微课精彩案例

1、北京航空航天大学北京航空航天大学微课精彩案例微课精彩案例李尚志李尚志北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学务虚务虚微课应出彩微课应出彩.课程最小单位课程最小单位. 有来有往有来有往. 录像与剪辑录像与剪辑北京航空航天大学北京航空航天大学切线方程与斜率切线方程与斜率 微积分微积分北京航空航天大学北京航空航天大学字母运算字母运算: :一劳永逸一劳永逸设设c x0 ,则则 u =x0- -c 0. 将将 x0= c+u 代入代入f(x0)=0 得得 f(c+u) = (c+u)3- -3(c+u)+1= f(c) +(3c2- -3)u+o(u)= 0 (1) o(u)是高

2、次项之和是高次项之和. u0 = o(u)/u 0. o(u)是是无穷小量无穷小量u的无穷小倍的无穷小倍, 称为称为高阶无穷小高阶无穷小. 常数项常数项 f(c)=c3- -3c+1. 记记 f (c)=3c2- -3 (一一次项系数次项系数) .式式(1)舍去舍去o(u) 得得 f(c)+f (c)u 0 =u=x0- -c - -f(c)/f (c). 公式公式: : x0 c1=c- -f(c)/f (c) . c1比比c更接近更接近x0 . c =0 = c1=1/3 = c2=0.3472 = c3=0.3473. 北京航空航天大学北京航空航天大学如法炮制如法炮制例例2. 求方程求方

3、程 x3+x- -3= 0 的实根的近似值的实根的近似值. 解解. . f(1)=- -10f(2)=7 0 u=x0- -1 - -1+4u 0 = u1/4 = x01.25. 仿照例仿照例1, 对每个对每个c x0 设设u = x0- -c 得得 x0=c+u, f(c+u)=(c+u)3+(c+u)- -3=f(c)+(3c2+1)u +o(u) =0 = f(c)+(3c2+1)(x0- -c)0 = x0 c- -f(c)/(3c2+1). c=1 = c1=1.25 = c2=1.2143 = c3=1.21341. 北京航空航天大学北京航空航天大学方程方程x3- -3x+1=0

4、求根求根 曲线曲线 y=x3- -3x+1与与x轴交点横坐标轴交点横坐标. 变成一次方程变成一次方程 - -3x+1=0换成换成直线直线 y=- -3x+1 求交点求交点.画图画图: 运行运行Mathematica语句语句观察发现观察发现: 直线与曲线在点直线与曲线在点(0,1)相切相切. 换成过换成过(1/3, f(1/3)=(1/3,1/27)的直线的直线 y=1/27- -(8/3)u即即 y=1/27- -(8/3)(x- -1/3).也与曲线相切也与曲线相切. 牛顿切线法牛顿切线法:用切线代替曲线求交点用切线代替曲线求交点. 代数解法的几何版本代数解法的几何版本 北京航空航天大学北京

5、航空航天大学过曲线过曲线 y=f(x)=x3- -3x+1 上一点上一点C(c, f(c) 的的切线切线. 几何几何: 直线直线 y=h(x)=f(c)+k(x- -c),在在C 附近与曲线附近与曲线最吻合最吻合者者.代数代数:当当 x- -c0时时误差误差 E(x)=|f(x)- -h(x)|最小最小. 实现实现: f(x)改写成改写成 u=x- -c的多项式的多项式 f(c+u)=(c+u)3- -3(c+u)+1= f(c)+f (c)u+o(u)=f(c)+(3c2- -3)(x- -c)+o(x- -c), (泰勒展开式泰勒展开式)当当u0, E(x) = |(f (c)- -k)u

6、+3cu2+u3|0, 无法区别无法区别不同的不同的k ;E(x)/|u| =|(f (c)- -k)+3cu+u2|f (c)- -k|,最小值最小值0 (当当k=f (c) .切线方程切线方程 : y= f(c)+f (c)(x- -c) （泰勒展开式舍弃高次项）（泰勒展开式舍弃高次项） 切线的代数刻画切线的代数刻画北京航空航天大学北京航空航天大学三角函数三角函数的导数的导数北京航空航天大学北京航空航天大学刘徽割圆刘徽割圆例例1. 计算计算sin1o的近似值的近似值.分析分析. 设单位圆弧设单位圆弧AB长度长度= x = 角角AOB的弧度数的弧度数. 则则:弧长弧长BB =2x, 弦长弦长

7、BB =2sinx. 按照刘徽割圆原理按照刘徽割圆原理, 当角当角AOB很小很小, 弧长弧长2x弦长弦长2sinx. x0 = 相对误差相对误差重要极限重要极限: 误差误差 E(x) = x- -sinx =o(x) sinx=x+o(x)x解解. sin1o =sin(p p/180) p p/180 3.1416/180 0.01745 点评点评. 记记 f(x)=sin x. 则则 sinx=x+o(x). 由由 f (0)可求出可求出 f (x).北京航空航天大学北京航空航天大学曲率半径曲率半径例例2. .某工件内表面截线为抛物线某工件内表面截线为抛物线 y=0.4x2.用砂轮削其内表

8、面用砂轮削其内表面, ,求砂轮直径求砂轮直径. .曲率半径曲率半径. 过过曲线曲线 y=f(x) 上一点上一点A(x,y)附近与曲线最吻合的圆弧半径附近与曲线最吻合的圆弧半径R. 过过A附近曲线段附近曲线段AP端点端点A,P分别作曲线切线分别作曲线切线AB,PT的垂线交于的垂线交于 E. 则则 R=|EA|=(弧长弧长AP)/(角角E)|AP|/(q q- -a a). 设设P的坐标为的坐标为(x+dx,f(x+dx)= (x+dx,y+D Dy). 则则 曲率曲率 =例例2解解. . y=0.4x2, y=0.8x, y=0.8. R=(1+0.64x2)3/2/0.8 1/0.8=1.25

9、.北京航空航天大学北京航空航天大学证明重要极限证明重要极限求证求证. 证法证法1. SD DAOB S扇形扇形AOB SD DAOT 质疑质疑. 面积公式面积公式 S扇形扇形AOB =|OA|(弧弧AB长长)/2从何而来？从何而来？定义定义: 弧长弧长AB =折线折线AA1An-1B长度的极限长度的极限(|Ak-1Ak|0) .证法证法2. 设弧设弧Ak- -1Ak长长xk . 则则sinx= sin(x1+xn) sinx1+sinxn 2sin(x1/2)+2sin(xn/2)=S S1kn|Ak-1Ak| tanx 令最大令最大 xk0 取极限得取极限得 sinxx xD D=D D1

10、=(a1,a2) (b2,- -b1)=a1b2- -a2b1D D=|OA|OB|cos AOB=|OA|OB|cos( AOB- -p p/2) = |OA|OB|sin AOB=SOAPB= 北京航空航天大学北京航空航天大学有向面积有向面积 =|OA|OB| sin AOB |D D|=|SOAPB |. D D0 0 ( det(a1+a,b)=det(a1,b)+det(a,b) = a1b2- -a2b1北京航空航天大学北京航空航天大学 三阶行列式三阶行列式 = a1b2c3- -a1b3c2 - -a2b1c3 + a2b3c1+ a3b1c2- -a3b2c1 d d(ijk)=det(ei,ej,ek)=(- -1)s, (ijk)经过经过s次对换变成次对换变成(123).例例. (231) (213) (123), s=2(逆