第1章离散时间信号时域与系统

1、1第1章 时域离散信号与系统 时间安排：时间安排：6 6学时学时 本章要点本章要点 离散时间信号离散时间信号序列序列 离散时间系统离散时间系统 连续时间信号的采样连续时间信号的采样 离散时间系统时域分析离散时间系统时域分析2引言引言模拟信号：模拟信号：幅度和时间都取连续值的信号。幅度和时间都取连续值的信号。连续时间信号连续时间信号：时间取连续值，而幅度取离散值：时间取连续值，而幅度取离散值的信号。的信号。离散时间信号离散时间信号：幅度取连续值，而时间取离散值：幅度取连续值，而时间取离散值的信号。的信号。数字信号：数字信号：幅度和时间都取离散值的信号。幅度和时间都取离散值的信号。如语音信号、图像

2、信号是模拟信号，按规定的时如语音信号、图像信号是模拟信号，按规定的时间间隔进行采样，得到的采样信号即为时域离散间间隔进行采样，得到的采样信号即为时域离散信号，用有限位二进制编码表示的信号称数字信信号，用有限位二进制编码表示的信号称数字信号。号。 模拟信号与连续信号等同，模拟信号与连续信号等同， 数字信号与离散信号等同数字信号与离散信号等同31.1 离散时间信号离散时间信号序列序列对模拟信号进行等间隔采样，采样间隔为对模拟信号进行等间隔采样，采样间隔为T， 单位脉冲序列单位脉冲序列)0(0)0(1)(nnn)(0)(1)(000nnnnnn)(n0n)(0nn0n0n)(nnnTxnxTnnTx

3、txaaaTta，设，)()(1)()(4 单位阶跃序列单位阶跃序列 矩形序列矩形序列) 0(0) 0(1)(nnnu1.43210n143210n)()()0(0)10(1)(NnunuNnornNnnRN5 斜变序列斜变序列)()(nnunR.543210n123450)()(2nunnr.543210n40916256 指数序列指数序列)()(nuanxn1a10 a01a1a7 正弦序列正弦序列tAtf0sin)()sin()sin()(00nAnTAnxs t = nTsssfTN00020cos)(nAnx43210n1N8 周期序列周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使成

4、立，则称x(n)为周期序列nNnxnx),()(如：的周期序列是周期为，其数字频率为8)4sin(,)8(4sin)(4),4sin()(nnnxnnx95, 2,25254,22)2(.16,82121,2),()(sin)(sin)(),sin()(000000000000PTkPTPNQkQPQPTTkNkNkkNnxNnxNnANnANnxtAnx，如：则互为素数，设不为整数，为有理数时，如，周期为整数时）当（列有下列三种情况：是最小正整数，正弦序的取值要保证且均为整数，与则要求若一般来说，设10不是周期序列。如周期序，所以此时正弦序列不是为正整数，都不能使是无理数，任何）（)sin(

5、,4/123000nNk任意离散序列任意离散序列mmnmxnx)()()()(txmmn)()(nx11数字信号处理中的基本运算：序列乘以常数a，如两序列相加， 如序列移位， 如翻褶尺度变换)()()()()()()(021nnxnynxnxnynaxny)()()()(anxnynxny121.3 时域离散系统13一、离散线性时不变系统离散线性时不变系统 线性：线性：1 1 可加性：可加性：2 2 均匀性：均匀性： 时不变性时不变性)(nxi)(nyi)(nhMiinx0)(Miiny0)(Miiinxa0)(Miiinya0)()(mnxi)(mnyi14二、系统的因果性和稳定性 因果性：

6、输入变化不领先于输出变化因果性：输入变化不领先于输出变化必要条件必要条件 稳定性：输入有界则输出必定有界稳定性：输入有界则输出必定有界充分条件充分条件0)(0nhnnnh)(15例：已知线性时不变系统的单位取样响应 式中a是常数，试分系统的因果性和稳定性。),()(nuanhn系统稳定。时，当故系统为因果系统。时，解：因anhaaaanhnhnnNNnnn11)(111)(, 0)(0lim016三、三、 单位脉冲响应与系统的输入输出关系单位脉冲响应与系统的输入输出关系)()()()()()()(T)(T)( )()(T)(T)()()()()(T)(nhnxmnmxnymnhmnmnmxmn

7、mxnynymnmxnxnnhmmmm单位脉冲响应：单位脉冲响应：输入信号：输入信号：输出信号：输出信号：17 )()(, 1 , 2 ,3)(1 , 2 , 3 ,4)(210201nxnxnynxnxnn 求：求：，已知已知例使用对位相乘使用对位相乘求和求和法求卷积法求卷积步骤：步骤：两序列右对齐两序列右对齐逐个样值对应相乘但不进位逐个样值对应相乘但不进位同列乘积值相加（注意同列乘积值相加（注意n=0的点）的点）18 1 2 3 : 02 nnx1 2 3 4 1 2 3 4 : 01 nnx 2 4 6 83 6 9 12 1 4 10 16 17 12 : 0 nny 1 4 10 1

8、6 17 120，所以所以nny19)2()1()()( nnnnx )2(3)1(2)()( nnnnh 利用分配律利用分配律)2(3)1(2)()()( nnnnhnx )4(3)3(5)2(6)1(3)( nnnnn 。，求，求，已知已知)()(321)(,)(03nhnxnhnRnxn 例)3(3)2(2)1( nnn )4(3)3(2)2( nnn 20n=0:1:15;m=0:1:7;N1=length(n);N2=length(m);xn=0.9.n; %生成生成x(n)hn=ones(1,N2); %生成生成h(n)yn=conv(xn,hn)；subplot(3,1,1);s

9、tem(n,xn,.);title(xn)subplot(3,1,2);stem(m,hn);title(hn)subplot(3,1,3);n1=0:1:N1+N2-2；stem(n1,yn);title(yn)axis(0,25,0,6)2105101500.51xn0123456700.51hn051015202505yn22 输入是离散序列及其时移函数输入是离散序列及其时移函数 输出是离散序列及其时移函数输出是离散序列及其时移函数 系统模型是输入输出的线性组合系统模型是输入输出的线性组合系数乘，相加，延时单元系数乘，相加，延时单元),.2(),1(),(nxnxnx),.2(),1()

10、,(nynynyMrrNkkrnxbknyany01)()()(一、线性常系数差分方程一、线性常系数差分方程1.4 离散时间系统时域分析离散时间系统时域分析23二、常系数差分方程的求解常系数差分方程的求解 迭代法迭代法 时域经典法时域经典法 离散卷积法：利用齐次解得零输入离散卷积法：利用齐次解得零输入解，再利用卷积和求零状态解。解，再利用卷积和求零状态解。 变换域法（变换域法（Z变换法）变换法） 状态变量分析法状态变量分析法24一、迭代法 当差分方程阶次较低时常用此法当差分方程阶次较低时常用此法)()()() 1()(0.)2() 1 ()2(20) 1 ()0() 1 (11)(0)0()

11、1()0(0)()()() 1()(2nuanyanxnaynynnaaaxayynaaxayynnxayynnnxnxnaynynn25例：已知某系统的例：已知某系统的问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？ )()(nuanhn是因果系统aaaaanuanhnnnn111111)()(1有界稳定发散不稳定0)()(0)(0nuanhnunn26例) 2(3) 1(2)() 1(51)(nxnxnxnyny 求系统单位样值响应求系统单位样值响应 h(n) 判断系统稳定性判断系统稳定性解：2)51()(51nCnhn662566)2(59) 1 (, 1)0

12、(Chhh)2(5166) 1(59)()(nunnnhn20)2 . 0(66591)(nnnnh稳定系统271.5 连续时间信号的采样连续时间信号的采样模拟信号数字处理方法模拟信号数字处理方法预滤波A/DCD/AC平滑滤波数字信号处理)(txa)(tya模拟信号数字处理框图一、理想采样一、理想采样)()()()()()()()()(nTTnTxnTTtxtPtxtxnTTTPaaaa280t)(tP0t0tsT乘0t)(tP) 1 (0t相乘0tsT)()(nsTnTttS)(txa)(txa)( txa)( txa)(tP)( txa)( txa)(txa)(txa29)(2)()(1)

13、(1,2)(2)()()()()()()()(2/2/ksjkTTkskskaatjaaakTjPjSTdtetTaTkatPFTjPjStxFTjXdtetxtxFTjXs因此，采样角频率二、理想采样信号的频谱二、理想采样信号的频谱30 kaksaksaksaaaTjkjXTjkjXTdkjXTdkjXTjPjXjX)2(1)(1)()(1)()(221)()(21)(因此可得理想采样后信号的频谱因此可得理想采样后信号的频谱31（2）带限信号）带限信号 ， 最高截止频率为最高截止频率为 ，若采样角频，若采样角频率率 ，则让采样信号，则让采样信号 通过一个增益为通过一个增益为T，截止频率为截止

14、频率为 的理想低通滤波器，可以唯一地恢复的理想低通滤波器，可以唯一地恢复原连续信号原连续信号 。 当当 时，采样信号中的频谱时，采样信号中的频谱将将 发生混叠现象。发生混叠现象。 奈奎斯特频率：奈奎斯特频率：)( txa)(txa时域采样定理时域采样定理（1）对连续信号进行等间隔采样形成采样，其频谱）对连续信号进行等间隔采样形成采样，其频谱是原连续信号频谱以采样频率为周期进行周期性的延是原连续信号频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。拓形成的。ccs22/s)(txacs2cs2时域采样定理时域采样定理:cs232不满足抽样定理时产生频率混叠现象不满足抽样定理时产生频率混叠现象000ts

15、T10tssTsTsT1mm0sT1ms2)(txa)( jXa)(txa)( jXa)( jXassss332/)2/sin(2/)2/sin(21)(21)(:)(2/2/ttttdTedejGtgjGsstjtjss的单位冲激响应函数理想低通滤波器的传输TnTtTnTtTnTtTnTtnTxtxTnTtTnTtnTxnTtgnTxdtgnTnTxdtgnTxtgtxtynaanananaaaa/)()/)(sin(/)()/)(sin()()(/)()/)(sin()()()()()()()()()()()(内插函数：内插公式：三、采样信号的恢复（由数字信号恢复原连续信号）三、采样信号的

16、恢复（由数字信号恢复原连续信号）340tm0tcsT1c卷积包络sTsT0相乘00tssmcmm)(txa)( jXa)(tg)( jG)( txa)(jXa35由上图可以看到内插函数由上图可以看到内插函数g(t)是非因果的，所以理是非因果的，所以理想低通滤波器是不可实现的，实际中采用想低通滤波器是不可实现的，实际中采用D/AC实实现数字信号到模拟信号的转换。现数字信号到模拟信号的转换。分为解码、零阶保持、平滑滤波。分为解码、零阶保持、平滑滤波。解码：将数字信号转换成时域离散信号解码：将数字信号转换成时域离散信号零阶保持和平滑滤波将零阶保持和平滑滤波将 变成模拟信号。变成模拟信号。)(nTxa)(nTxa36由上图可以看到内插函数由上图可以看到内插函数g(t)是非因果的，所以理是非因果的，所以理想低通滤波器是不可实现的，实际中采用想低通滤波器是不可实现的，实际中采用D/AC实实现数字信号到模拟信号的转换。现数字信号到模拟信号的转换。分为解码、零阶保持、平滑滤波。分为解码、零阶保持、平滑滤波。解码：将数字信号转换成时域离散信号解码：将数字信号转换成时域离散信号零阶保持和平滑滤波将零阶保持和平滑滤波将 变成模拟信号。变