概率论与数理统计：2-3 连续型随机变量

1、2.3 连续型随机变量定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得其中F ( x )是它的分布函数则称 X 是 连续型 r.v. ，f ( x )是它的概率密度函数( p.d.f. ).连续型 r.v.的概念2.3 连续xf ( x)xF ( x )分布函数与密度函数 几何意义p.d.f. f ( x )的性质 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 p.d.f. 在 f ( x ) 的连续点处，f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率积分线段质量长度密度注意: 对于连续型r.v.X , P(X = a) = 0其中 a

2、是随机变量 X 的一个可能的取值命题 连续r.v.取任一常数的概率为零强调 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生)事实上对于连续型 r.v. Xbxf ( x)-10-550.020.040.060.08axf ( x)-10-550.020.040.060.08a例1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续r.v., 其 d.f.为(1) 求常数 c (3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.(2) 计算例1 解(1) 令c = 1000(2) (3)设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时设在使用的最初1

3、500小时三个电子管中损坏的个数为 Y(1) 均匀分布常见的连续性随机变量的分布若 X 的 d.f. 为则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布或称 X 服从参数为 a , b的均匀分布. 记作均匀分布X 的分布函数为xf ( x)abxF( x)ba即 X 落在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形. 进行大量数值计算时, 若在小数点后第k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作服从 的 r.v. 随机变量应用场合例2 秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精度是取最近的刻度值, 求使用该表计时产生的随机误差X 的 d.

4、f. 并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率. 解 X 等可能地取得区间所以上的任一值，则例2(2) 指数分布若 X 的d.f. 为则称 X 服从 参数为 的指数分布记作X 的分布函数为 0 为常数指数分布1xF( x)0 xf ( x)0对于任意的 0 a 0,r0均为常数,则称X服从分布,记为X G(,r)。分布为等待时间的分布概型。(4) 正态分布若X 的 d.f. 为则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布记作 X N ( , 2 )为常数，正态分布 亦称高斯(Gauss)分布N (-3 , 1.2 )-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3f (x) 的

5、性质： 图形关于直线 x = 对称, 即在 x = 时, f (x) 取得最大值在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状f ( + x) = f ( - x) 性质 f ( x) 的两个参数： 位置参数即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)的形状不变化，只是位置不同 形状参数固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.若 1 3故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.例6 某年高考生的成绩 X N(540,902) , 解例6按高考成绩分等级. 高于630分为一等,进入重点大

6、学本科 ;介于540630之间为二等, 进入本科, 介于470540之间为三等, 进入专科, 低于470分为四等, 则落选 . 求等级分的概率分布.设随机变量Y表示等级分, 显然Y为四点分布所以Y的概率分布为Y 1 2 3 4P 0.1587 0.3413 0.2823 0.2177例6 已知且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解一例7解二 图解法0.2由图0.3例 3 原理设 X N ( , 2), 求解一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 )的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小由3 原理知，当3 原理6西格玛是20世纪90年代初期摩托罗拉公司

7、最早倡导的商务举措。近年来更多的公司（如通用电气，索尼、联合信号）成功实施6的故事更为华尔街所关注并津津乐道。平均每个6 项目的实施都会带来6位数的利润增长。3质量标准意味着：每小时丢失20000个邮件；每天15分钟饮用水无法达到卫生标准；每周5000个错误的外科手术；每天在全球各大机场有两次降落失误；每年200000次错误的医药处方；每月断电7小时。1 0.6827 317 3002 0.9545 45 5003 0.9973 2 7004 0.99 9937 635 0.99 999 943 0.576 0.99 999 9998 0.002规范界限 概率 每百万个机会的缺陷(DPMO)标准正态分布的上 分位数 z设 X N (0,1) , 0 1, 称满足的点 z 为X 的上 分位数 z常用数据 问 题题5在高为 h 的 ABC 中任取一点M , 点 M 到 AB 的距离为随机变量X , 求其密度函数 f (x). ABCh.M题6 问 题 上海某年有 9万名高中毕业生参加高考, 结果有5.4万名被各类高校录取. 考试满分为600分，540分以上有2025人 , 360分以下有13500人. 试估计高校录取最低分. 本节介绍了常用的连续型分布中指数分布具有无记忆性 , 那么在思考