6工程实验设计( 正交试验设计)

1、第六章 正交试验设计主要内容第一节 概述第二节 正交设计的直观分析法第三节 正交设计的方差分析第一节 概述在实际生产或科学研究中，需要考察的因素较多，而且因素的水平数也多于2个，如果对每个水平组合或称水平搭配，处理组合都进行试验的话，试验次数会很多。例如，对于3因素4水平的试验，即使在每个水平组合上进行1次试验，就要做43=64次试验。对于4因素4水平的试验，如果进行全面试验的话，至少要进行44=256次试验。所以，随着因素数量的增加，试验次数也会迅速增加，那么试验周期就会增加；另外还需要相当长的时间对试验数据进行分析计算，所消耗的人力、物力将会是非常大的。而如果用正交设计来安排试验，那么试验

2、次数将会显著减少，而分析计算过程将会得到简化。一 根本术语1 正交设计Orthogonal Design正交试验设计，简称正交设计，是研究多因素试验的一种设计方法。它通过正交表选出具有代表性很强的局部水平组合进行局部试验，以减少试验次数来进行因素优选的一种科学试验方法。正交试验设计法最早由日本质量管量专家田口玄一提出，称为国际标准型正交试验法。认为：“一个工程技术人员假设不掌握正交试验设计法，只能算半个工程师。2 试验指标试验指标简称指标，是根据因素、水平安排试验而得到的试验结果。例如，在香蕉真空冷冻枯燥试验中，需要考察香蕉片在真空枯燥过程中含水率的变化，那么含水率就是该试验的指标。3 因素在

3、试验过程中，需要考察的、可能对指标产生影响的参数。用大写拉丁字母A、B、C等表示。例如，在香蕉真空冷冻枯燥试验中，香蕉片的厚度、枯燥温度、真空泵的真空度、枯燥时间等可能对枯燥过程中香蕉片含水率的变化有影响，那么这些参数都可作为该试验的因素。试验因素又分为可控因素和不可控因素两种。3.1 可控因素试验中，可以人为控制和调节的因素，称为可控因素。例如枯燥时间、枯燥温度等都是人为设定的，所以属于可控因素。3.2 不可控因素试验中，由于自然条件、技术水平和设备等条件的限制，暂时不能人为控制的因素，称为不可控因素。例如，一块耕地中土壤的坚实程度、肥力分布等等都是不能人为控制的，所以属于不可控因素。4 水

4、平试验中，某因素所选取的各种不同的状态、数量、等级，等等。以拉丁字母加下脚标表示，如B1、B2、B3等。例如，在香蕉真空冷冻枯燥试验中，根据需要或经验，枯燥温度A分别设置为65、70和80。那么这三个温度就是因素A的3个不同的水平，可写为A1、A2、A3。5 处理/处理组合处理是指单因素试验中的每一个水平。例如，在作物品种试验中，每个品种就是一个处理。处理组合，又称为水平组合或水平搭配，是指多因素试验中，各因素不同水平的相互搭配。例如，A1B1C1是一种处理组合，A2B2C2也是一种处理组合。6 全面试验在试验过程中，对因素的全部水平组合都进行试验的方法，即为全面试验。例如，因素A、B各取2个

5、水平，那么水平组合有4个A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，如果这4个水平组合都进行试验的话，就称为全面试验。7 局部试验在试验过程中，从全部水平组合中选取局部水平组合进行试验的方法，即为局部试验。例如，因素A、B各取2个水平，那么水平组合有4个A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，如果从这4个水平组合中选取其中的2个进行试验的话，就称为局部试验。二 正交表正交表是由数学工作者编制的一系列标准化的表格，是正交试验中合理安排试验并对试验数据进行分析计算的根本工具。1 正交表的分类正交表的种类有很多，大致可分为两种。1.1 等水平正交表所谓等水平正交表，就是各因素的水平数目是相同的。如表6-

6、1所示为L8(27)等水平正交表。表6-1 L8(27)等水平正交表试验号列号12345671234567811112222112211221122221112121212121221211221122112212112 等水平正交表的符号等水平正交表可写为Ln(rm)其中，L为正交表代号；n为试验号，即需要做的试验次数；r为因素水平数；m为正交表的纵列数目，即最多安排的因素数目。对于L8(27)正交表，它可安排7因素2水平试验，只要安排8次试验就可以了。如果要进行全面试验的话，需要进行27=128次试验。因此，采用正交表安排试验，能极大地减少试验次数，同时又能保证获得足够的试验信息。 等水平

7、正交表的性质1表中任意一列，不同的水平即数字1和2都出现，且出现的次数相同。例如，L8(27)中水平“1”和“2”都在每列中出现了，且都出现了4次。2表中任意两列，把同一行的两个数字看成有序数字对时，所有可能的数字对即水平组合都出现，且出现的次数相同。例如，L8(27)中的任意两列中，同一行所有可能的有序数字对为1，1、1，2、2，1和2，2共4种，它们都出现，且都出现了2次。3推论：正交表的行可置换、列可置换、同一列中的水平数字可置换。等水平正交表的两个性质合称“正交性，使得试验点在试验范围内排列整齐、规律，也使试验点在试验范围内散布均匀，即“整齐可比，均衡分散。1.2 混合水平正交表 混合

8、水平正交表符号在试验中，由于条件所限，某因素不能多取水平；有时重点考察的因素应该多取水平，其它因素水平数可适当减少。针对这些情况，产生了混合水平正交表，即各因素的水平数不完全相同的正交表。表6-3 L8(4124)试验号列号12345123456781122334412121212121221211221122112212112如表6-3所示，L8(4124)共有5列8行，要做8次试验，最多可安排5个因素，其中1个是4水平因素，4个是2水平因素。 混合水平正交表性质1表中任意一列，不同的数字都出现，且出现次数相同。例如，L8(4124)中的第1列有“1、“2、“3、“4个数字，它们各出现了2次

9、。2每两列，同行两个数字组成的不同水平组合出现次数都相同，但不同的两列间所组成的水平组合种类及出现次数是完全不同的。例如，L8(4124)中，第1列安排4个水平，它与其它任何一个2水平列所组成的同行数字对有8种：1，1、1，2、2，1、2，2、3，1、3，2、4，1、4，2，它们都出现1次；第25列都是2水平，它们任意两列组成的同行数字对为1，1、1，2、2，1、2，2，它们各出现2次。因此，用混合水平正交表安排试验时，每个因素的各水平之间的搭配也是均衡的。三 正交设计的优点例题6-1 某工厂为提高产品的质量，考察了工艺中的3个主要因素：温度A、时间B、加碱量C，每个因素各选取3个水平进行试验

10、，如表6-4所示。试寻求最适宜的操作条件。表6-4 例题6-1的因素及水平表水平ABminCkg12385809090150120765这是一个3因素3水平的试验，采用不同的设计方法，试验次数和试验结果的可靠性不同。下面通过不同的设计方案的比拟，说明正交设计的优点。1 全面试验当因素和水平数不多时，人们一般首先想到的是全面试验，并且通过数据分析获得丰富的信息，而且结论也比拟准确。该试验最多安排33=27次，如图6-1所示。优点是数据点分布的均匀性好，水平组合全面，缺点是试验次数太多。2 正交设计例题6-1中可选用L9(34)正交表，只需安排9次试验，如表6-4所示。其试验点的分布如图6-2所示

11、。可见：1虽然只安排了9次试验，但这9个试验点能够很好的代表全面试验的27个试验点的试验效果。2通过对这些少数试验方案的试验结果进行统计分析，可以推出较优方案，而且所得到的优方案往往不包含在这些少数试验方案中。3对试验结果作进一步分析，可以得到试验结果之外的更多信息。例如，各因素对试验结果影响的重要程度，各因素对试验结果的影响趋势等等。表6-4 L9(34)正交表试验号列数1A2 (B)3(C)4123456789111222333123123123123231312123312231图6-1全面试验试验点分布图6-2正交设计试验点分布四 正交设计步骤1 明确试验目的，确定试验指标任何试验都是

12、为了解决某一问题，或为了得到某些结论而进行的。所以，试验设计之前，必须要明白为什么要做这个试验，做这个试验是为了解决什么问题，即试验目的。然后，根据试验目的，确定要衡量的指标是什么。2 选择因素，确定水平影响试验指标的因素有很多，但是由于试验条件的限制，只能根据试验目的，选出主要影响因素，以减少考察的因素数目。试验设计中，考察的因素不能太多，一般以3-7个为宜，以免增加无效试验的工作量。确定因素水平数时，重要因素可多取一些水平；各水平的数值应适当拉开，以利于对试验结果的分析。在满足试验目的的前提下，尽可能选择等水平正交表，以方便数据处理。3 选择正交表，设计表头3.1正交表选择根据因素数和水平

13、数来选择适宜的正交表。一般，因素数不超过正交表列数，因素水平数与正交表对应的水平数一致。在满足这两个条件的前提下，尽可能选择小的正交表。例如，对于4因素3水平试验，L9(34)和L27(313)都能满足要求，一般建议选择L9(34)。但是，如果试验要求精度高，并且试验条件允许，那么可选择大的正交表。如果各因素所取的水平数不相等，应选择混合水平正交表。如果考虑因素间的交互作用，那么应把交互作用看做一个因素，从而选择适宜的正交表；同时，根据交互作用列安排原那么来安排交互作用在正交表中的位置。3.2 表头设计表头设计就是将各因素安排到正交表的相应列中。当因素数恰好等于正交表的列数时，优先将水平改变困

14、难的因素放在第1列，水平变换容易的因素放在最后一列，其余因素随意安排。当因素数小于正交表的列数，即表中有空列正交表中不放置因素或交互作用的列时，假设不考虑交互作用，空列可作为误差列，放置于正交表的中间或靠后位置。比方，例题6-1中，表头可设计为如下形式：列号123因素A温度B时间C加碱量4 明确试验方案，安排试验，得到结果根据正交表和表头设计，确定每个试验号的方案，然后进行试验，得到试验结果。5 对试验结果进行统计分析试验结果的统计分析主要有两种方法，一是直观分析法，一是方差分析法。通过统计分析，能偶得到因素的主次顺序、最优水平组合等有用信息。6 进行验证性试验，作进一步分析最优水平组合是通过

15、对试验结果的统计分析得到的，还需要进行验证性试验，以保证最优水平组合与实际情况一致。否那么，需要重新进行新的正交试验。第二节 正交设计的直观分析法通过正交表安排试验方案后，进行试验，得到相应的试验结果。接下来就是对实验结果进行统计分析，以确定因素主次和最优水平组合。目前，直观分析法和方差分析法是最常用的正交设计统计分析方法。下面以一个例题来说明直观分析法的分析步骤。一 无交互作用的正交设计的直观分析法例题6-2 柠檬酸硬脂酸单甘脂是一种新型的食品乳化剂。现对其合成工艺进行优化，以提高乳化剂的乳化能力。根据探索性试验，确定因素和水平如表6-5所示，假定因素间无交互作用。表6-5 例题6-2试验因

16、素及水平表水平因素温度A/酯化时间B/h催化剂种类123130120110324甲乙丙1 明确试验目的，确定试验指标通过题意可知，本试验的目的是提高乳化剂的乳化能力，其指标即为乳化能力y。2 选择因素，确定水平通过探索性试验，将温度A、酯化时间B和催化剂种类C作为考察因素，且每个因素各取3个不同的水平。3 选择正交表，设计表头本试验是一个3因素3水平的试验，因此要选择Ln(3m)型正交表，且因素数m3。满足该条件的正交表有L9(34)、L18(37)等形式，因此可选择最小的正交表L9(34)来安排本次试验。由于不考虑交互作用，所以各因素可在正交表中随意安排。一般一个因素占有一列，不同因素占有不

17、同的列。如表6-6所示。表6-6 例题6-2的表头设计因素A空列BC列号12344 确定试验方案，进行试验，得到结果完成表头设计后，可把正交表中各列上的数字1、2、3分别看作是该列所安排因素的3个不同水平。这样，正交表的每一行就对应着一个试验方案，即各因素的水平组合，如表6-7所示。注意，空白列对试验方案没有影响。表6-7 例题6-2 试验方案试验号列数试验方案1A23 (B)4 (C)123456789111222333123123123123231312123312231A1B1C1A1B2C2A1B3C3A3B2C4A2B3C1A2B1C2A3B3C2A3B1C3A3B2C15 按规定的

18、方案进行试验，得出试验结果按正交表各试验号的水平组合进行9次试验，将试验结果记录在正交表的最后一列。如表6-8所示。表6-8 例题6-2试验结果及直观分析试验号列数乳化能力yiABC1234567891112223331231231231232313121233122310.560.740.570.870.850.820.670.640.66K1K2K31.872.541.972.102.232.052.022.272.092.072.232.08k1k2k30.6230.8470.6570.7000.7430.6830.6730.7570.6970.6900.7430.693极差R0.670

19、.180.250.16因素主次ABC优方案A2B2C2试验时应注意以下问题：第一，严格按照规定的方案完成每一号试验；第二，没有必要严格按照试验号的顺序进行试验，可以随机抽取一个试验号进行试验结果的测定，以消除试验顺序对结果的影响；第三，严格控制水平组合中的每一个水平取值。6 计算极差R，确定因素的主次顺序6.1 计算KiKi是指某因素的第i个水平对应的试验指标之和。例如，因素A的第一个水平，也就是第一列中数字“1”所代表的水平共有3个，其对应的指标之和为KA1=0.56+0.74+0.57=1.87。同理，KA2=0.87+0.85+0.82=2.54，KA3=0.67+0.64+0.66=1

20、.97。因素B和C的Ki也可按照上述计算方法求得。6.2 计算kiki是指指某因素的第i个水平对应的试验指标之和的平均值。例如，因素A的第1个水平对应的KA1=1.87，它是因素A的3个1水平对应的指标之，所以KA1的平均值kA1= KA1/3=1.87/3=0.623。同理，kA2= KA2/3=2.54/3=0.623，kA3= KA3/3=1.97/3=0.657。因素B和C的ki也可按照上述计算方法求得。6.3 计算极差R对于某因素或任意一列，或例如，对于因素A，RA=2.54-1.87=0.67，或RA=0.847-0.623=0.224。同理，可求得因素B和C的极差RB=0.25和

21、RC=0.16。一般情况下，各列的极差Ri是不相等的，说明各因素水平的变化对指标的影响是不一样的。R越大，说明该列因素水平的变化对指标的影响更大，所以该因素就是最主要的影响因素。由此可判断，RARBRC，即因素的主次顺序为：A温度、B酯化时间、C催化剂种类。7 优方案确实定7.1 根本原那么优方案是指在试验范围内，各因素较优的水平组合。优水平确实定于试验指标有关。如果指标越大越好，那么应选择各因素的Ki或ki中最大值对应的那个水平；如果指标越小越好，那么应选择各因素的Ki或ki中最小值对应的那个水平。本试验中，指标为乳化能力，应是越大越好，所以应选择各因素的Ki或ki中最大值对应的那个水平，即

22、A2、B2、C2。所以优方案为A2B2C2。7.2 考前须知确定优方案时，还应区分因素的主次。对于主要因素，一定要按照有利于指标的要求选择最好的水平；对于不重要的因素，由于其水平改变对指标的影响较小，可以根据有利于降低能耗、提高效率等目的来选择其它水平。例如，本试验中，因素C对指标的影响最低。如果丙种催化剂比乙种催化剂更廉价易得，那么可将优方案中的C2换为C3，即优方案为A2B2C3，而这也正好是第4号试验。另外，通过本试验还发现，通过直观分析法得到的优方案A2B2C2并没有包含在正交表安排的试验方案中，这也表达了正交设计的优越性。8 进行验证性试验通过理论分析得到的优方案是否就是试验中真正的

23、优方案呢？这需进行验证性试验。将理论优方案A2B2C2与正交表中的最优水平组合A2B2C3进行比照试验，假设前者比后者的试验结果更好，通常可认为A2B2C2是真正的优方案，否那么A2B2C3就是所需的优方案。二 有交互作用的正交设计的直观分析法1 交互作用的定义在多因素试验中，不仅每个因素对试验指标发生作用，因素与因素之间也会联合起来影响试验指标。这种影响就称为交互作用。如果因素A和B之间有交互作用，那么表示为AB，称为一级交互作用；假设因素A、B和C之间有交互作用，那么表示为ABC，称为二级交互作用。2 交互作用的判定设有因素A和B，各取两个水平A1、A2和B1、B2，将其所有的水平组合进行

24、1次试验，结果如表6-14所示。显然，当B=B1时，A由A1变为A2，使试验指标增加10；当当B=B2时，A由A1变为A2，使试验指标减少15。可见，因素A由A1变为A2时，试验指标变化趋势相反，与B取哪一个水平有关。同理，因素B由B1变为B2时，试验指标变化趋势相反，与A取哪一个水平有关。如果将表6-14中的数据描绘在图6-6中，可以看到两条直线是明显相交的，说明交互作用很强。表6-15和图6-7给出了一个无交互作用的例子。由表6-15可见，某因素对指标的影响与另一因素取哪个水平无关。图6-7中两条直线是相互平行的，但是由于试验误差的存在，如果两条直线接近于平行线，也认为两因素间无交互作用，

25、或交互作用可忽略不计。表6-14 判别交互作用试验数据表1A1A2B1B225303515表6-15 判别交互作用试验数据表2A1A2B1B225303540A指标B1B2图6-7 无交互作用A指标B2B1图6-6 有交互作用3 交互作用在正交表中的安排方法在常用正交表的后面都附有一个“二列间的交互作用列表，如附录8所示。表6-17就是正交表L8(27)对应的交互作用列表。表6-17 L8(27)的交互作用列表列号列号123456712345671322135674476157452366543217表6-17中有两种列号，一种是带有括号的，表示因素所在的列号；一种是不带括号的，表示交互作用的

26、列号。根据表6-11就可查出正交表L8(27)中任意两列的交互作用列。例如，要查第2列和第5列的交互作用列，现在表的对角线上找到列号2和5，然后2向右横看，从5向上竖看，交叉的数字为7，即第2列和第5列的交互作用列应安排到正交表的第7列上。4 有交互作用的正交设计的直观分析例题6-5 用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为了提高测定灵敏度，希望吸光度大。对灰化温度A/、原子化温度B/和灯电流C/mA三个因素进行了考察，并考虑交互作用AB和AC，各因素和水平如表6-16所示。试进行正交试验，找出最优水平组合。表6-16 例题6-5因素及水平表水平ABC123007001800240081

27、04.1 分析步骤1选择正交表该试验的目的是提高吸光度，因此吸光度的大小作为试验指标。本试验是一个3因素2水平的试验，但是考虑到交互作用AB和AC，应该按照5因素2水平的情况选择正交表，满足该条件的最小2水平正交表为L8(27)。2设计表头一种方法是根据正交表对应的交互作用列表安排表头。另一种方法是直接查对应正交表的表头设计表。表6-18是L8(27)的表头设计表。表6-18 L8(27)表头设计表列号列号12345673445AAAADEBBBCDBCDABABCDABABCECCCBDCBDACACBDACACBEBCBCADDBCDAEBCDADEAD根据表6-18，本试验中，因素A、B

28、和C分别安排在1、2和4列上，而交互作用AB和AC分别安排在3和5列上。3明确试验方案，进行试验，得到结果根据所选正交表和表头，将因素和交互作用安排到正交表中。然后进行试验，测定试验结果yi，如表6-19所示。表6-19 例题6-5试验方案及结果分析列号列号吸光度1A2B34C5AC6712345678111122221122112211222211121212121212212112211221122121120.4840.4480.5320.5160.4720.4800.5540.552K1K21.9802.0581.8842.1542.0382.0002.0421.9962.0481.9

29、902.0242.0142.0342.004k1k20.9901.0290.9421.0771.0191.0001.0210.9981.0240.9951.0121.0071.0171.002R0.0390.2700.0190.0230.0290.0050.015因素主次BA ACC AB4计算极差R，确定因素主次根据R值大小，确定因素主次顺序为：BA ACC AB。5优方案确实定如果不考虑交互作用，根据指标越大越好，可确定优方案为A2B2C1。但实际上，AC比因素C对指标的影响还要大，所以要确定C的优水平。C的优水平可根据因素A和C的水平搭配的好坏来确定，如表6-20所示。表6-20 因素A

30、和C的水平搭配表A1A2C1C2(0.484+0.532)/2=0.508(0448+0.516)/2=0.482(0.472+0.554)/2=0.513(0.480+0.552)/2=0.516通过分析，A2C2更好，所以优方案应为A2B2C2。4.2 补充说明1一般地，表头设计时，表头上第1列最多只能安排一个因素或一个交互作用，不能安排多个因素或交互作用；对于重点要考虑的因素或交互作用，不能与任何交互作用混杂，而应使次要的因素或交互作用混杂。所以假设考察的因素和交互作用较多时，应选择较大的正交表。23个或3个以上的交互作用称为高级交互作用。但是，在绝大多数的实际问题中，高级交互作用都可省

31、略，一般只考察少数几个一级交互作用。3r水平的两个因素之间的交互作用要占r-1列。4假设不考虑交互作用，可以任意设计表头。三 混合水平正交设计的直观分析在实际问题中，有些因素由于受条件的限制而不能选取较多的水平，有些因素那么需重点考察而要选取较多水平。这样就需要采用混合水平正交试验设计来进行试验的安排和试验结果的统计分析。对于水平数不相等的多因素试验，主要有两种设计方法。1 利用混合水平正交表例题6-6 某人造板厂进行胶压板制造工艺的试验，以提高胶压板的性能，因素及水平如表6-23所示，胶压板的性能指标采用综合评分法，分数越高越好，忽略因素间的交互作用。是分析其因素主次即优方案。表6-23 例

32、题6-6因素和水平表水平因素A压力/atmB温度/C时间/min123481011129590912解：本试验考察3个因素，一个因素采取4水平，另两个因素采用2水平，可选择混合水平正交表L8(4124)。试验方案及结果如表6-24所示。分析可知，本试验因素主次为ABC，优方案为A4B2C2。由于因素C对指标影响很小，假设从经济角度考虑，可取C1水平，即优方案也可以是A4B2C1。但是，由于各因素的水平数各不相同，在计算k1、k2、k3、k4时与等水平正交设计有所区别。例如，A因素有4个水平，每个水平出现2次，所以在计算k1、k2、k3、k4时，应当是相应的K1、K2、K3、K4分别除以2；而因

33、素B只有2个水平，每个水平出现4次，所以计算k1、k2时，应当是相应的K1、K2分别除以4。还应注意，在计算极差R时，应根据ki计算，即，而不是根据。因为，对于因素A，K1、K2、K3、K4分别2个指标值之和，而对于因素B，K1、K2分别是4个指标值之和。所以只有根据ki计算出的极差才具有可比性。表6-24 例题6-6试验结果及其直观分析试验号列号得分ABC123456781122334412121212121221211221122112212112264568910K1K2K3K48914192129242623272426k1k2k3k44.04.57.09.55.27.26.06.55

34、.86.8606.5R5.52.00.51.00.5因素主次ABC优方案A4B2C2或A4B2C12 采用拟水平法2.1 拟水平法概述在安排水平数不相等的多因素试验时，如果没有现成的混合水平正交表，或有现成的混合水平正交表但是试验次数太多。为了解决这一问题，可采用拟水平法。所谓拟水平法就是将个别水平数较少的因素多虚拟一个水平，使其水平数与其它因素的水平数相同，而后采用等水平正交表进行试验设计的方法。2.2 拟水平法的分析步骤例题6-7 某制药厂为提高某药品的合成率y，对其缩合工序进行优化，因素和水平 如表6-25所示，忽略因素间的交互作用。试分析其因素主次和优方案。表6-25 例题6-7因素和

35、水平水平因素A温度/B甲醇钠量/mLC醛状态D缩合剂量/mL123352545354固液液0.91.21.5分析：该试验考察了4个因素，其中1个因素取2水平，其余因素取3水平，可采用混合水平正交表L18(2137)，试验次数太多。假设因素C也取3个水平，那么可采用L9(34)，大大减少了试验次数。因此，根据经验，可将因素C中较好的水平重复1次，即虚拟一个水平，使其变为3水平的因素。从而采用L9(34)以减少试验次数。2.2.1 试验方案及直观分析将因素C再虚拟一个“液态水平，从而采用L9(34)来安排试验。试验方案及结果分析如表6-26所示。通过分析可知，本试验的因素主次为CDBA，优方案为C

36、2D1B3A2。表6-26 例题6-7试验方案及直观分析试验号列号合成率合成率-70/%ABCD123456789111222333123123123123(2)23(2)13(2)1212331223169.271.878.074.177.666.569.269.778.8-0.81.88.04.17.6-3.5-0.8-0.38.8K1K2K29.08.27.72.59.113.3-4.629.515.6-2.511.8k1k2k23.02.72.60.83.04.4-1.54.95.2-0.83.9R0.43.66.46.0因素主次CDBA优方案C2D1B3A22.2.2 考前须知1对于

37、因素C，其实际只有2个水平：固态和液态，而第3个水平与第2个水平是一样的。所以在计算Ki和ki时要注意，1水平对应的指标有3个，而2水平对应的指标那么有6个，即KC1=-0.8+-3.5+-0.3=-4.6，KC2=1.8+8.0+4.1+7.6+-0.8+8.8=29.5；kC1= KC1/3=-1.5，kC2= KC2/6=4.9。2极差R应根据ki来计算。这是因为对于因素C，KC1是3个指标之和，KC2是6个指标之和，而其它因素的Ki都是3个指标之和，因此应根据ki来计算极差R。这样得到的Ri才有可比性。第三节 正交设计的方差分析法直观分析法具有简单直观、计算量小等优点，但是它不能估计误

38、差的大小，不能精确地估计各因素对试验结果影响的重要性，特别是水平数不小于3且要考虑交互作用时，直观分析法不便使用。如果对实验结果进行方差分析，就能弥补直观分析法的缺乏。一 方差分析根本原理假设用Ln(rm)安排试验，那么因素水平数为r，因素数即正交表的列数为m，总试验次数为n，试验结果为yii=1,2,n。1 计算离差平方和1.1 总离差平方和SST设那么它反映了试验结果的总差异，总离差平方和越大，说明各实验结果之间的差异越大。因素水平的变化和试验误差是引起实验结果之间产生差异的原因。1.2 各因素引起的离差平方和SSA将因素A安排在正交表的第j列j=1,2,m上，那么有SSA=SSj，且称S

39、Sj为第j列所引起的离差平方和。即所以1.3 误差的离差平方和SSe在正交表中，空列即为误差列。所以误差的离差平方和就等于空列所对应的离差平方和之和。即1.4 交互作用的离差平方和SSAB交互作用当做因素对待，在正交表中占有1列，也会产生离差平方和。如果交互作用只占1列，那么其离差平方和SSAB就等于所在列的离差平方和SSj；如果交互作用占有多列，那么SSAB等于所占列的离差平方和之和。2 计算自由度2.1总自由度2.2正交表任意一列的离差平方和对应的自由度显然，2.3 交互作用的离差平方和对应的自由度计算方法有两种：1自由度等于两因素自由度之积，即2自由度等于交互作用所占有的列数与每列对应自

40、由度之和。2.4 误差的自由度3 计算均方3.1 各因素的均方3.2 交互作用的均方3.3 误差的均方注意：计算时，如果某因素或交互作用的均方不大于误差的均方，那么应将其归入误差，构成新的误差。4 F计算 将各因素或交互作用的均方除以误差均方，即可得到F。5 显著性检验检验时，对于给定的显著性水平，从附表2中查得其临界值FdfA，dfe)，然后进行比拟：如果因素FA FdfA，dfe)，说明因素A对试验指标的影响显著；如果FAFdfA，dfe)，说明因素A对试验指标的影响不显著。同理，对于给定的显著性水平，从附表2中查得临界值FdfAB，dfe)，然后进行比拟：如果交互作用FAB FdfAB，

41、dfe)，说明因素AB对试验指标的影响显著；如果FABFdfAB，dfe)，说明因素AB对试验指标的影响不显著。二 二水平正交试验的方差分析二水平正交试验中，正交表的第j列对应的离差平方和可简化为例题6-9 某试验采用化学吸收法，用填料塔吸收废气中的SO2，为了使SO2的浓度到达排放标准，通过正交试验对吸收工艺条件进行了探索，试验的因素和水平如表6-28所示。考虑交互作用AB和BC。如果将因素A、B和C放在L8(27)的1、2和4列，试验结果yiSO2摩尔分率，%依次为：0.15，0.25，0.03，0.02，0.09，0.16，0.19，0.08。试进行方差分析=0.05。表6-28例题6-

42、9因素及水平表水平因素A碱含量/%B操作温度/C填料种类125104020甲乙解：1列出正交表方案和试验结果试验方案和结果如表6-29所示。表6-29 例题6-9试验方案及结果分析试验号列号yiABABC空列BC空列12345678111122221122112211222211121212121212212112211221122121120.150.250.030.020.090.160.190.08K1K24552653267304651425534635245T=97P=1176.125Q=1625k1k222.526.032.516.033.515.023.025.521.027.5

43、17.031.526.022.5R3.516.518.52.56.514.53.5SSj6.125136.125171.1253.12521.125105.1256.1252计算离差平方和3计算自由度4计算均方由于MSA和MSC都小于MSe，说明因素A和C对指标的影响很小，可将其归入误差，那么新误差的离差平方和、自由度即均方都会发生变化。即5计算F值6F检验查附表，得临界值F0.05(1,4)=7.71，F0.01(1,4)=21.20，所以可判断：因素B和交互作用AB和BC在给定的显著性水平上，对试验指标都有显著影响。7优方案确实定由于考虑交互作用，且交互作用对试验指标的影响显著，所以优水平

44、确实定应根据A、B水平搭配表和B、C水平搭配表，如表6-31和表6-32。由于指标越小越好，所以A、B的优水平搭配为A1B2，B、C优水平搭配为B2C2。于是最优方案为A1B2C2。表6-31 例题6-9因素A和B的水平搭配表A1A2B1B2(15+25)/2=20.0(3+2)/2=2.5(9+16)/2=12.5(19+8)/2=13.5C1C2B1B2(15+9)/2=12.0(3+19)/2=11.0(25+16)/2=20.5(2+8)/2=5.0表6-32 例题6-9因素B和C的水平搭配表三 三水平正交试验设计的方差分析对于三水平正交试验设计的方差分析，由于r=3，所以第j列的离差

45、平方和为例题6-10 为提高产品得率，考察A、B、C、D四个因素，每个因素各取3个水平，考虑交互作用AB、AC和AD。试通过正交设计确定较好的试验方案。解：1试验设计本试验考虑4个因素和3个交互作用，且每个交互作用各占两列，应选择L27(313)正交表。根据要求进行表头设计和方案安排，进行试验，得到试验结果yii=1，2，27，如表6-33所示。2计算离差平方和令那么总离差平方和：因素和交互作用的离差平方和：故，误差的离差平方和：表6-33 例题6-10试验方案及结果试验号列号yi/%AB(AB)1(AB)2C(AC)1(AC)2(AD)2D(AD)1123456789101112131415

46、1617181920212223242526271111111112222222223333333331112223331112223331112223331112223332223331113331112221112223333331112222223331111231231231231231231231231231231231232312312313123123121231231233123123122312312311232313121232313121232313121232313122313121233121232311232313123121232312313121230.4220

47、.3540.5230.5760.5140.3880.6190.4360.2810.1530.1580.1170.3870.3060.2820.1340.1630.2190.5110.1840.0650.7330.4880.3670.5540.7160.353K1K2K34.1131.9193.9712.4874.0413.4753.4033.5293.0713.8972.7543.3524.0893.3192.5953.6232.7633.6173.0293.7203.2543.4383.2543.3203.0732.9164.0143.1173.3623.5243计算自由度4计算均方由于MS

48、ADMSe，所以将其归入误差，那么新误差的离差平方和为：新误差的自由度为：新误差的均方为：5计算F值6F检验查表得临界值F0.05(2,10)=4.10，F0.01(2,10)=10.04，F0.05(4,10)=3.48，F0.01(2,10)=5.99。根据给定的显著性水平=0.05，因素A、B、C对指标的影响非常显著，因素D和交互作用AB对指标影响较显著。7优方案确实定本试验指标为得率，越大越好。所以，在不考虑交互作用的情况下，优方案应为A1B2C1D3。从方差分析结果可知，交互作用AC和AD对试验指标无显著影响，AB对指标的影响也不及各因素，所以确定优方案时可不考虑交互作用。最终确定优

49、方案为A1B2C1D3。四 混合水平正交试验的方差分析1 利用混合水平正交表例题6-11 某化工厂为处理含有毒物质锌和铬的废水，摸索沉淀条件，选取的因素及水平如表6-35所示，不考虑交互作用。利用L8(4124)安排试验，得到考察指标的综合评分，因素A、B、C和D依次放在1、2、3和4列，试验结果为yii=1,2,8见表6-36。表6-35 例题6-11的因素及水平表水平因素APH值B凝聚剂C沉淀剂D废水浓度12347-88-99-1010-11加不加NaOHNa2CO3稀浓解：1试验安排及结果测定试验方案及试验结果如表6-36所示。2计算离差平方和表6-36 例题6-11 试验方案和结果试验

50、号列号yiABCD空列12345678112233441212121212122121122112211221211245705565859590100K1K2K3K4115120180190275330295310295310295310k1k2k3k457.560.090.095.068.882.573.877.573.877.573.877.5R37.513.73.83.83.83计算自由度4计算均方由于MSC=MSD=MSe，所以因素C、D对指标的影响不大，可将其归入误差，那么新误差的离差平方和：新误差的自由度为：新误差的均方为：5计算F值6F检验查得临界值F0.05(3,3)=9.2

51、8，F0.01(3,3)=29.46，F0.05(1,3)=10.13，F0.01(1,3)=34.12。根据给定的显著性水平=0.05，因素A、B对指标的影响显著，因素C、D对指标无显著影响。7优方案确实定由于指标越高越好，那么根据分析，在不考虑交互作用的前提下，优方案为A4B2C2D2。2 拟水平法在拟水平法的方差分析中，由于拟水平的存在，应注意具有拟水平因素的离差平方和、自由度的计算，以及误差的离差平方和、自由度的计算。例题6-12 某啤酒厂在试验用不发芽的大麦制造啤酒的新工艺过程中，选择因素及水平如表6-38所示，不考虑因素间的交互作用。考察指标yii=1，2，9为粉粒状，越高越好。采

52、用拟水平法将因素D的第1水平重复一次作为第3水平，按L9(34)安排试验，得结果如表6-39。试进行方差分析，并确定其最有工艺条件。表6-38 试验的因素及水平水平因素ABCD1232.251.503.000.250.260.27234136138136表6-39 试验方案及结果试验号列数yiABCD123456789111222333123123123123231312123(1)3(1)1223(1)1594834392348365556K1K2K314111014713412613816214393266132k1k2k347.036.749.044.742.046.054.047.73

53、1.044.344.0R12.34.023.00.3解：1试验设计及直观分析试验方案及直观分析结果见表6-39。2计算离差平方和由于D因素的第1水平重复了6次，第2水平重复了3次，所以3计算自由度4计算均方由于MSDMSBMSe，所以因素B、D对指标的影响不大，可将其归入误差，那么新误差的离差平方和：新误差的自由度为：新误差的均方为：5计算F值6 F检验查得临界值F0.05(2,4)=6.94，F0.01(2,4)=18.00。根据给定的显著性水平=0.05，因素C对指标的影响非常显著，因素A对指标的影响较显著，而因素B和D对指标的影响不显著。7优方案确实定由于指标越高越好，那么根据分析，在不

54、考虑交互作用的前提下，优方案为A3B3C1D1。 蚂膈莂蒁螂袇膅莇螁 莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅

55、蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃

56、蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀

57、蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅

58、薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂

59、薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀

60、袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇螈膃膈薀薁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袃羂节莈蚅袈节蒁袁螄芁蚃蚄膂芀莂薇肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莆蒁蝿羁莅薄薁袇莄莃螇袃莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薅袂肄肅芄蚅肀肄蒆袀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃膀薅蝿衿腿芅薂螅膈莇