初始条件初始条件，如果没有初始条件，解中，如果没有初始条件，解中有系数。初始条件写成有系数。初始条件写成y(a)=b,Dy(c)=d等形式。等形式。 输出量输出量S是构架对象，如果是构架对象，如果y是因变量，那么关是因变量，那么关于它的解在于它的解在S.y中。中。 在既

35、找不到在既找不到“显示解显示解”又找不到又找不到“隐式解隐式解”的情况的情况下，会发布警告信息，并且下，会发布警告信息，并且S为空符号对象。为空符号对象。例求例求dx/dt=y,dy/dt=-x的解，并将的解，并将x和和y的结果显示出来。的结果显示出来。 S=dsolve(Dx=y,Dy=-x) disp(S.x) disp(S.y)或或 x,y=dsolve(Dx=y,Dy=-x)或或 S=dsolve(Dx=y,Dy=-x) disp(S.x,S.y)注：注： 在写微分方程时，最好遵循在写微分方程时，最好遵循“导数在前函数在后，导数在前函数在后，导数阶数降阶导数阶数降阶”的次序，否则有可能

36、运行出错。的次序，否则有可能运行出错。53求( )5*( )6* ( )( ),( )2*, (0)2,(0)1ty ty ty tf tf teyy 的解。dsolve(D2y+5*Dy+6*y=2*exp(-t),Dy(0)=-1,y(0)=2)( )5*( )6* ( )( ),( )10*cos( ), (0)2,(0)0y ty ty tf tf ttyy求的解。dsolve(D2y+5*Dy+6*y=10*cos(t),Dy(0)=0,y(0)=2)2.5 符号变换和符号卷积符号变换和符号卷积 Fourier变换及其反变换变换及其反变换 Fw=fourier(ft,t,w)求时域函

37、数求时域函数ft的的fourier变换变换Fw ft=ifourier(Fw,w,t)求频域函数求频域函数Fw的的Fourier反变换反变换ft 例例2.5-1(1)和和(2)；（；（P76） Laplace变换及其反变换变换及其反变换 Fs=laplace(ft,t,s)求时域函数求时域函数ft的的laplace变换变换Fs ft=ilaplace(Fs,s,t)求频域函数求频域函数Fs的的laplace反变换反变换ft 例例2.5-4(1)；（；（P81） Z变换及其反变换变换及其反变换 FZ=ztrans(fn,n,z)求时域序列求时域序列fn的的Z变换变换FZ fn=iztrans(F

38、z,z,n)求频域序列求频域序列FZ的的Z反变换反变换fn 例例2.5-5(1)和和(2)；（；（P83）符号卷积符号卷积tdthfty0)()()(已知，求)()(tUetut输入下的输出响应。syms T t taout=exp(-t);ht=exp(-t/T)/T;uh_tao=subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,t-tao);yt=simple(simple(int(uh_tao,tao,0,t)运行结果： -(exp(-t) - exp(-t/T)/(T - 1)(1)(/tUeTthTt2.6 符号矩阵分析和代数方程解符号矩阵分析和代数方程解det(A)求行列式的值求

39、行列式的值diag(A)取对角元构成向量，或据向量构成对角阵取对角元构成向量，或据向量构成对角阵V,D=eig(A)特征值分解，使特征值分解，使AV=VD，D中保存的是特中保存的是特征值，征值，V中保存的是特征向量中保存的是特征向量EA= eig(A) 求求A的特征值的特征值inv(A)求逆矩阵求逆矩阵 rank(A) 求矩阵秩求矩阵秩例例2.6-1：求矩阵：求矩阵A=a11 a12;a21 a22的行列式、逆和特的行列式、逆和特征根。征根。syms a11 a12 a21 a22; A= a11 a12 ;a21 a22Da=det(A)Ia=inv(A)EA=eig(A) 符号矩阵分析符号

40、矩阵分析57符号代数方程的求解符号代数方程的求解 线性方程组的符号解线性方程组的符号解 矩阵计算是求解线性方程组最简便有效的方法。在矩阵计算是求解线性方程组最简便有效的方法。在MATLAB中，不管数据对象是数值还是符号，实现中，不管数据对象是数值还是符号，实现矩阵运算的指令形式几乎完全相同。对于求解线性矩阵运算的指令形式几乎完全相同。对于求解线性方程组符号解的问题，可套用求数值解的方法进行。方程组符号解的问题，可套用求数值解的方法进行。例例2.6-3 （P87）A=sym(1 1/2 1/2 -1;1 1 -1 1;1 -1/4 -1 1;-8 -1 1 1);b=sym(0;10;0;1); X1=Ab X1 = 1 8 8 9 一般代数方程组的解一般代数方程组的解 一般代数方程包括线性一般代数方程包括线性(Linear)、非线性、非线性(Nonlinear)和和超越方程超越方程(Transcedental equation)等，求解指令是等，求解指令是solve。S=solve(eq1,eq2,，eqn,v1,v2,vn) 求方程组求方程组eq1,eq2, eqn关于指定变量关于指定变量v1,v2, vn的的解（推荐格式）解（推荐格式） eq1,eq2, eqn是字符串表达的方程，或是字符