第一章试验数据的误差分析yxm

1、数据分析与试验优化设计数据分析与试验优化设计科研工作的必要手段试验n试验和实验试验和实验n实验实验 已经知道某个结论去验证已经知道某个结论去验证 用已经知道的方法去操作用已经知道的方法去操作 验证性验证性n试验试验 未知的某个结论去探索未知的某个结论去探索 未知的方法去探索未知的方法去探索 探索性的探索性的新产品新工艺及其新的其他的科研成果新产品新工艺及其新的其他的科研成果多次反复的试验多次反复的试验试验数据的分析试验数据的分析研究规律研究规律目标目标提高产量提高产量提升产品性能提升产品性能降低成本的消耗降低成本的消耗绪论绪论1 1性质目的和任务性质目的和任务n性质性质 专门研究专门研究合理制

2、定试验研究方案合理制定试验研究方案和和科学分析试科学分析试验结果验结果的方法的一门应用工具学科的方法的一门应用工具学科n任务任务n以概率论和数理统计为理论依据，结合本专业的以概率论和数理统计为理论依据，结合本专业的知识和实践经验，经济的合理的科学的安排试验知识和实践经验，经济的合理的科学的安排试验，有效的控制试验的干扰，充分利用和科学的分，有效的控制试验的干扰，充分利用和科学的分析试验获得的信息，从而达到尽快达到最优试验析试验获得的信息，从而达到尽快达到最优试验目的。目的。n多多 快快 好好 省省作用作用n通过试验可以分清各个试验因素对试验指标的影通过试验可以分清各个试验因素对试验指标的影响的

3、大小顺序，找出响的大小顺序，找出主要因素主要因素抓主要矛盾抓主要矛盾n通过试验设计可以了解因素与试验指标间的变化通过试验设计可以了解因素与试验指标间的变化规律，即因素水平变化时，指标如何变化规律，即因素水平变化时，指标如何变化n通过试验设计可以知道各个因素之间如何变化，通过试验设计可以知道各个因素之间如何变化，交互作用交互作用n通过试验设计可以迅速找出最优的生产条件或工通过试验设计可以迅速找出最优的生产条件或工艺条件，确定最优的方案，能预测在最优的生产艺条件，确定最优的方案，能预测在最优的生产条件下指标值的波动范围条件下指标值的波动范围n通过试验设计的方差分析，可以了解试验误差的通过试验设计的

4、方差分析，可以了解试验误差的大小从而提高试验的精度大小从而提高试验的精度n通过对试验结果的分析，可以明确为寻找最优的通过对试验结果的分析，可以明确为寻找最优的生产条件或者工艺条件而进一步试验的研究方向生产条件或者工艺条件而进一步试验的研究方向。试验设计与数据处理的发展概况试验设计与数据处理的发展概况n20世纪世纪20年代，英国生物统计学家及数学家费歇年代，英国生物统计学家及数学家费歇（RAFisher）提出了）提出了方差分析方差分析 n20世纪世纪50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的最广的正交设计正交设计表格化表格化 n数学家华罗庚教授

5、也在国内积极倡导和普及的数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法优选法”n我国数学家王元和方开泰于我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了年首先提出了均匀设计均匀设计 第第1 1章章 试验数据的误差分析试验数据的误差分析n数据：试验的成果表达方式。可靠吗数据：试验的成果表达方式。可靠吗? ?n误差分析：对原始数据的可靠性进行客观的评误差分析：对原始数据的可靠性进行客观的评定定 试验结果都具有误差，试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验过程中误差自始至终存在于一切科学实验过程中误差是不能消除，只能越来越小误差是不能消除，只能越来越小客观真实值客观真实值真值真值1.1 1.

6、1 真值、测量值、平均值真值、测量值、平均值 1.1.1 真值、测量值（真值、测量值（true value）n真值：在某一时刻和某一状态下，某量的真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值客观值或或实际值实际值n测量值：用各种分析测试手段和工具测定的某一个物理量测量值：用各种分析测试手段和工具测定的某一个物理量的值的值 n真值一般是未知的真值一般是未知的n相对的意义上来说，真值又是已知的相对的意义上来说，真值又是已知的平面三角形三内角之和恒为平面三角形三内角之和恒为180国家标准样品的标称值国家标准样品的标称值国际上公认的计量值国际上公认的计量值 高精度仪器所测之值高精度仪器所测之值1.1.2

7、 1.1.2 平均值平均值（1 1）算术平均值）算术平均值121.ninixxxxxnnn 等精度等精度试验值试验值适合：适合：n 试验值服从正态分布试验值服从正态分布（2 2）加权平均值）加权平均值n适合不同试验值的精度或可靠性不一致时适合不同试验值的精度或可靠性不一致时1 1221121.Wniinninniiw xw xw xw xxwwwwwi权重权重加权和加权和权重？n试验次数很多时，出现的频率试验次数很多时，出现的频率n若试验值在同样的试验条件下完成，但是若试验值在同样的试验条件下完成，但是来源于不同的组，来源于不同的组，x x取各组的平均值，权重取各组的平均值，权重取各组试验的次

8、数取各组试验的次数n与绝对误差的平方成反比来确定权重与绝对误差的平方成反比来确定权重n例：计算平均值例：计算平均值n第一组第一组100.357,100.343100.357,100.343，100.351100.351n第二组第二组100.360,100.384100.360,100.384n第三组第三组100.350,100.344,100.336,100.340,100.3100.350,100.344,100.336,100.340,100.34545n第四组第四组100.339,100.350,100.340100.339,100.350,100.340例用加权平均法计算平均值n测得溶

9、液的测得溶液的PHPH值得到两组试验数据值得到两组试验数据 第一组的平均值为第一组的平均值为8.5 0.18.5 0.1 第二组的平均值为第二组的平均值为8.53 0.028.53 0.021.21.2 误差误差1.2.1 1.2.1 绝对误差（绝对误差（absolute errorabsolute error） （1 1）定义）定义 绝对误差试验值真值绝对误差试验值真值 或或m axtxxxx txxx （2 2）说明）说明n真值未知，绝对误差也未知真值未知，绝对误差也未知n 可以估计出绝对误差的范围：可以估计出绝对误差的范围：绝对误差限或绝对误差上界绝对误差限或绝对误差上界 或或maxtx

10、xx n绝对误差估算方法：绝对误差估算方法：最小刻度的一半为绝对误差；最小刻度的一半为绝对误差；最小刻度为最大绝对误差；最小刻度为最大绝对误差；根据仪表精度等级计算：根据仪表精度等级计算： 绝对误差绝对误差= =量程量程精度等级精度等级% %n绝对误差可以表示试验的精度绝对误差可以表示试验的精度n但是不全面但是不全面nA BA B两个城市相距两个城市相距2020万米，测量绝对误差万米，测量绝对误差2 2米米n若若ABAB是两个人呢？是两个人呢？n可以用可以用2 2米的绝对误差用于测量人的身高米的绝对误差用于测量人的身高? ?1.2.2 1.2.2 相对误差（相对误差（relative erro

11、rrelative error） （1 1）定义：）定义：绝对误差相对误差真值tRttxxxExx或或 或或RxEx（2 2）说明：）说明：n 真值未知，常将真值未知，常将x x与试验值或平均值之比作为相对误差：与试验值或平均值之比作为相对误差：RxEx或或n 可以估计出相对误差的大小范围：可以估计出相对误差的大小范围：maxRttxxExx相对误差限或相对误差上界相对误差限或相对误差上界 n 相对误差常常表示为百分数（相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（）或千分数（） (1)tRxxE1.2.3 1.2.3 算术平均误差算术平均误差 (average discrepancy(averag

12、e discrepancy) n定义式：定义式：11nniiiixxdnn n可以反映一组试验数据的误差大小可以反映一组试验数据的误差大小 ixx试验值试验值与算术平均值与算术平均值之间的偏差之间的偏差 id1.2.4 1.2.4 标准误差标准误差 (standard error)n当试验次数当试验次数n n无穷大时，总体标准差：无穷大时，总体标准差：222111()() /nnniiiiiixxxxnnn22221111()() /111nnnniiiiiiiidxxxxnsnnnn 试验次数为有限次时，样本标准差：试验次数为有限次时，样本标准差：n表示试验值的精密度，标准差表示试验值的精密

13、度，标准差，试验数据精密度，试验数据精密度（1 1）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时正时负，时大时小正时负，时大时小（2 2）产生的原因：）产生的原因： 偶然因素偶然因素（3 3）特点：具有统计规律）特点：具有统计规律n小误差比大误差出现机会多小误差比大误差出现机会多n正、负误差出现的次数近似相等正、负误差出现的次数近似相等n当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 n可以通过增加试验次数减小随机误差可以通过增加试验次数减小随机误差n随机误差不可完全避免的随机误差不可完全避免的 1.3 1.3

14、 试验数据误差的来源及分类试验数据误差的来源及分类1.3.2 1.3.2 系统误差（系统误差（systematic errorsystematic error） （1 1）定义：）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差确定的规律起作用而形成的误差 （2 2）产生的原因：多方面）产生的原因：多方面（3 3）特点：）特点：n系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 n它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值而减小平均

15、值而减小n只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进行校正，或设法消除。行校正，或设法消除。 1.3.3 1.3.3 过失误差过失误差 （mistake mistake ）（1 1）定义：）定义： 一种显然与事实不符的误差一种显然与事实不符的误差（2 2）产生的原因：）产生的原因： 实验人员粗心大意造成实验人员粗心大意造成 （3 3）特点：）特点：n可以完全避免可以完全避免 n没有一定的规律没有一定的规律 1.4.1 精密度（精密度（precision） （1 1）含义：）含义：n反映了随机误差大小的程度反映了随机误差大小的程度n在一定

16、的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度 例：甲：例：甲：11.4511.45，11.4611.46，11.4511.45，11.4411.44 乙：乙：11.3911.39，11.4511.45，11.4811.48，11.5011.50（2 2）说明：）说明：n可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的 n试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的 n试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求 1.4 1

17、.4 试验数据的精准度试验数据的精准度 （3 3）精密度判断）精密度判断 极差（极差（rangerange）222111()() /nnniiiiiixxxxnnnmaxminRxx标准差（标准差（standard errorstandard error）222111()() /11nnniiiiiixxxxnsnnR，精密度，精密度标准差标准差，精密度，精密度1.4.2 1.4.2 正确度（正确度（correctnesscorrectness） （1 1）含义：反映系统误差的大小）含义：反映系统误差的大小（2 2）正确度与精密度的关系：）正确度与精密度的关系：n 精密度不好，但当试验次数相当

18、多时，有时也会得到精密度不好，但当试验次数相当多时，有时也会得到好的正确度好的正确度 n 精密度高并不意味着正确度也高精密度高并不意味着正确度也高 （a）（b）（c）1.4.3 1.4.3 准确度（准确度（accuracyaccuracy） （1 1）含义：）含义：n反映了系统误差和随机误差的综合反映了系统误差和随机误差的综合 n表示了试验结果与真值的一致程度表示了试验结果与真值的一致程度（2 2）三者关系）三者关系n无系统误差的试验无系统误差的试验 精密度精密度 ：ABC正确度：正确度： ABC准确度：准确度： ABCn有系统误差的试验有系统误差的试验 精密度精密度 ：A A B B C C

19、 准确度：准确度： A A B B C C ，A A B B，C C1.5.1 1.5.1 有效数字（有效数字（significance figuresignificance figure） 能够代表一定物理量的数字能够代表一定物理量的数字n有效数字的位数可反映试验或试验仪表的精度有效数字的位数可反映试验或试验仪表的精度n数据中小数点的位置不影响有效数字的位数数据中小数点的位置不影响有效数字的位数例如：例如：5050，0.050m0.050m，5.05.010104 4mmn第一个非第一个非0 0数前的数字都不是有效数字，而第一个非数前的数字都不是有效数字，而第一个非0 0数后数后的数字都是有

20、效数字的数字都是有效数字例如：例如： 2929和和29.0029.00n第一位数字等于或大于第一位数字等于或大于8 8，则可以多计一位，则可以多计一位例如：例如：9.99 9.99 1.5 1.5 有效数字和试验结果的表示有效数字和试验结果的表示1.5.2 1.5.2 有效数字的运算有效数字的运算（1 1）加、减运算：）加、减运算： 与其中小数点后位数最少的相同与其中小数点后位数最少的相同（2 2）乘、除运算）乘、除运算 以各乘、除数中有效数字位数最少的为准以各乘、除数中有效数字位数最少的为准（3 3）乘方、开方运算：）乘方、开方运算： 与其底数的相同：与其底数的相同： 例如：例如：2.42.

21、42 2=5.8=5.8（4 4）对数运算：）对数运算： 与其真数的相同与其真数的相同 例如例如ln6.84ln6.841.921.92；lg0.00004lg0.000044 4（5 5）在）在4 4个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字可增个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字可增加一位加一位（6 6）所有取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要）所有取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要取，但原始数据如有限制，则应服从原始数据。取，但原始数据如有限制，则应服从原始数据。（7 7）一些常数的有效数字的位数可以认为是无限制的）一些常数的有效数字的位数可以认为是无限制的 例如，圆周率例如，圆周率、重力加速度、重力加速度g g、1/31/3等等（8 8）一般在工程计算中，取）一般在工程计算中，取2 2